線形結合無しでアフィン結合を定義

$\mathcal{I} = \{I \subset A \mid \text{$I$はアフィン独立}\}$とする。
$A \neq \varnothing$であるからある$x \in A$が存在し、
$\{x\}$はアフィン独立であるから$\mathcal{I} \neq \varnothing$。
$\mathcal{J}$を包含関係に関する$\mathcal{I}$の空でない全順序部分集合とする。
$\mathcal{I}$の極大元$B$が存在することをZornの補題で示す。
まず、$\bigcup\mathcal{J}$が$\mathcal{J}$の上界であることを背理法で示す。
ある$x \in \mathcal{J}$が存在して$x \in \aff((\bigcup\mathcal{J})\backslash \{x\})$であると仮定する。
つまりある正整数$k$, $x_1, \dots, x_k \in (\bigcup\mathcal{J})\backslash \{x\}$, $\la_1+ \cdots + \la_k = 1$が存在して$x = \la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k$であるとする。
このときある$J_1, \dots, J_k \in \mathcal{J}$が存在して$x_1 \in J_1, \dots, x_k \in J_k$。
また、$x \in J_{k+1}$とする。
いま$\mathcal{J}$は全順序だから、ある$1 \leq i_0 \leq k+1$が存在して任意の$1 \leq i \leq k+1$について$J_i \subset J_{i_0}$。
よって$x_1, \dots, x_k, x \in J_{i_0}$。
また、$x_1, \dots, x_k \in J_{i_0} \cap ((\bigcup\mathcal{J})\backslash \{x\}) = J_{i_0} \backslash \{x\}$であり、
これは$J_{i_0}$がアフィン独立であることに矛盾する。
よって$\bigcup\mathcal{J}$はアフィン独立。
つまり$\bigcup\mathcal{J} \in \mathcal{I}$なので$\mathcal{I}$には$\mathcal{J}$の上界が存在する。
Zornの補題から$\mathcal{I}$の極大元$B$が存在する。
$B$が$A$を生成することを背理法で示す。
ある$y \in A$が存在して$y \notin \aff B$と仮定する。
$B \cup \{y\}$がアフィン独立であることを示す。
ある$x \in B \cup \{y\}$が存在して$x \in \aff((B \cup \{y\})\backslash\{x\})$、
つまりある正整数$k$, $x_1, \dots, x_k \in (B \cup \{y\})\backslash\{x\}$, $\la_1+ \cdots + \la_k = 1$が存在して$x = \la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k$であるとする。
$x = y$のとき、$y \notin \aff B$であることは仮定の通りである。
$x \in B$のとき、各$x_i$がすべて$B$の元であるとすると$B$がアフィン独立であることに矛盾するのである$i$で$x_i = y$。
また各$x_i$がすべて$y$であるとすると(A4), (A6)から$x = \la_1y + \cdots + \la_ky = 1y = y$となり$x \in B$と矛盾するのである$i$で$x_i \in B$。
(A1)から必要なら順番を入れ替えて$x_1 = \dots = x_j = y$かつ$x_{j+1}, \dots, x_k \in B$; $(1 \leq j < k)$としてよい。
$\mu = \la_1 + \cdots + \la_j$とおくと、(A4)から$x = \mu y + \la_{j+1}x_{j+1} + \cdots + \la_kx_k$。
$\mu = 0$のとき、(A2)から$x = \la_{j+1}x_{j+1} + \cdots + \la_kx_k$となり$B$がアフィン独立であることに矛盾。
$\mu \neq 0$のとき、(A3)から$y = \frac{-\la_{j+1}}{\mu}x_{j+1} + \cdots + \frac{-\la_k}{\mu}x_k + \frac{1}{\mu}x$となり$y \notin \aff B$に矛盾。
以上からつねに矛盾するので、$B \cup \{y\}$がアフィン独立である。
仮定$y \notin \aff B$と(A6)から$y \notin B$であり、
$B \cup \{y\}$は$B$より真に大きい。
これは$B$が極大元であることに矛盾する。
したがって$B$は$A$を生成する。

