位相について速攻で復習する

[1]$\forall x\in \cup_{\gamma\in \tilde{\Gamma}}U_{\gamma}\Rightarrow\exists \gamma\in \tilde{\Gamma}:\exists \epsilon_{\gamma}\gt 0\ s.t.\ D(x;\epsilon_{\gamma})\subset U_{\gamma}$ゆえに$D(x;\epsilon_{\gamma})\subset\cup_{\gamma\in \tilde{\Gamma}}U_{\gamma}$が成り立つので、$\cup_{\gamma\in \tilde{\Gamma}}U_{\gamma}\in\mathcal{O}$。
[2]$\forall x\in \cap_{\gamma\in \Gamma}U_{\gamma}\Rightarrow\forall \gamma\in \Gamma:\exists \epsilon_{\gamma}\gt 0\ s.t.\ D(x;\epsilon_{\gamma})\subset U_{\gamma}$が成り立つので$\epsilon\coloneqq\min_{\gamma\in\Gamma}(\epsilon_{\gamma})$の様に定めると$\forall \gamma\in\Gamma:D(x;\epsilon)\subset U_{\gamma}$が成り立つ事が分かる。
ゆえに$\forall x\in \cap_{\gamma\in \Gamma}U_{\gamma}\Rightarrow\exists \epsilon\gt 0\ s.t.\ D(x;\epsilon)\subset U_{\gamma}$が成り立つので$\cap_{\gamma\in \Gamma}U_{\gamma}\in \mathcal{O}$。
[3]$x\in\varnothing$はいつでも偽なので$\forall x\in\varnothing\Rightarrow\exists \epsilon\gt 0\ s.t.\ D(x;\epsilon)\subset\varnothing$は真。ゆえに$\varnothing\in\mathcal{O}$
$\forall x\in X:\forall \epsilon\gt0:D(x;\epsilon)\subset X$が成り立つので$X\in\mathcal{O}$

開集合の公理の証明でそれぞれ補集合を取るだけ。

与えられた式を満たすような$x\in F$が存在しないとする。すると仮定より$x\in F^{c}\in \mathcal{O}$が成り立つ事が分かる。
開集合の定義より$\exists \epsilon\gt 0\ s.t.\ D(x;\epsilon)\subset F^{c}$が言える。このとき、収束の定義から$\exists k_{0}\in\mathbb{N}\ s.t. \forall k\gt k_{0}: x_{n_{k}}\in D(x;\epsilon)\subset F^{c}$が言えてしまう。
しかし、これは$\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset F$に反する。
ゆえに$x\in F$が言えた。

$\forall y\in D(x,\epsilon):\tilde{\epsilon}\coloneqq \epsilon-d(x,y)$とおくと
\begin{eqnarray} \forall y\in D(x,\epsilon):\forall z\in D(y,\tilde{\epsilon}):d(x,z)&\leq&d(x,y)+d(y,z)\\ &\leq&d(x,y)+\tilde{\epsilon}\\ &=&\epsilon \end{eqnarray}
なので$D(y,\tilde{\epsilon})\subset D(x,\epsilon)$

[$\Rightarrow$]$\forall O\in \mathcal{O}_{Y}\Rightarrow f^{-1}(O)\in\mathcal{O}_{X}$が成立したとする。
すると、仮定より$\forall y\in O:\exists \epsilon\gt 0\ s.t.\ D(y,\epsilon)\in\mathcal{O}_{Y}$が成り立つ。
さらに$f^{-1}(D(y,\epsilon))\in\mathcal{O}_{X}$が成り立つので、$y=f(x)$とすると$\exists \delta\gt 0\ s.t. \ D(x,\delta)\subset f^{-1}(D(y,\epsilon))\subset X$を得る。
これは連続の定義そのものに他ならないので十分性が証明された。
[$\Leftarrow$]
\begin{equation} \forall \epsilon\gt 0:\exists \delta\gt 0\ s.t.\ \forall x^{'}\in X\ s.t. x^{'}\in D(x,\delta)\Rightarrow f(x^{'})\in D(f(x),\epsilon) \end{equation}
ゆえに、$f(D(x,\delta))\subset D(f(x),\epsilon)\subset O\in\mathcal{O}_{Y}$を得る。
これから以下の式を得る。
\begin{equation} D(x,\delta)\subset f^{-1}(D(f(x),\epsilon))\subset f^{-1}(O) \end{equation}
ゆえに、$f^{-1}(O)\in O_{X}$

ある正数$\epsilon\gt 0$に対して任意の有限個の点$x_{1},x_{2},...,x_{N}\in D$を取っても$\cup_{n=1}^{N}D(x_{n},\epsilon)\not\subset D$が成立したとする。
すると$\exists x_{N+1}\in D\setminus\cup_{n=1}^{N}D(x_{n},\epsilon)$となる様にして数列$\{x_{n}\}$が取れる。仮定より
\begin{equation} \forall i,j\in\mathbb{N}: d(x_{i},x_{j})\gt \epsilon \end{equation}
が成り立つ。
しかし、$D$は点列コンパクトなので$\{x_{n}\}$は収束する部分列を構成できないといけないので矛盾。

