距離空間6 局所リプシッツ写像

局所リプシッツ性から任意の$x\in X$に対し,ある開球$B(x,r_x)$と正の数$M_x>0$が存在して任意の$y,z\in B(x,r_x)$に対し$d(f(y),f(z))\leq M_xd(y,z)$を満たす.$X$はコンパクトだから有限部分被覆$B(x_1,r_{x_1}),\dots,B(x_n,r_{x_n})$を取り出すことができる.ここで,$f$は局所リプシッツ性から連続だから,$d(f(\cdot),f(\cdot)):X\times X\to \mathbb{R}$,$(x,y)\mapsto d(f(x),f(y))$も連続である.$X\times X$はコンパクトだから最大値が存在し,それを$M$とおき$\delta=\displaystyle\min_i \dfrac{r_i}{2}$とする.$C=\displaystyle\max\{\frac{M}{\delta},M_{x_1},\dots,M_{x_n}\}$とおく.
$d(x,y)<\delta$のとき$x\in B(x_i,r_i)$として
$d(y,x_i)\leq d(x,y)+d(x,x_i)\leq \delta+\dfrac{r_i}{2}\leq r_i$.よって$x,y\in B(x_i,r_i)$であり
$d(f(x),f(y))\leq M_i d(x,y)\leq Cd(x,y)$.
$d(x,y)\geq \delta$のとき$d(f(x),f(y))\leq \dfrac{M}{\delta}\delta\leq Cd(x,y)$.$\Box$

簡単のため$Y$の距離が狭義内在的であるとして示す.内在的な場合も同様である.
$x,y\in X$とすると$x$から$y$への道$\gamma:[a,b]\to X$であって$d(x,y)=L(\gamma) $となるものが存在する.各点$x\in \gamma([a,b])$に対して,ある$r_x>0$が存在して$f|_{B(x,r_x)}$はリプシッツ写像となる.コンパクト性から有限部分被覆$B(x_1,r_{x_1}),\dots,B(x_n,r_{x_n})$がとれる.$x_0=x,x_{n+1}=y$とする.$i=0,1,\dots,n$に対し,$y_{2i}=x_i$とし,$y_{2i+1}$を$x_i$と$x_{i+1}$の中点とする.すると,$i=0,1,\dots,n$に対し$d(y_{2i},y_{2i+1})=\dfrac{r_i}{2}$なので$y_{2i+1}\in B(x_i,r_i)$であり,$d(y_{2i+1},y_{2i+2})=\dfrac{r_{i+1}}{2}$なので$y_{2i+1}\in B(x_{i+1},y_{i+1})$.よって
$d(f(x),f(y))\leq \displaystyle\sum_i d(f(y_{2i},y_{2i+1}))+\sum_i d(f(y_{2i+1}),f(y_{2i+2}))$
$\leq \sum_i Cd(y_{2i},y_{2i+1})+\sum_i Cd(y_{2i+1},y_{2i+2})=Cd(x,y)$.$\Box$