圏の中の箙
箙の定義
を小圏とする(は省略している).圏に対し,関手を内の箙という.つまり,内の箙とは,の対象とその間の射の組のことである.
内の箙の圏を関手圏で定める.従って,内の箙の間の射とは自然変換,すなわち射, の組であって,下図を可換にするものである:
箙の拡張
を非負整数の集合とする.を自由可換モノイドとし,各に対しをの長さの要素全体からなる部分集合とする.小圏を次のように定める.の対象はであり,射の集合は
である.射の結合はの積で定める.はの充満部分圏である.
をpullbackを持つ圏とする.このときの箙は関手に拡張される.
をpullbackを持つ圏とする.このとき任意のに対し,包含関手に沿ったの各点右Kan拡張が存在する.とくに,は,の右随伴であるような関手を定める.
と定値関手とみなし,コンマ圏を考える.自然な忘却関手との合成を
とする.だから,である.
とする.コンマ圏の対象はにおける射, , すなわちである.における射は,のから来るものを除けば
(), である.自然な忘却関手によって対象は
に写り,射は, に写る.従って,図式の極限とは,対象と射, (), , ()の組で,
(), を可換にするもので普遍的なものである.ただしをなどと略記している.が与えられればは自動的に定まることに注意して条件を書き直せば次のようになる: 対象と射で,
を可換にするもので普遍的なものである.この極限は,がpullbackを持つことから存在する.実際,であり,については逐次pullbackをとればよい:
の計算
とする.であるから,の射に対し,の射が得られるが,この射も同じ記号で表す.
とおく.は可換ゆえは可換である.別の可換な四角形
が得られたとする.このとき下図は可換である:
よっての普遍性から仲介射が一意にのびて,
が成り立つ.
とくにに対しであるから,の普遍性からである.同様にもわかる.以上によりがpullbackと分かった.
の計算
は関手であるから,射に対して射が定まる.このの成分の計算方法を述べる.
であるから,に関するpullbackの普遍性から仲介射が一意にのびるが,これがである.従ってが与えられれば,から逐次が計算できる.
関手圏と余代数
は(二項)積と終対象を持つ圏とする.は自然にモノイダル構造を持つ.
とする.任意のに対し,の射
を定める.
を体とし,を線形空間の圏で,テンソル積によるモノイダル構造を考える.を強モノイダル関手とする.に対しとおき,とおく., をそれぞれ,に対し
により定める.ここで,
であり,は唯一の射である.
が上の(次数付き)余代数であり,またが関手を定めることを示す.
余単位律
余結合律
の標準的な結合子をとする.下の補題ではと略記している.
図式を丁寧に見れば
が分かる(直積から延びる射は射影(の合成)である).同様に
である.従って題意が成り立つ.
射の構成
をの射とする.
を,に対しで定める.
定義から,, は明らかである.以上により,が関手を定めることが分かった.
有限完備圏の箙と余代数
を有限完備圏とする.とくにはpullbackを持つから,初めの節より右Kan拡張が存在する.これと前節の関手を合成することでの箙の圏から余代数の圏への関手が得られる.定理としてまとめておく.
有限完備圏と強モノイダル関手に対し,
は関手を定める.
内の箙は単に箙という.箙に対し,は長さの道全体の集合(と同型)である.として自由ベクトル空間をとる関手を考えるとき,得られる余代数はpath coalgebraと呼ばれる.
memo
: cancellative(?) abelian(?) monoid with a certain finiteness property like
:
[objects]
[morphisms] for ,
[composition] for , ,
-graded?