n個の元からなる複素数の部分集合

$n$個を${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, …,${\alpha }_n$と置く.このうち一つを取って$\alpha$とし, $\alpha =r{e}^{i\theta }$と置くと, ${\alpha }^n=r^n{e}^{i\theta }$だから有限群であることから$r=1$.つまり$\alpha =e^{i\theta }$と置ける. $n$の素因数分解を$n=p_1^{n_1}\cdots p_s^{n_s}$とする.シローの定理から位数$p_k^{n_k}$($1\le k\le n$)の部分群が存在する.この部分群の位数はラグランジュの定理から$p_k^l$の形で単位元は$1$であり$1$の$p_k^l$乗根は$e^{\frac{2\pi ih}{p_k^l}}$($l,h\in \mathbb{Z}$)の形である.よってこの部分群の元は$e^{\frac{2\pi ih}{p_k^{n_k}}}$という形だが,位数が$p_k^{n_k}$なので$e^{\frac{2\pi i}{p_k^{n_k}}}$を含む.他の素因数についても同様なので$e^{\frac{2\pi i}{n}}$を含む.