東大院試04-A2

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問題

領域$\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|x>y>0\}$で定義された実数値関数$f(x,y)$は全微分可能で，次の条件(a),(b)を満たすとする．
(a)　$f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y),\quad\forall\lambda>0$
(b)　$\displaystyle\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x^2+y^2}$

このとき，以下の問いに答えよ．

条件(a)より，$$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0$$が導かれることを示せ．
全微分$df$を極座標を用いて表せ．
$f(x,y)$を求めよ．

復習

全微分可能の定義を思い出しておきましょう．

全微分

$D\subset\mathbb{R^2}$を開集合とする．$f:D\rightarrow\mathbb{R}$が$(a,b)\in D$で全微分可能であるとは，$f(a+h,b+k)=f(a,b)+Ah+Bk+o(\sqrt{h^2+k^2})$となるような実数$A,B$が存在することである．

次のことが成り立ちます．

$f:D\rightarrow\mathbb{R}$が$(a,b)\in D$で全微分可能であるとき，以下が成り立つ．

$f$は$(a,b)$で連続．
$f$は$(a,b)$で偏微分可能で，$A=\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b),B=\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)$が成り立つ．

$R(h,k)=f(a+h,b+k)-(f(a,b)+Ah+Bk)$とおく．すると，全微分の定義より，
$$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$が成り立つ．特に
$$\lim_{(h,k)\to(0,0)}R(h,k)=0$$
である．よって
$$\lim_{(h,k)\to(0,0)}f(a+h,b+k)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}f(a,b)+Ah+Bk=f(a,b) $$
ゆえに連続．
$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{Ah+o(|h|)}{h}=A$$
より分かる．

$f:D\rightarrow\mathbb{R}$が$(a,b)\in D$で全微分可能の時，形式的に
$$df_{(a,b)}=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,dy$$

解答

$f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$を$\lambda$で微分すると，連鎖律より答えの式を得ることができる．
計算すれば，
$$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{xy^2}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2 y}{(x^2 + y^2)(x^2-y^2)}$$
が分かる．これを極座標に変換すると，
$$df=\frac{1}{2}\tan2\theta \,d\theta$$
が分かる．
積分すれば，
$$f(x,y)=\frac{1}{4}\log\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+C$$
が分かる．ここで，$C$は定数．

投稿日：2024年11月16日

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投稿者

くどくど橄欖石

1902

はじめまして！楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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