(2)$\implies$(1):
(1)でないと仮定する。
(A1)から、ある$\sum\limits_{i = 1}^{k-1}\la_i = 1$で$x_k = \sum\limits_{i = 1}^{k-1}\la_ix_i$。
任意の$x \in A$に対して、
\begin{alignat*}{2} x &= 0x_k + 1x & \quad & \because \text{(A2)} \\ &= (1+(-1))x_k + 1x & & \\ &= 1x_k + (-1)x_k + 1x & & \because \text{(A4)} \\ &= 1(\sum\limits_{i = 1}^{k-1}\la_ix_i) + (-1)x_k + 1x & & \\ &= (\sum\limits_{i = 1}^{k-1}(1\la_i)x_i) + (-1)x_k + 1x & & \because \text{(A5)} \\ &= (\sum\limits_{i = 1}^{k-1}\la_ix_i) + (-1)x_k + 1x。 & & \end{alignat*}
$\la_k = -1$とおけば$\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_i = 0$であり、
任意の$x \in A$に対して$(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) + 1x = x$だが$\la_k = -1 \neq 0$なので(2)は不成立。
(1)$\implies$(2):
(2)でないと仮定する。
つまり、ある$\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_i = 0$について、
「任意の$x\in A$について$(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) + 1x = x$」かつある$i$で$\la_i \neq 0$であると仮定する。
(A1)から$\la_1 \neq 0$としてよい。
このとき
\begin{alignat*}{2} x_1 &= \frac{-\la_2}{\la_1}x_2 + \cdots + \frac{-\la_k}{\la_1}x_k + \frac{-1}{\la_1}x + \frac{1}{\la_1}x & \quad & \because \text{(A3)} \\ &= \frac{-\la_2}{\la_1}x_2 + \cdots + \frac{-\la_k}{\la_1}x_k + (\frac{-1}{\la_1}+\frac{1}{\la_1})x & \quad & \because \text{(A4)} \\ &= \frac{-\la_2}{\la_1}x_2 + \cdots + \frac{-\la_k}{\la_1}x_k + 0x & \quad & \\ &= \frac{-\la_2}{\la_1}x_2 + \cdots + \frac{-\la_k}{\la_1}x_k & \quad & \because \text{(A2)}。 \end{alignat*}
よって(1)は不成立。
(2)$\implies$(3):
(2)を仮定する。
$\la_1 + \cdots + \la_k = \mu_1 + \cdots + \mu_l = 1$かつ$\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k = \mu_1x_1 + \cdots + \mu_kx_k$とする。
このとき$\sum\limits_{i = 1}^{k}(\la_i-\mu_i) = 0$であり、
任意の$x \in A$について
\begin{alignat*}{2} x &= 0(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) + 1x & \quad & \because \text{(A2)} \\ &= (1+(-1))(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) + 1x & & \\ &= 1(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) +(-1)(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) + 1x & & \because \text{(A4)} \\ &= 1(\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) +(-1)(\sum\limits_{i = 1}^{k}\mu_ix_i) + 1x & & \\ &= (\sum\limits_{i = 1}^{k}(1\la_i)x_i) +(\sum\limits_{i = 1}^{k}((-1)\mu_i)x_i) + 1x & & \because \text{(A1), (A5)} \\ &= (\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_ix_i) +(\sum\limits_{i = 1}^{k}(-\mu_i)x_i) + 1x & & \\ &= (\sum\limits_{i = 1}^{k}(\la_i - \mu_i)x_i) + 1x & & \because \text{(A1), (A4)} \end{alignat*}
なので仮定(2)から$\la_1-\mu_1 = \dots = \la_k-\mu_k = 0$、
つまり$\la_1 = \mu_1, \dots, \la_k = \mu_k$。
よって(3)が成立。
(3)$\implies$(2):
(3)を仮定する。
任意の$\sum\limits_{i = 1}^{k}\la_i = 0$を考える。
任意の$x \in A$について$\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k + 1x = x$であるとする。
$x$に$x_1$を代入すると
\begin{alignat*}{2} &\; 1x_1 + 0x_2 + \cdots + 0x_k & \quad & \\ = &\; 1x_1 & & \because \text{(A1), (A2)} \\ = &\; x_1 & & \because \text{(A6)} \\ = &\; \la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k + 1x_1 & & \\ = &\; (\la_1+1)x_1 + \la_2x_2 \cdots + \la_kx_k& & \because \text{(A1), (A4)}。 \end{alignat*}
なので仮定(3)から
$\la_1+1 = 1, \la_2 = 0, \dots, \la_k = 0$。
よって(2)が成立。

