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箙と余代数

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圏の中の箙

箙の定義

Qを小圏1ts0とする(idは省略している).圏Cに対し,関手Γ:QCC内の箙という.つまり,C内の箙Γとは,Cの対象Γ0,Γ1とその間の射s,t:Γ1Γ0の組(Γ0,Γ1,s,t)のことである.
C内の箙の圏を関手圏[Q,C]で定める.従って,C内の箙の間の射とは自然変換θ:ΓΓ,すなわち射θ0:Γ0Γ0, θ1:Γ1Γ1の組であって,下図を可換にするものである:
Γ1θ1sΓ1sΓ1θ1tΓ1tΓ0θ0Γ0Γ0θ0Γ0.

箙の拡張

Nを非負整数の集合とする.W=s,tN2を自由可換モノイドとし,各nNに対しWnWの長さnの要素全体からなる部分集合とする.小圏Wを次のように定める.Wの対象はNであり,射の集合は
W(n,m)={Wnmif nmif otherwise
である.射の結合はWの積で定める.QWの充満部分圏である.
Cをpullbackを持つ圏とする.このときCの箙Γ:QCは関手WCに拡張される.

Cをpullbackを持つ圏とする.このとき任意のΓ[Q,C]に対し,包含関手ι:QWに沿ったΓの各点右Kan拡張Γ¯,idが存在する.とくに,()¯:[Q,C][W,C]は,ι:[W,C][Q,C]の右随伴であるような関手を定める.
WΓ¯idQιΓC

nWと定値関手n:Wとみなし,コンマ圏n/ιを考える.自然な忘却関手とΓの合成を
Fn:n/ιQΓC
とする.0/ιだから,Γ¯0:=limF0=Γ0である.
n1とする.コンマ圏n/ιの対象はWにおける射n1, n0, すなわちWn1Wnである.n/ιにおける射は,Qidから来るものを除けば
nwws1snwwt1t00
(wWn1), である.自然な忘却関手n/ιQによって対象は
w{1if wWn1,0if otherwise
に写り,射は(wws)s, (wt)tに写る.従って,図式Fnの極限とは,対象Γ¯nCと射fw:Γ¯nΓ1, (wWn1), gw:Γ¯nΓ0, (wWn)の組で,
Γ¯ngn,0fn1,0Γ1sΓ0Γ¯nfni,i1gni,ifni1,iΓ1tΓ1sΓ0Γ¯nf0,n1g0,nΓ1tΓ0
(i=1,,n1), を可換にするもので普遍的なものである.ただしfsitjfi,jなどと略記している.fn1,0,,f0,n1が与えられればgn,0,,g0,nは自動的に定まることに注意して条件を書き直せば次のようになる: 対象Γ¯nCと射fn1,0,,f0,n1:Γ¯nΓ1で,
Γ¯nfn1,0fn2,1f0,n1Γ1stΓ1stΓ1stΓ0Γ0Γ0Γ0Γ0
を可換にするもので普遍的なものである.この極限は,Cがpullbackを持つことから存在する.実際,Γ¯1=Γ1であり,n2については逐次pullbackをとればよい:
Γ¯npb.Γ¯n1Γ1Γ1Γ1Γ0Γ0Γ0Γ0Γ0.

Γ¯wの計算

Γ[Q,C]とする.Γ¯[W,C]であるから,Wの射w:nmに対し,Cの射Γ¯w:Γ¯nΓ¯mが得られるが,この射も同じ記号wで表す.

任意のi,j0に対し,下図はpullbackを与える:
()Γ¯i+jtisjΓ¯jsjΓ¯itiΓ¯0.

n=i+jとおく.Wは可換ゆえ()は可換である.別の可換な四角形
XfgΓ¯jsjΓ¯itiΓ¯0
が得られたとする.このとき下図は可換である:
XgfΓ¯isi1ti1Γ¯jsj1tj1Γ1stΓ1tΓ1stΓ1tΓ0Γ0Γ0Γ0Γ0
よってΓ¯nの普遍性から仲介射φ:XΓ¯nが一意にのびて,
snktk1φ=siktk1g(k=1,,i),sjlti+l1φ=sjltl1f(l=1,,j)
が成り立つ.
XφΓ¯nsn1tn1Γ1stΓ1stΓ0Γ0Γ0Γ0
とくにk=1,,iに対しsiktk1sjφ=siktk1gであるから,Γ¯iの普遍性からg=sjφである.同様にf=tiφもわかる.以上により()がpullbackと分かった.

θ¯の計算

()¯:[Q,C][W,C]は関手であるから,射θ:ΓΓに対して射θ¯:Γ¯Γ¯が定まる.このθ¯の成分θ¯n:Γ¯nΓ¯nの計算方法を述べる.
Γ¯i+jtisjΓ¯jθ¯jsjΓ¯jsjΓ¯itiθ¯iΓ¯0θ¯0Γ¯itiΓ¯0
sjθ¯jti=θ¯0sjti=θ¯0tisj=tiθ¯isj
であるから,Γ¯i+jに関するpullbackの普遍性から仲介射Γ¯i+jΓ¯i+jが一意にのびるが,これがθ¯i+jである.従ってθ:ΓΓが与えられれば,θ0,θ1から逐次θ¯nが計算できる.

