ある対称式の連立方程式の変形

解説

引き算より
$$\begin{array}{rcl}\frac{p+q}{2}& =& \frac{ab-cd}{a+b-c-d}\\ pq& =& \frac{(c+d)ab-(a+b)cd}{a+b-c-d}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{p-q}{2}\right)}^2& =& {\left(\frac{p+q}{2}\right)}^2-pq\\ & =& {\left(\frac{ab-cd}{a+b-c-d}\right)}^2-\frac{(c+d)ab-(a+b)cd}{a+b-c-d}\\ & =& \frac{P}{(a+b-c-d{)}^2}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\frac{(c+d)ab-(a+b)cd}{(a+b)-(c+d)}& =& \frac{(a-c)bd-(b-d)ac}{(a-c)+(b-d)}\\ & =& \frac{(a-d)bc-(b-c)ad}{(a-d)+(b-c)}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}P& =& (ab-cd{)}^2-((c+d)ab-(a+b)cd)((a+b)-(c+d))\\ & =& (ab-cd{)}^2-((a-c)bd-(b-d)ac)((a-c)+(b-d))\\ & =& (ab-cd{)}^2-((a-d)bc-(b-c)ad)((a-d)+(b-c))\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}3P& =& 3(ab-cd{)}^2\\ & -& ((a-c)(b-d)+(a-d)(b-c)+(a+b)(c+d))(ab+cd)\\ & -& ((a-c{)}^{2}bd+(b-d{)}^{2}ac+(a-d{)}^{2}bc\\ & & +(b-c{)}^{2}ad+(a+b{)}^{2}cd+(c+d{)}^{2}ab)\end{array}$$

ここまでできました。うまい方法がわかるかたは教えて欲しいです。
legendreの8ページにある式です。
ありがとうございました。