平方数と立方数に挟まれた数は26しかないことの証明
平方数と立方数に挟まれた数は26しかないことの証明
$m^3-n^2=2,-2$
$y=m^3-n^2-2=0,m^3-n^2+2=0$
$y'=3m^2=0$
$m>0$の時狭義単調増加、$m=3$で式を満たす時$y=2$、$m=1, 2$の時式を満たさない。
しかも、nでyを偏微分すると-2nとなる。
解法その1
$4^2*k^3=m^3$で、$j=\sqrt[3]{4^2*k^3}$となるようなjは存在しない。
（こんなことは、例え証明であっても、初学者向けでないなら書く必要はない。わざわざ書く必要はないと思われるが、$4^2*k^3$を自然数の立方で作ることは不可能なのだ。）
従って示せた。
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同日追記
真面目に考えると、それなりに難しい。
解法その2
$3(m-3)^2-2(n-5)=3*m^2-27m-2n-17$
mで微分して
$6m-27$
$m=9/2$の時
$3(m-3)^2-2(n-5)=67/4-2n$
つまり、$n<67/8$の時
$3(m-3)^2-2(n-5)>0$
結論
うーん、違う。
とにかくmに関して単調増加、nに関して単調減少なグラフがある時、mを増やして増えた分
3m^2と、2nが等しくなる。
$3m^2-2n$をmで微分して
$6m$
$3m^2-2n$をnで微分すると
$-2$
つまり、$m>0$の時
$3m^2-2n$はmに関して狭義単調増加。
nに関しては狭義単調減少。
$6m=2$の時、$m=1/3$。$m=n=1$の時、
$3m^2-2n=1$
$m^3-n^2=2$
$m=3$の時、$n=5$
m,nは自然数。
$\begin{eqnarray}
3(m-3)^2-2(n-5)&=&m^2-6m-2n+28\\
&=&3(m-3)^2-2n+17
\end{eqnarray}$
mで微分すると
$6(m-3)$
解はm=4,n=10など色々あるが、mに関しては2次関数、nに関しては1次関数。積分してもmに関する係数が1になり、-2n+17の積分は三角形と定数の和、3(m-3)^2の積分は3次関数になる。
今m,nは自然数なので、(m-3)^3=j^3の自然数から自然数の積分は3の倍数でしかも奇数。
つまり、
$3^3^k=27^k$
。
$27^k-n^2=2$となるのは、$27^k=n^2+2$の時。nも奇数で、
$27^k=4l^2-4l+7$
右辺を因数分解しても、$27^k$にはならない。
よって示せた。
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追記
間違ってるかもしれないけど、面白いのでこのまま残します。
嘘証明としても価値があるし、直せば正しい証明になると思います。
訂正
m^3の増加量の台形の両方の辺が3の巾乗になるので、足すと3の倍数同士の和で、6の倍数。足して2で割っても3の倍数。
$3g=4l^2-4l+7$
これは右辺が因数分解でき、掛け合わせて3の倍数にならない。gは自然数なので、左辺と右辺は一致しない。よって成り立たない。
正確には無限個の台形の和だが、3の倍数を無限個、1の幅だけ足しても、3の倍数になる。
なぜなら、足してできる幅が1だから。
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ちゃんと示せましたね。
あ、この書き方マズい。
無限個の台形の面積（無限小）を、全部足して平均してみてください。
いくつになるか分かりませんが、間違いなく3の倍数になります。
つまり題意が示せました。
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更に訂正
一回微分して、それから台形を積分し、更に積分します。
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