$U$は基底だから任意の$A$の元は$U$の元のアフィン結合で表せるが、
(A4)で同じ$U$の元の項をまとめ、(A2)で係数が0の項を削除することで、
相異なる元の各係数が$0$でないアフィン結合にできる。
$k, l$を正整数、$u_1, \dots, u_k, v_1, \dots, v_l \in U$,
$\la_1 + \cdots + \la_k = \mu_1 + \cdots + \mu_l = 1$とし、
$A$の元が$\la_1u_1 + \cdots + \la_ku_k = \mu_1v_1 + \cdots + \mu_lv_l$と相異なる元の各係数が$0$でないアフィン結合で2通りに表せるとする。
ある$i$において$u_i = v_i$であるとき、
(A1)から必要なら順番を入れ替えて$1 \leq i \leq j\; (0 \leq j \leq k)$のとき、かつそのときに限り$u_i = v_i$であるとして良い。
このとき$\{u_1, \dots, u_j, u_{j+1}, \dots, u_k, v_{j+1}, \dots, v_l\} \subset U$はアフィン独立である。
よって
\begin{alignat*}{2} &\; \la_1u_1 + \cdots + \la_ju_j + \la_{j+1}u_{j+1} + \cdots + \la_ku_k + 0v_{j+1} + \cdots + 0v_l & \quad & \\ = &\; \la_1u_1 + \cdots + \la_ju_j + \la_{j+1}u_{j+1} + \cdots + \la_ku_k & & \because \text{(A1), (A2)} \\ = &\; \mu_1v_1 + \cdots + \mu_jv_j + \mu_{j+1}v_{j+1} + \cdots + \mu_lv_l & & \\ = &\; \mu_1u_1 + \cdots + \mu_ju_j + \mu_{j+1}v_{j+1} + \cdots + \mu_lv_l & & \\ = &\; \mu_1u_1 + \cdots + \mu_ju_j + 0u_{j+1} + \cdots + 0u_k + \mu_{j+1}v_{j+1} + \cdots + \mu_lv_l & & \because \text{(A1), (A2)} \end{alignat*}
なので補題2から
$\la_1 = \mu_1, \dots, \la_j = \mu_j$, $\la_{j+1} = \dots = \la_k = \mu_{j+1} = \dots = \mu_l = 0$となる。
ところが今各係数は0でないと仮定しているので$j = k = l$しかありえない。

以下、$k$を任意の正整数、
$x_1, \dots x_k \in A$、
$\la_1 + \cdots + \la_k = 1$であるとする。

1. $1_A(\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k) = \la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k = \la_11_A(x_1) + \cdots + \la_k1_A(x_k)$なので成立。
2. $A, B, C$を体$K$上のアフィン空間、$f: A \to B, g: B \to C$をアフィン写像とする。
   \begin{alignat*}{2} (g \circ f)(\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k) &= g(f(\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k)) & \quad & \\ &= g(\la_1f(x_1) + \cdots + \la_kf(x_k)) & & \\ &= \la_1g(f(x_1)) + \cdots + \la_kg(f(x_k)) & & \\ &= \la_1(g \circ f)(x_1)) + \cdots + \la_k(g \circ f)(x_k) & & \end{alignat*}
   なので成立。
3. $A, B$を体$K$上のアフィン空間、$f: A \to B$を全単射なアフィン写像とする。
   \begin{alignat*}{2} f^{-1}(\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k) &= f^{-1}(\la_1f(f^{-1}(x_1)) + \cdots + \la_kf(f^{-1}(x_k))) & \quad & \\ &= f^{-1}(f(\la_1f^{-1}(x_1) + \cdots + \la_kf^{-1}(x_k))) & & \\ &= \la_1f^{-1}(x_1) + \cdots + \la_kf^{-1}(x_k) \end{alignat*}
   なので成立。