[$\Rightarrow$]補題7より直ちに従う。
[$\Leftarrow$]ある点列$\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset D$がいかなる部分列をとっても収束しないと仮定する。
すると仮定より、任意の点$x\in D$に対して有限個の点しか含まない開集合$x\in O_{x}\in\mathcal{O}$を取ることが出来る。
しかし、空間$D$は開集合族$\{O_{x}\}_{x\in D}\subset\mathcal{O}$を取ると明らかに$D\subset \cup_{x\in D}O_{x}$が成り立つ。
さらに$D$はコンパクトであるため、有限個の開集合$O_{x_{1}},o_{x_{2}},...,O_{x_{n}}$を取る事で$D\subset\cup_{k=1}^{n}O_{x_{k}}$
$O_{x_{1}},O_{x_{2}},...,O_{x_{n}}$それぞれが有限個の点しか含まないのに点列$\{x_{n}\}$は無限個の点を含んでいる。
これは矛盾。
ゆえに、$D$は点列コンパクト。

[1]任意の数列$\{x_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\subset [0,1]^{n}$について$2^{n}$個の区画に分ける。
そしてその区画の中で一個抜き出す。
[2]さらに、その区画を$2^{n}$個の区画に分けて無限個の点列を含むものを取り出す。
[3]この操作を繰り返すと、ある点$x$に収束する部分列を得る。

[有界性]$f$が上に有界でないとする。すると任意の自然数$n\in\mathbb{N}$に対して$f(x_{n})\gt n$を満たすような点列$x_{n}\in D$を取ることが出来る。
$D$はコンパクトなので、この様にして作った点列の部分列$\{x_{n_{k}}\}$を$x_{0}\in D$に収束する様に取れる。
すなわち有界な値$f(x_{n_{k}})\overset{k\rightarrow\infty}\rightarrow f(x_{0})$を満たすようにとれる。しかし$f(x_{n_{k}})\gt n_{k}\rightarrow\infty$なので矛盾する。
よって、$f$は上に有界でなければならない。
この事から$M=\sup{f(D)}$が存在する事が分かった。
下に有界である事も同様。
[最大値の存在]数列$\{x_{n}\}\subset D,\{f(x_{n})\}\subset \mathbb{R}$の二つを$\{f(x_{n})\}\rightarrow M$を満たすように定める。
ただし後者は収束列。
前者は$D$がコンパクトなので$x_{0}\in D$に収束するような部分列$\{x_{n_{k}}\}$を取る事が出来る。
その様な部分列をとると連続性と収束列の収束先の一意性により$\{f(x_{n_{k}})\}$は$M=f(x_{0})$に収束する。

$x_{0}$に収束する任意の点列$\{x_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{N}_{0}}\subset\{x_{n}\}_{k\in\mathbb{N}_{0}}\subset X$を考える。
任意の正数$\frac{\epsilon}{2}\gt0$に対して正数$\frac{\delta}{2}\gt 0$をとれば$\exists k_{0}\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall k\gt k_{0}: d_{X}(x_{n_{k}},x_{0})\lt \frac{\delta}{2}\Rightarrow d_{Y}(f(x_{n_{k}}),f(x_{0}))\lt\frac{\epsilon}{2}$が成り立つ様にできる。
それゆえに下記の不等式が成り立つので
\begin{eqnarray} d_{X}(x_{n_{k}},x_{n_{k^{'}}})&\leq&d_{X}(x_{n_{k}},x_{0})+d_{X}(x_{0},x_{n_{k}})\\ &\lt&\delta \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} d_{Y}(f(x_{n_{k}}),f(x_{n_{k^{'}}}))&\leq& d_{Y}(f(x_{n_{k}}),f(x_{0}))+d_{Y}(f(x_{0}),f(x_{n_{k^{'}}}))\\ &\lt&\epsilon \end{eqnarray}
の様に取れるの、$f$が$D$上一様連続である事が示せた。

[1]仮に連結でないとすると以下の性質を満たす開集合$U,V$を取れる。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} I=U\cup V\\ U\cap V=\varnothing\\ U,V\neq\varnothing \end{array} \right. \end{eqnarray}
[2]$0\in I$なので、$0\in U\vee 0\in V$なので、$0\in V$であれば名前$U\leftrightarrow V$の様に入れ替えて$0\in U$とできるので以下$0\in U$とする。
そして$c\coloneqq\sup\{t\in [0,1]|t\in U\}$の様に定義する。
[3]$c\in U$とすると、$U$は開集合なのである正数$\epsilon\gt 0$が存在して$D(c,\epsilon)\subset U$が成立しないといけないから$c+\epsilon\in U$を得るがこれは上限$c$の定義と矛盾する。
[4]$c\in V$とすると$V$は開集合なのである正数$\epsilon\gt 0$が存在して$D(c,\epsilon)\subset V$が成立しないといけないから$c-\epsilon\in V$。さらに上限の定義より$\exists u\in U\ s.t. c-\epsilon \lt u$が成り立つ。すなわち$u\in U\land u\in V$なので$u\in \varnothing=U\cap V$が得られるので矛盾。
[5]上記の事から、$I$が連結である事が示せた。

$f$が定数関数でないとする。すると$\exists x_{1},x_{2}\in X\ s.t.\ f(x_{1})\lt f(x_{2})$を満たす。
仮定より
\begin{equation} f(x_{1})\lt c\coloneqq f(x_{1})+\frac{1}{2}\lt f(x_{2}) \end{equation}
を満たす。
次に、$U=f^{-1}((-\infty,c)),V=f^{-1}((c,\infty))$とおくと$f$は共に開集合。さらに$c\not\in\mathbb{Z}$なので$\forall x\in X: c\neq f(x)$ゆえに$U\cup V=X,U\cap V=\varnothing$さらに$x_{1}\in U,x_{2}\in V$なので双方空でない。
これは$X$が連結である事に反する。
ゆえに$f$は定数関数である事が証明される。