x,yが整数ならば、方程式x4+131=3y4は解を持たないことを示せ。
都合により、xとyを入れ替える。3x4−y4=131(3x2+y2)(3x2+y2)=131(3x2+y2)(34x+y)(34x−y)=131以上より、解は4つの内虚数解が2つ、無理数解が2つであることが分かった。代数学の基本定理より、4次方程式の解は4つしかないことを利用している。
131は0じゃないけど、途中で混乱した。虚数解と無理数解が2個ずつじゃないらしい。とにかく示せているので問題ない。
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