外冪加群による行列式の構成

行列式の導出

基底変換の行列式表現

任意の線形写像 $ϕ : V \to V$ に対し，外冪加群の誘導写像
$\overset{n}{⋀} ϕ : \overset{n}{⋀} V \to \overset{n}{⋀} V$
はスカラー倍写像となる．具体的に基底 ${e_{i}}$ と行列表示 $ϕ (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} e_{i}$ に対して
$\overset{n}{⋀} ϕ (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = \det (a_{i j}) \cdot e_{1} \land \dots \land e_{n}$
このスカラー係数 $\det (a_{i j})$ が行列式の定義となる．

生成元の一意性

テンソル積空間 $V^{\otimes n}$ の元は一般に
$\sum_{i_{1}, \dots, i_{n}} a^{i_{1} \dots i_{n}} e_{i_{1}} \otimes \dots \otimes e_{i_{n}}$
と表される．このテンソルに反対称化演算子
$Alt (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}) = \frac{1}{n!} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) v_{σ (1)} \otimes \dots \otimes v_{σ (n)}$
を適用することで，交代テンソルを生成する．特に基底元に対しては：
$e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{n}} = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) e_{i_{σ (1)}} \otimes \dots \otimes e_{i_{σ (n)}}$
が成り立つ．ここで ${i_{1}, \dots, i_{n}} = {1, \dots, n}$ の場合，任意の $σ$ に対して：
$e_{σ (1)} \land \dots \land e_{σ (n)} = sgn (σ) e_{1} \land \dots \land e_{n}$
が得られる．したがって任意の $ω \in \overset{n}{⋀} V$ は
$ω = (\sum_{σ \in S_{n}} a_{σ} sgn (σ)) e_{1} \land \dots \land e_{n} = c \cdot e_{1} \land \dots \land e_{n} (c \in k)$
と一意に表現される．ここで係数 $c$ は
$c = \sum_{σ \in S_{n}} a_{σ} sgn (σ)$
で与えられ，基底の選択に依存しない量となる．

自由性

生成元 $e_{1} \land \dots \land e_{n}$ が自由生成元であることを示すため，環 $k$ の任意の元 $a \in k$ に対して：
$a (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = 0 ⟹ a = 0$
を証明する．外積代数の普遍性より，線形写像 $f : \overset{n}{⋀} V \to k$ が存在し：
$f (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = 1$
を満たす． $a (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = 0$ に $f$ を適用すると：
$f (a (e_{1} \land \dots \land e_{n})) = a f (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = a \cdot 1 = a = 0$
が得られる．

行列式の基本性質

乗法性

任意の線形写像 $ϕ, ψ : V \to V$ に対し，テンソル積写像 $ϕ \otimes ψ : V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}$ は
$(ϕ \otimes ψ) (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}) = ϕ (v_{1}) \otimes \dots \otimes ϕ (v_{n})$
と作用する．外積代数の普遍性により，
$\overset{n}{⋀} (ϕ \circ ψ) = \overset{n}{⋀} ϕ \circ \overset{n}{⋀} ψ$
が得られる．ここで基底 $e_{1} \land \dots \land e_{n}$ への作用は
$\overset{n}{⋀} (ϕ \circ ψ) (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = \det (ϕ \circ ψ) e_{1} \land \dots \land e_{n}$
一方，右辺の合成写像は
$\overset{n}{⋀} ϕ (\det (ψ) e_{1} \land \dots \land e_{n}) = \det (ϕ) \det (ψ) e_{1} \land \dots \land e_{n}$
となる．両辺を比較して $\det (ϕ \circ ψ) = \det (ϕ) \det (ψ)$ が導かれる．

体積形式との対応

ユークリッド空間 $R^{n}$ において，外積 $e_{1} \land \dots \land e_{n}$ は自然に有向体積要素と同一視され
$vol (ϕ (e_{1}), \dots, ϕ (e_{n})) = | \det (ϕ) | \cdot vol (e_{1}, \dots, e_{n})$
という幾何学的解釈を許す．

向きの保存性

基底変換の行列式の符号が向きの保存性を決定する．例えば3次元空間で，
$\det (ϕ) > 0 \Rightarrow 右手系を保存$
$\det (ϕ) < 0 \Rightarrow 左手系へ反転$
この性質は外積の反対称性 $e_{i} \land e_{j} = - e_{j} \land e_{i}$ に根ざしている．

投稿日：1月23日

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