有理数の集合は稠密である

$\mathbb{Q}$がEuclid空間$\mathbb{R}$において稠密でない, すなわち$\mathbb{R}\setminus \bar{\mathbb{Q}}\ne \varnothing$であると仮定する. したがって, 幅が有限の開区間$(a,b)$であって$(a,b)\cap \mathbb{Q}=\varnothing$であるものが存在する. 有理数$x_1,y_1$を$x_1<a,b<y_1$となるようにとる. $x_1,y_1$のとりかたより$y_1-x_1>b-a>0$である. 仮定により, $\frac{x_1+y_1}{2}\notin (a,b)$である. よって, $\frac{x_1+y_1}{2}<a$のときは$x_2=\frac{x_1+y_1}{2},y_2=y_1$とおき, そうでないときは$x_2=x_1,y_2=\frac{x_1+y_1}{2}$とおけば$x_2<a,b<y_2$が成り立つ. 同様に$x_3,y_3,x_4,\dots$を構成していくと, 任意の$i\ge 1$に対して$y_i-x_i>b-a$でなければならない. しかし$y_i-x_i=\frac{y_1-x_1}{2^{i-1}}$だから, 十分大きな$n$に対し$y_n-x_n\le b-a$となり, 矛盾である.