Sonineの公式
今回は, 次の公式を示す.
$a,b,c$がある三角形の三辺の長さとして, $\Delta(a,b,c)$をその面積とすると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}J_{\nu}(ax)J_{\nu}(bx)J_{\nu}(cx)x^{1-\nu}\,dx&=\frac{2^{\nu-1}\Delta(a,b,c)^{2\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)(abc)^{\nu}}
\end{align}
が成り立つ. また, $a,b,c$が三角形の三辺にならないとき, 上の積分の値は$0$である.
三角形の面積がこのような積分の値に現れるというのはかなり不思議である. Heronの公式から, 三角形の三辺の長さが$a,b,c$のとき, その面積$\Delta$は
\begin{align}
\Delta(a,b,c)=\frac 14\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
\end{align}
で与えられる. 以下はHsüの1949年の論文において与えられている証明である.
前の記事
で示したBessel関数に関するGegenbauerの加法定理の系
\begin{align}
\int_{-1}^1\frac{J_{\nu}(\sqrt{\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma x})}{(\sqrt{\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma x})^{\nu}}(1-x^2)^{\nu-\frac 12}\,dx&=\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\left(\frac{2}{\beta\gamma}\right)^{\nu}J_{\nu}(\beta)J_{\nu}(\gamma)
\end{align}
を考える. 二辺$\beta,\gamma$とその間の角が$\phi$である三角形のもう一つの辺の長さを$\alpha$とすると, それは余弦定理より,
\begin{align}
\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos\phi
\end{align}
で与えられる. よって, $x=\cos\phi$として, 先ほどの公式は
\begin{align}
\int_{-1}^1\frac{J_{\nu}(\alpha)}{\alpha^{\nu}}\sin^{2\nu}\phi\,d\phi&=\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\left(\frac{2}{\beta\gamma}\right)^{\nu}J_{\nu}(\beta)J_{\nu}(\gamma)
\end{align}
と表される. ここで, 正弦定理から
\begin{align}
\beta\gamma\sin\phi=2\Delta(\alpha,\beta,\gamma)
\end{align}
である. $\beta\gamma\sin\phi\,d\phi=\alpha\,d\alpha$であるから,
\begin{align}
\int_{-1}^1\frac{J_{\nu}(\alpha)}{\alpha^{\nu}}\sin^{2\nu}\phi\,d\phi&=\frac{2^{2\nu-1}}{(\beta\gamma)^{2\nu}}\int_{|\beta-\gamma|}^{\beta+\gamma}\frac{J_{\nu}(\alpha)}{\alpha^{\nu}}\Delta(\alpha,\beta,\gamma)^{2\nu-1}\alpha\,d\alpha
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\frac{2^{\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\int_{|\beta-\gamma|}^{\beta+\gamma}\frac{J_{\nu}(\alpha)}{(\alpha\beta\gamma)^{\nu}}\Delta(\alpha,\beta,\gamma)^{2\nu-1}\alpha\,d\alpha=J_{\nu}(\beta)J_{\nu}(\gamma)
\end{align}
を得る. $\alpha=rx, \beta=bx,\gamma=cx$とすると, これは
\begin{align}
\frac{2^{\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\int_{|b-c|}^{b+c}\frac{J_{\nu}(rx)}{(rbc)^{\nu}}\Delta(r,b,c)^{2\nu-1}r\,dr=x^{-\nu}J_{\nu}(bx)J_{\nu}(cx)
\end{align}
と書き換えられる.
\begin{align}
f(r)&=\begin{dcases}
\frac{2^{\nu-1}\Delta(r,b,c)^{2\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)(rbc)^{\nu}},\qquad |b-c|\leq r\leq b+c\\
0,\qquad \text{otherwise}
\end{dcases}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}J_{\nu}(rx)f(r)r\,dr=x^{-\nu}J_{\nu}(bx)J_{\nu}(cx)
\end{align}
とHankel変換として書ける. よってHankel逆変換公式より
\begin{align}
\int_0^{\infty}x^{1-\nu}J_{\nu}(ax)J_{\nu}(bx)J_{\nu}(cx)\,dx&=f(a)\\
&=\frac{2^{\nu-1}\Delta(a,b,c)^{2\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)(abc)^{\nu}}
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
Sonineの公式はHsüによってさらに次のように一般化されている.
$a\geq b\geq c\geq d, c-d\leq a-b$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}J_{\nu}(ax)J_{\nu}(bx)J_{\nu}(cx)J_{\nu}(dx)x^{1-2\nu}\,dx\\
&=\frac{2^{2\nu-2}}{\pi\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)^2(abcd)^{\nu}}\int_{a-b}^{c+d}\left(\frac{r}{\Delta(a,b,r)\Delta(c,d,r)}\right)^{1-2\nu}\,dr
\end{align}
が成り立つ.
定理1の証明において用いた式より
\begin{align}
x^{-\nu}J_{\nu}(cx)J_{\nu}(dx)&=\frac{2^{\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\int_{d-c}^{c+d}\frac{J_{\nu}(rx)}{(rcd)^{\nu}}\Delta(r,c,d)^{2\nu-1}r\,dr
\end{align}
であるから, Sonineの公式を用いて,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}J_{\nu}(ax)J_{\nu}(bx)J_{\nu}(cx)J_{\nu}(dx)x^{1-2\nu}\,dx\\
&=\frac{2^{\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\int_{c-d}^{c+d}\frac{\Delta(r,c,d)^{2\nu-1}r}{(rcd)^{\nu}}\int_0^{\infty}J_{\nu}(rx)J_{\nu}(ax)J_{\nu}(bx)x^{1-\nu}\,dx\,dr\\
&=\frac{2^{\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}\int_{a-b}^{c+d}\frac{\Delta(r,c,d)^{2\nu-1}r}{(rcd)^{\nu}}\frac{2^{\nu-1}\Delta(a,b,r)^{2\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)(abr)^{\nu}}\,dr\\
&=\frac{2^{\nu-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)^2(abcd)^{\nu}}\int_{a-b}^{c+d}\left(\frac{r}{\Delta(a,b,r)\Delta(c,d,r)}\right)^{1-2\nu}\,dr
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
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