関手圏[W,C]と余代数

Cは(二項)積×と終対象Iを持つ圏とする.Cは自然にモノイダル構造を持つ.
Γ¯[W,C]とする.任意のi,j0に対し,Cの射
di,j:=sj,ti:Γ¯i+jΓ¯i×Γ¯j
を定める.
Γ¯i+jsjdi,jtiΓ¯iΓ¯i×Γ¯jΓ¯j

kを体とし,Veckk線形空間の圏で,テンソル積によるモノイダル構造を考える.F:CVeckを強モノイダル関手とする.n0に対しVn=F(Γ¯n)とおき,V=F^(Γ¯):=n0Vnとおく.Δ:VVV, ε:Vkをそれぞれ,vVnに対し
Δ(v):=i+j=nΔi,j(v),
ε(v):={F!(v)if vV0,0if otherwise
により定める.ここで,
Δi,j=Fdi,j:VnF(Γ¯i×Γ¯j)ViVj
であり,!=!Γ¯0:Γ¯0Iは唯一の射である.

F^(Γ¯)k上の(次数付き)余代数であり,またF^が関手[W,C]Coalgkを定めることを示す.

余単位律

εは余単位的である.

(!×idΓ¯n)d0,n=!,idΓ¯nであるから,vVnに対し
(εidV)Δ(v)=(εidVn)Δ0,n(v)=1v
である.(idε)Δについても同様である.
Γ¯nsnd0,nidΓ¯0!Γ¯0×Γ¯n!×idΓ¯nidII×Γ¯nΓ¯nFVnΔ0,nidV0VnεidkVnVn

余結合律

Cの標準的な結合子をaX,Y,Z:(X×Y)×ZX×(Y×Z)とする.下の補題ではaΓ¯i,Γ¯j,Γ¯k=ai,j,kと略記している.

任意のi,j,k0に対し,ai,j,k(di,j×idΓ¯k)di+j,k=(idΓ¯i×dj,k)di,j+kである.

Γ¯i+j+kskdi+j,kti+jΓ¯i+jsjdi,jtiΓ¯i+j×Γ¯kdi,j×id(Γ¯i×Γ¯j)×Γ¯kΓ¯iΓ¯i×Γ¯jΓ¯jΓ¯kΓ¯i+j+ksj+kdi,j+ktiΓ¯i×Γ¯j+kid×dj,kΓ¯j+kskdj,ktjΓ¯i×(Γ¯j×Γ¯k)Γ¯iΓ¯jΓ¯j×Γ¯kΓ¯k

図式を丁寧に見れば
Γ¯i+j+k(di,j×id)di+j,k(Γ¯i×Γ¯j)×Γ¯kΓ¯i=sjsk=sj+k,Γ¯j=tisk,Γ¯k=ti+j
が分かる(直積から延びる射は射影(の合成)である).同様に
Γ¯i+j+k(id×dj,k)di,j+kΓ¯i×(Γ¯j×Γ¯k)Γ¯i=sj+k,Γ¯j=skti=tisk,Γ¯k=tjti=ti+j
である.従って題意が成り立つ.

Δは余結合的である.

vVnに対し,補題により
(Δid)(Δ(v))=i+j+k=n(Δi,jid)(Δi+j,k(v))=i+j+k=n(idΔj,k)(Δi,j+k(v))=(idΔ)(Δ(v))
を得る.

射の構成

θ¯:Γ¯Γ¯[W,C]の射とする.

任意のi,j0に対し,(θ¯i×θ¯j)di,j=di,jθ¯i+jである.
Γ¯i+jdi,jθ¯i+jΓ¯i×Γ¯jθ¯i×θ¯jΓ¯i+jdi,jΓ¯i×Γ¯j.

直積の普遍性から(θ¯i×θ¯j)di,j=θ¯isj,θ¯jti=di,jθ¯i+jを得る.
Γ¯i+jθ¯isjθ¯i+jθ¯jtiΓ¯i+jsjdi,jtiΓ¯iΓ¯i×Γ¯jΓ¯j

F^θ¯:F^(Γ)F^(Γ)を,vVnに対しF^θ¯(v):=Fθ¯n(v)Vnで定める.

F^θは余代数準同型である.

vVnとする.補題により,
(F^θ¯F^θ¯)(Δ(v))=(F^θ¯F^θ¯)(i+j=nΔi,j(v))=i+j=n(Fθ¯iFθ¯j)(Δi,j(v))=i+j=nΔi,j(Fθ¯n(v))=Δ(F^θ¯(v))
を得る.εF^θ¯=εは明らかである.

定義から,F^idΓ¯=idF^(Γ¯), F^θ¯θ¯=F^θ¯F^θ¯は明らかである.以上により,F^:[W,C]Coalgkが関手を定めることが分かった.

有限完備圏の箙と余代数

Cを有限完備圏とする.とくにCはpullbackを持つから,初めの節より右Kan拡張Ranι=()¯:[Q,C][W,C]が存在する.これと前節の関手F^:[W,C]Coalgkを合成することでCの箙の圏から余代数の圏への関手が得られる.定理としてまとめておく.

有限完備圏Cと強モノイダル関手F:CVeckに対し,
F^Ranι:[Q,C]Coalgk
は関手を定める.

Set内の箙は単に箙という.箙Γに対し,Γ¯nは長さnの道全体の集合(と同型)である.Fとして自由ベクトル空間をとる関手を考えるとき,得られる余代数はpath coalgebraと呼ばれる.

memo

M: cancellative(?) abelian(?) monoid with a certain finiteness property like |{(i,j)|i+j=n}|<
M:
[objects] M
[morphisms] for m,nM,
M(m,n)={(x,y)MM|xny=m}
[composition] for (x,y)M(l,m), (z,w)M(m,n),
(z,w)(x,y):=(xz,wy)
Γ[M,C]F^(Γ) M-graded?

投稿日:2023921
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  1. 圏の中の箙
  2. 箙の定義
  3. 箙の拡張
  4. Γ¯wの計算
  5. θ¯の計算
  6. 関手圏[W,C]と余代数
  7. 余単位律
  8. 余結合律
  9. 射の構成
  10. 有限完備圏の箙と余代数
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