東大院試04-A2

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問題

領域 ${(x, y) \in R^{2} | x > y > 0}$ で定義された実数値関数 $f (x, y)$ は全微分可能で，次の条件(a),(b)を満たすとする．
(a)　 $f (λ x, λ y) = f (x, y), \forall λ > 0$
(b)　 $\frac{1}{x} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{y} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

このとき，以下の問いに答えよ．

条件(a)より， $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ が導かれることを示せ．
全微分 $d f$ を極座標を用いて表せ．
$f (x, y)$ を求めよ．

復習

全微分可能の定義を思い出しておきましょう．

全微分

$D \subset R^{2}$ を開集合とする． $f : D \to R$ が $(a, b) \in D$ で全微分可能であるとは， $f (a + h, b + k) = f (a, b) + A h + B k + o (\sqrt{h^{2} + k^{2}})$ となるような実数 $A, B$ が存在することである．

次のことが成り立ちます．

$f : D \to R$ が $(a, b) \in D$ で全微分可能であるとき，以下が成り立つ．

$f$ は $(a, b)$ で連続．
$f$ は $(a, b)$ で偏微分可能で， $A = \frac{\partial f}{\partial x} (a, b), B = \frac{\partial f}{\partial y} (a, b)$ が成り立つ．

$R (h, k) = f (a + h, b + k) - (f (a, b) + A h + B k)$ とおく．すると，全微分の定義より，
$lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{R (h, k)}{\sqrt{h^{2} + k^{2}}} = 0$ が成り立つ．特に
$lim_{(h, k) \to (0, 0)} R (h, k) = 0$
である．よって
$lim_{(h, k) \to (0, 0)} f (a + h, b + k) = lim_{(h, k) \to (0, 0)} f (a, b) + A h + B k = f (a, b)$
ゆえに連続．
$\frac{\partial f}{\partial x} (a, b) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h, b) - f (a, b)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{A h + o (| h |)}{h} = A$
より分かる．

$f : D \to R$ が $(a, b) \in D$ で全微分可能の時，形式的に
$d f_{(a, b)} = \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) d x + \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) d y$

解答

$f (λ x, λ y) = f (x, y)$ を $λ$ で微分すると，連鎖律より答えの式を得ることができる．
計算すれば，
$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x y^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2})}, \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} y}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2})}$
が分かる．これを極座標に変換すると，
$d f = \frac{1}{2} \tan 2 θ d θ$
が分かる．
積分すれば，
$f (x, y) = \frac{1}{4} \log \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} + C$
が分かる．ここで， $C$ は定数．

投稿日：2024年11月16日

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投稿者

くどくど橄欖石

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はじめまして！楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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