ある対称式の連立方程式の変形
\begin{eqnarray}
ab - \frac{1}{2}(a+b)(p+q) + pq &=& 0 \\
cd - \frac{1}{2}(c+d)(p+q) + pq &=& 0
\end{eqnarray}
のとき
\begin{eqnarray}
\frac{p+q}{2} &=& \frac{ab-cd}{a+b-c-d} \\
\left(\frac{p-q}{2}\right)^2 &=& \frac{(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)}{(a+b-c-d)^2} \\
\end{eqnarray}
解説
引き算より
\begin{eqnarray}
\frac{p+q}{2} &=& \frac{ab-cd}{a+b-c-d} \\
pq &=& \frac{(c+d)ab - (a+b)cd}{a+b-c-d}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left(\frac{p-q}{2}\right)^2 &=& \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq \\
&=&\left(\frac{ab-cd}{a+b-c-d}\right)^2 - \frac{(c+d)ab - (a+b)cd}{a+b-c-d}\\
&=&\frac{P}{(a+b-c-d)^2}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{(c+d)ab - (a+b)cd}{(a+b)-(c+d)} &=& \frac{(a-c)bd - (b-d)ac}{(a-c)+(b-d)}\\ &=& \frac{(a-d)bc - (b-c)ad}{(a-d)+(b-c)}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
P &=& (ab-cd)^2 - ((c+d)ab - (a+b)cd)((a+b)-(c+d))\\
&=& (ab-cd)^2 - ((a-c)bd - (b-d)ac)((a-c)+(b-d))\\
&=& (ab-cd)^2 - ((a-d)bc - (b-c)ad)((a-d)+(b-c))\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
3P &=& 3 (ab-cd)^2 \\
&-& (~(a-c)(b-d)+(a-d)(b-c)+(a+b)(c+d)~)(ab+cd) \\
&-& (~ (a-c)^2 bd + (b-d)^2 ac + (a-d)^2 bc \\
&~&+ (b-c)^2 ad + (a+b)^2 cd + (c + d)^2 ab)
\end{eqnarray}
ここまでできました。うまい方法がわかるかたは教えて欲しいです。
legendreの8ページにある式です。
ありがとうございました。