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大学数学基礎解説
文献あり

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その2

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「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その2

問題

練習問題2.3

x,yが整数ならば、方程式x4+131=3y4は解を持たないことを示せ。

解法

都合により、xyを入れ替える。
3x4y4=131
(3x2+y2)(3x2+y2)=131
(3x2+y2)(34x+y)(34xy)=131
以上より、解は4つの内虚数解が2つ、無理数解が2つであることが分かった。
代数学の基本定理より、4次方程式の解は4つしかないことを利用している。

訂正

131は0じゃないけど、途中で混乱した。虚数解と無理数解が2個ずつじゃないらしい。
とにかく示せているので問題ない。

参考文献

[1]
テレンス・タオ, 数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方, 2022, 55
投稿日:202358
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  1. 「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その2
  2. 問題
  3. 解法
  4. 訂正
  5. 参考文献