「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その2

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その2

問題

解法

都合により、$x$と$y$を入れ替える。
$3x^4-y^4=131$
$(\sqrt{3}x^2+y^2)(\sqrt{3}x^2+y^2)=131$
$(\sqrt{3}x^2+y^2)(\sqrt[4]{3}x+y)(\sqrt[4]{3}x-y)=131$
以上より、解は4つの内虚数解が2つ、無理数解が2つであることが分かった。
代数学の基本定理より、4次方程式の解は4つしかないことを利用している。

訂正

131は0じゃないけど、途中で混乱した。虚数解と無理数解が2個ずつじゃないらしい。
とにかく示せているので問題ない。