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東大院試04-A2

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問題

領域{(x,y)R2|x>y>0}で定義された実数値関数f(x,y)は全微分可能で,次の条件(a),(b)を満たすとする.
(a) f(λx,λy)=f(x,y),λ>0
(b) 1xfx+1yfy=1x2+y2

このとき,以下の問いに答えよ.

  1. 条件(a)より,xfx+yfy=0が導かれることを示せ.
  2. 全微分dfを極座標を用いて表せ.
  3. f(x,y)を求めよ.

復習

全微分可能の定義を思い出しておきましょう.

全微分

DR2を開集合とする.f:DR(a,b)Dで全微分可能であるとは,f(a+h,b+k)=f(a,b)+Ah+Bk+o(h2+k2)となるような実数A,Bが存在することである.

次のことが成り立ちます.

f:DR(a,b)Dで全微分可能であるとき,以下が成り立つ.

  1. f(a,b)で連続.
  2. f(a,b)で偏微分可能で,A=fx(a,b),B=fy(a,b)が成り立つ.
  1. R(h,k)=f(a+h,b+k)(f(a,b)+Ah+Bk)とおく.すると,全微分の定義より,
    lim(h,k)(0,0)R(h,k)h2+k2=0が成り立つ.特に
    lim(h,k)(0,0)R(h,k)=0
    である.よって
    lim(h,k)(0,0)f(a+h,b+k)=lim(h,k)(0,0)f(a,b)+Ah+Bk=f(a,b)
    ゆえに連続.
  2. fx(a,b)=limh0f(a+h,b)f(a,b)h=limh0Ah+o(|h|)h=A
    より分かる.

f:DR(a,b)Dで全微分可能の時,形式的に
df(a,b)=fx(a,b)dx+fy(a,b)dy

解答

  1. f(λx,λy)=f(x,y)λで微分すると,連鎖律より答えの式を得ることができる.
  2. 計算すれば,
    fx=xy2(x2+y2)(x2y2),fy=x2y(x2+y2)(x2y2)
    が分かる.これを極座標に変換すると,
    df=12tan2θdθ
    が分かる.
  3. 積分すれば,
    f(x,y)=14logx2+y2x2y2+C
    が分かる.ここで,Cは定数.
投稿日:20241116
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投稿者

はじめまして!楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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