距離空間6 局所リプシッツ写像

局所リプシッツ性から任意の$x\in X$に対し,ある開球$B(x,r_x)$と正の数$M_x>0$が存在して任意の$y,z\in B(x,r_x)$に対し$d(f(y),f(z))\le M_{x}d(y,z)$を満たす.$X$はコンパクトだから有限部分被覆$B(x_1,r_{x_1}),\dots ,B(x_n,r_{x_n})$を取り出すことができる.ここで,$f$は局所リプシッツ性から連続だから,$d(f(\cdot ),f(\cdot )):X\times X\to \mathbb{R}$,$(x,y)\mapsto d(f(x),f(y))$も連続である.$X\times X$はコンパクトだから最大値が存在し,それを$M$とおき$\delta ={\displaystyle \underset{i}{min}{\displaystyle \frac{r_i}{2}}}$とする.$C={\displaystyle max\{\frac{M}{\delta },M_{x_1},\dots ,M_{x_n}\}}$とおく.
$d(x,y)<\delta$のとき$x\in B(x_i,r_i)$として
$d(y,x_i)\le d(x,y)+d(x,x_i)\le \delta +{\displaystyle \frac{r_i}{2}}\le r_i$.よって$x,y\in B(x_i,r_i)$であり
$d(f(x),f(y))\le M_{i}d(x,y)\le Cd(x,y)$.
$d(x,y)\ge \delta$のとき$d(f(x),f(y))\le {\displaystyle \frac{M}{\delta }}\delta \le Cd(x,y)$.$◻$

簡単のため$Y$の距離が狭義内在的であるとして示す.内在的な場合も同様である.
$x,y\in X$とすると$x$から$y$への道$\gamma :[a,b]\to X$であって$d(x,y)=L(\gamma )$となるものが存在する.各点$x\in \gamma ([a,b])$に対して,ある$r_x>0$が存在して$f{|}_{B(x,r_x)}$はリプシッツ写像となる.コンパクト性から有限部分被覆$B(x_1,r_{x_1}),\dots ,B(x_n,r_{x_n})$がとれる.$x_0=x,x_{n+1}=y$とする.$i=0,1,\dots ,n$に対し,$y_{2i}=x_i$とし,$y_{2i+1}$を$x_i$と$x_{i+1}$の中点とする.すると,$i=0,1,\dots ,n$に対し$d(y_{2i},y_{2i+1})={\displaystyle \frac{r_i}{2}}$なので$y_{2i+1}\in B(x_i,r_i)$であり,$d(y_{2i+1},y_{2i+2})={\displaystyle \frac{r_{i+1}}{2}}$なので$y_{2i+1}\in B(x_{i+1},y_{i+1})$.よって
$d(f(x),f(y))\le {\displaystyle \sum _{i}d(f(y_{2i},y_{2i+1}))+\sum _{i}d(f(y_{2i+1}),f(y_{2i+2}))}$
$\le \sum _{i}Cd(y_{2i},y_{2i+1})+\sum _{i}Cd(y_{2i+1},y_{2i+2})=Cd(x,y)$.$◻$