Sonineの公式

前の記事 で示したBessel関数に関するGegenbauerの加法定理の系
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1\frac{J_{\nu }(\sqrt{{\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma x})}{(\sqrt{{\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma x}{)}^{\nu }}(1-x^2{)}^{\nu -\frac{1}{2}}dx& =\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2}){\left(\frac{2}{\beta \gamma }\right)}^{\nu }{J}_{\nu }(\beta )J_{\nu }(\gamma )\end{array}$$
を考える. 二辺$\beta ,\gamma$とその間の角が$\varphi$である三角形のもう一つの辺の長さを$\alpha$とすると, それは余弦定理より,
$$\begin{array}{r}{\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma \cos \varphi \end{array}$$
で与えられる. よって, $x=\cos \varphi$として, 先ほどの公式は
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1\frac{J_{\nu }(\alpha )}{{\alpha }^{\nu }}{\sin }^{2\nu }\varphi d\varphi & =\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2}){\left(\frac{2}{\beta \gamma }\right)}^{\nu }{J}_{\nu }(\beta )J_{\nu }(\gamma )\end{array}$$
と表される. ここで, 正弦定理から
$$\begin{array}{r}\beta \gamma \sin \varphi =2\mathrm{\Delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )\end{array}$$
である. $\beta \gamma \sin \varphi d\varphi =\alpha d\alpha$であるから,
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1\frac{J_{\nu }(\alpha )}{{\alpha }^{\nu }}{\sin }^{2\nu }\varphi d\varphi & =\frac{2^{2\nu -1}}{(\beta \gamma {)}^{2\nu }}{\int }_{|\beta -\gamma |}^{\beta +\gamma }\frac{J_{\nu }(\alpha )}{{\alpha }^{\nu }}\mathrm{\Delta }(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{2\nu -1}\alpha d\alpha \end{array}$$
である. よって,
$$\begin{array}{r}\frac{2^{\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}{\int }_{|\beta -\gamma |}^{\beta +\gamma }\frac{J_{\nu }(\alpha )}{(\alpha \beta \gamma {)}^{\nu }}\mathrm{\Delta }(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{2\nu -1}\alpha d\alpha =J_{\nu }(\beta )J_{\nu }(\gamma )\end{array}$$
を得る. $\alpha =rx,\beta =bx,\gamma =cx$とすると, これは
$$\begin{array}{r}\frac{2^{\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}{\int }_{|b-c|}^{b+c}\frac{J_{\nu }(rx)}{(rbc{)}^{\nu }}\mathrm{\Delta }(r,b,c{)}^{2\nu -1}rdr=x^{-\nu }{J}_{\nu }(bx)J_{\nu }(cx)\end{array}$$
と書き換えられる.
$$\begin{array}{rl}f(r)& =\{\begin{array}{l}\frac{2^{\nu -1}\mathrm{\Delta }(r,b,c{)}^{2\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})(rbc{)}^{\nu }},|b-c|\le r\le b+c\\ 0,\text{otherwise}\end{array}\end{array}$$
とすると,
$$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{J}_{\nu }(rx)f(r)rdr=x^{-\nu }{J}_{\nu }(bx)J_{\nu }(cx)\end{array}$$
とHankel変換として書ける. よってHankel逆変換公式より
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{1-\nu }{J}_{\nu }(ax)J_{\nu }(bx)J_{\nu }(cx)dx& =f(a)\\ & =\frac{2^{\nu -1}\mathrm{\Delta }(a,b,c{)}^{2\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})(abc{)}^{\nu }}\end{array}$$
となって示すべきことが得られた.

定理1の証明において用いた式より
$$\begin{array}{rl}{x}^{-\nu }{J}_{\nu }(cx)J_{\nu }(dx)& =\frac{2^{\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}{\int }_{d-c}^{c+d}\frac{J_{\nu }(rx)}{(rcd{)}^{\nu }}\mathrm{\Delta }(r,c,d{)}^{2\nu -1}rdr\end{array}$$
であるから, Sonineの公式を用いて,
$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{J}_{\nu }(ax)J_{\nu }(bx)J_{\nu }(cx)J_{\nu }(dx)x^{1-2\nu }dx\\ & =\frac{2^{\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}{\int }_{c-d}^{c+d}\frac{\mathrm{\Delta }(r,c,d{)}^{2\nu -1}r}{(rcd{)}^{\nu }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{J}_{\nu }(rx)J_{\nu }(ax)J_{\nu }(bx)x^{1-\nu }dxdr\\ & =\frac{2^{\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}{\int }_{a-b}^{c+d}\frac{\mathrm{\Delta }(r,c,d{)}^{2\nu -1}r}{(rcd{)}^{\nu }}\frac{2^{\nu -1}\mathrm{\Delta }(a,b,r{)}^{2\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})(abr{)}^{\nu }}dr\\ & =\frac{2^{\nu -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }{(\nu +\frac{1}{2})}^2(abcd{)}^{\nu }}{\int }_{a-b}^{c+d}{\left(\frac{r}{\mathrm{\Delta }(a,b,r)\mathrm{\Delta }(c,d,r)}\right)}^{1-2\nu }dr\end{array}$$
となって示すべきことが得られた.