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東大数理院試過去問解答例(2014B10)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2014B10の解答例を解説していきます(但し解説の都合で問題を大幅に変更しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2014B10(改)

以下の問いに解答しなさい。

  1. Rの部分集合Uで、次の条件を全て満たすものを一つ挙げなさい。
    (1a)URの稠密開集合である。
    (1b)Uの測度は1以下である。
  2. R上のルベーグ可測関数g:RRで、次の条件を満たすものを一つ挙げなさい。
    (2a)|g(x)|dx<
    (2b)任意のa<bに対してab|g(x)|2dx=
    (2c)集合{xR|g(x)0}のルベーグ測度は1以下
  1. Qの全ての元をナンバリングしたものをq1,q2,とする。ここで集合
    U=i(qi12i+1,qi+12i+1)
    とおくと、これはQを含む開集合なので(1a)を満たし、その測度はi12i=1以下なので(1b)を満たす。
  2. まずIi:=(qi12i+1,qi+12i+1)と定義し、R上の関数hi
    hi(x)={ai|xqi|(xIi{qi})0( if else )
    とおく。但しai>0
    Rhi(x)dx=12i
    が満たされるようにとる。そしてR上の関数を
    h(x)={supihi(x)(|{iN|xIi}|<)0(|{iN|xIi}|=)
    で定義する。可測関数列の各点での上限をとる関数も可測関数であることを考慮すると、hは可測関数である。またh0以外の値をとる点はUに含まれる可測集合なので測度1であるから(2c)を満たす。また
    Rh(x)dxiRhi(x)dx=1
    であるから(2a)を満たす。また任意のa<bに対してa<qi<bなるqiを取ったとき、
    abh(x)2dxqibhi(x)2dx=
    であるから(2b)を満たす。以上から上記で定義したhが所望の関数である。
投稿日:2024615
更新日:2024617
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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