今回も演習問題の解答になります.
$n$個の相異なる複素数からなる通常の複素数の積を積とした群がある. $n$個の複素数を求めよ.
$n$個を$\alpha_1$, $\alpha_2$, …,$\alpha_n$と置く.このうち一つを取って$\alpha$とし, $\alpha=re^{i\theta}$と置くと, $\alpha^n=r^ne^{i\theta}$だから有限群であることから$r=1$.つまり$\alpha=e^{i\theta}$と置ける. $n$の素因数分解を$n=p_1^{n_1}\cdots p_s^{n_s}$とする.シローの定理から位数$p_k^{n_k}$($1\leq k\leq n$)の部分群が存在する.この部分群の位数はラグランジュの定理から$p_k^l$の形で単位元は$1$であり$1$の$p_k^l$乗根は$e^{\frac{2\pi ih}{p_k^l}}$($l,\ h\in \mathbb{Z}$)の形である.よってこの部分群の元は$e^{\frac{2\pi ih}{p_k^{n_k}}}$という形だが,位数が$p_k^{n_k}$なので$e^{\frac{2\pi i}{p_k^{n_k}}}$を含む.他の素因数についても同様なので$e^{\frac{2\pi i}{n}}$を含む.