有理数の集合は稠密である

$\mathbb{Q}$がEuclid空間$\mathbb{R}$において稠密でない, すなわち$\mathbb{R} \setminus \overline{\mathbb{Q}} \neq \varnothing$であると仮定する. したがって, 幅が有限の開区間$(a, b)$であって$(a, b) \cap \mathbb{Q} = \varnothing$であるものが存在する. 有理数$x_1, y_1$を$x_1 < a, b < y_1$となるようにとる. $x_1, y_1$のとりかたより$y_1 - x_1 > b - a > 0$である. 仮定により, $\frac{x_1 + y_1}{2} \notin (a, b)$である. よって, $\frac{x_1 + y_1}{2} < a$のときは$x_2 = \frac{x_1 + y_1}{2}, y_2 = y_1$とおき, そうでないときは$x_2 = x_1, y_2 = \frac{x_1 + y_1}{2}$とおけば$x_2 < a, b < y_2$が成り立つ. 同様に$x_3, y_3, x_4, \dotsc$を構成していくと, 任意の$i \ge 1$に対して$y_i - x_i > b - a$でなければならない. しかし$y_i - x_i = \frac{y_1 - x_1}{2^{i - 1}}$だから, 十分大きな$n$に対し$y_n - x_n \le b - a$となり, 矛盾である.