外冪加群による行列式の構成

行列式の導出

基底変換の行列式表現

任意の線形写像 $ \phi: V \to V $ に対し，外冪加群の誘導写像
$$ \bigwedge^n \phi: \bigwedge^n V \to \bigwedge^n V $$
はスカラー倍写像となる．具体的に基底 $ \{e_i\} $ と行列表示 $ \phi(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i $ に対して
$$ \bigwedge^n \phi(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \det(a_{ij}) \cdot e_1 \wedge \cdots \wedge e_n $$
このスカラー係数 $ \det(a_{ij}) $ が行列式の定義となる．

生成元の一意性

テンソル積空間 $ V^{\otimes n} $ の元は一般に
$$ \sum_{i_1,\ldots,i_n} a^{i_1 \cdots i_n} e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_n} $$
と表される．このテンソルに反対称化演算子
$$ \text{Alt}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_n) = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)} $$
を適用することで，交代テンソルを生成する．特に基底元に対しては：
$$ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n} = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) e_{i_{\sigma(1)}} \otimes \cdots \otimes e_{i_{\sigma(n)}} $$
が成り立つ．ここで $ \{i_1,\ldots,i_n\} = \{1,\ldots,n\} $ の場合，任意の $ \sigma $ に対して：
$$ e_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge e_{\sigma(n)} = \mathrm{sgn}(\sigma) e_1 \wedge \cdots \wedge e_n $$
が得られる．したがって任意の $ \omega \in \bigwedge^n V $ は
$$ \omega = \left( \sum_{\sigma \in S_n} a_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma) \right) e_1 \wedge \cdots \wedge e_n = c \cdot e_1 \wedge \cdots \wedge e_n \quad (c \in k) $$
と一意に表現される．ここで係数 $ c $ は
$$ c = \sum_{\sigma \in S_n} a_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma) $$
で与えられ，基底の選択に依存しない量となる．

自由性

生成元 $ e_1 \wedge \cdots \wedge e_n $ が自由生成元であることを示すため，環 $ k $ の任意の元 $ a \in k $ に対して：
$$ a(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = 0 \implies a = 0 $$
を証明する．外積代数の普遍性より，線形写像 $ f: \bigwedge^n V \to k $ が存在し：
$$ f(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = 1 $$
を満たす．$ a(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = 0 $ に $ f $ を適用すると：
$$ f(a(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n)) = a f(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = a \cdot 1 = a = 0 $$
が得られる．

行列式の基本性質

乗法性

任意の線形写像 $\phi,\psi: V \to V$ に対し，テンソル積写像 $\phi \otimes \psi: V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}$ は
$$ (\phi \otimes \psi)(v_1 \otimes \cdots \otimes v_n) = \phi(v_1) \otimes \cdots \otimes \phi(v_n) $$
と作用する．外積代数の普遍性により，
$$ \bigwedge^n(\phi \circ \psi) = \bigwedge^n\phi \circ \bigwedge^n\psi $$
が得られる．ここで基底 $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ への作用は
$$ \bigwedge^n(\phi \circ \psi)(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \det(\phi \circ \psi)e_1 \wedge \cdots \wedge e_n $$
一方，右辺の合成写像は
$$ \bigwedge^n\phi(\det(\psi)e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \det(\phi)\det(\psi)e_1 \wedge \cdots \wedge e_n $$
となる．両辺を比較して $\det(\phi \circ \psi) = \det(\phi)\det(\psi)$ が導かれる．

体積形式との対応

ユークリッド空間 $ \mathbb{R}^n $ において，外積 $ e_1 \wedge \cdots \wedge e_n $ は自然に有向体積要素と同一視され
$$ \mathrm{vol}( \phi(e_1),\ldots,\phi(e_n) ) = |\det(\phi)| \cdot \mathrm{vol}(e_1,\ldots,e_n) $$
という幾何学的解釈を許す．

向きの保存性

基底変換の行列式の符号が向きの保存性を決定する．例えば3次元空間で，
$$ \det(\phi) > 0 \Rightarrow \text{右手系を保存} $$
$$ \det(\phi) < 0 \Rightarrow \text{左手系へ反転} $$
この性質は外積の反対称性 $e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i$ に根ざしている．