$A, B$を体$K$上のアフィン空間、$f: A \to B$をアフィン写像とする。
任意の正整数$k$、任意の$y_1, \dots, y_k \in f(A)$に対して
ある$x_1, \dots, x_k$が存在して
$y_1 = f(x_1), \dots, y_k = f(x_k)$。
任意の$\la_1 + \cdots + \la_k = 1$に対して
$\la_1y_1 + \cdots + \la_ky_k = \la_1f(x_1) + \cdots + \la_kf(x_k) = f(\la_1x_1 + \cdots + \la_kx_k) \in f(A)$。

補題1から$A$の基底$U$が存在する。
$V = \{f: U \to K \mid \text{有限個の$u \in U$を除いて$f(u) = 0$}\}$とし、
$$ f_{u_i}(u) = \begin{cases} 1 & (u = u_i) \\ 0 & (u \neq u_i) \end{cases} $$
とする。
$V$は$\{f_u\}_{u \in U}$を基底とする$K$上のベクトル空間である。
補題3から任意の$x \in A$は各係数が0でない$U$の相異なる元のアフィン結合によって$x = \la_1u_1 + \cdots + \la_ku_k$と和の順番を除いて一意的に表せる。
このとき
$$ \varphi(x) = \la_1f_{u_1} + \cdots + \la_kf_{u_k} $$
で定める写像$\varphi: A \to V$はwell-definedで単射である。
$\varphi$がアフィン写像であることを示す。
任意の正整数$k$と
$x_1, \dots x_k \in A$と
$\la_1 + \cdots + \la_k = 1$について、
補題3から各$x_i$について$x_i = \mu_{i1}u_{i1} + \cdots + \mu_{il_i}u_{il_i}$; $(\mu_{ij} \in K, u_{ij} \in U, 1 \leq j \leq l_i, \text{$l_i$: 正整数})$と各係数が0でない$U$の相異なる元のアフィン結合で表せる。
また、$U_0 = \{u_{ij} \mid 1 \leq i \leq k, 1 \leq j \leq l_i\}$とし、
$u_{ij} = u_{i'j'}$のとき(A4)を使って$\cdots + \la_i\mu_{ij}u_{ij} + \la_{i'}\mu_{i'j'}u_{i'j'} + \cdots = \cdots + (\la_i\mu_{ij} + \la_{i'}\mu_{i'j'})u_{ij} + \cdots$とまとめるのを目的として
$u \in U_0$に対し$\nu_u = \sum\limits_{u_{ij} = u}\la_i\mu_{ij}$とおく。
このとき
\begin{alignat*}{2} \sum_{i = 1}^k\la_ix_i &= \sum_{i = 1}^k\la_i\sum_{j = 1}^{l_i}\mu_{ij}u_{ij} & \quad & \\ &= \sum_{i = 1}^k\sum_{j = 1}^{l_i}\la_i\mu_{ij}u_{ij} & & \because \text{(A5)} \\ &= \sum_{u \in U_0}\nu_uu & & \because \text{(A4)} \\ &= \sum_{u \in U_0, \nu_u \neq 0}\nu_uu & & \because \text{(A2)} \end{alignat*}
であり、$\sum\limits_{u \in U_0, \nu_u \neq 0}\nu_uu$は各係数が0でない$U$の相異なる元のアフィン結合なので、
$\varphi$の定義と$V$がベクトル空間であることから
\begin{alignat*}{2} \varphi(\sum_{i = 1}^k\la_ix_i) &= \sum_{u \in U_0, \nu_u \neq 0}\nu_uf_u & \quad & \\ &= \sum_{u \in U_0}\nu_uf_u & & \because \text{ベクトルの0倍は0ベクトル} \\ &= \sum_{i = 1}^k\sum_{j = 1}^{l_i}\la_i\mu_{ij}f_{u_{ij}} & & \because \text{スカラーの和×ベクトルの分配法則} \\ &= \sum_{i = 1}^k\la_i\sum_{j = 1}^{l_i}\mu_{ij}f_{u_{ij}} & & \because \text{スカラー×ベクトルの和の分配法則} \\ &= \sum_{i = 1}^k\la_i\varphi(x_i)。 & & \end{alignat*}
よって$\varphi$はアフィン写像。
補題5から$\varphi(A)$は$V$のアフィン部分空間であり、
補題4の3.から$\varphi(A)$は$A$と同型。