1変数のvery-well-poised 4F3のsupercongruence

$m:=\frac{p-1}2$として,
\begin{align} t_n(x)&:=\frac{(-1)^n\left(\frac 12,x,1-x\right)_n}{n!\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}\\ S_p(x)&:=\sum_{n=0}^m(4n+1)t_n(x) \end{align}
とする. このとき,
\begin{align} &\frac{(4n+1)t_n(x+1)}{2x+1}+\frac{(4n+1)t_n(x)}{2x-1}\\ &=\frac{2(n+1)(2n+3-2x)}{(1-2x)(n+1-x)}t_{n+1}(x)-\frac{2n(2n+1-2x)}{(1-2x)(n-x)}t_{n}(x) \end{align}
となる. これを$n=0$から$m$まで足し合わせると, 望遠鏡和より,
\begin{align} &\frac{S_p(x+1)}{2x+1}+\frac{S_p(x)}{2x-1}\\ &=\frac{2(m+1)(2m+3-2x)}{(1-2x)(m+1-x)}t_{m+1}(x)\\ &=(-1)^m\frac{2(m+1)(2m+3-2x)}{(2x-1)(m+1-x)}\frac{\left(\frac 12,x,1-x\right)_{m+1}}{(m+1)!\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_{m+1}}\\ &=(-1)^m\frac{p}{x+\frac p2}\frac{\left(\frac 12\right)_m\left(x\right)_{m+1}(1-x)_{m}}{m!\left(x-\frac 12\right)_{m+1}\left(\frac 32-x\right)_{m}} \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} \left(x\right)_{m+1}(1-x)_{m},\qquad\left(x-\frac 12\right)_{m+1}\left(\frac 32-x\right)_{m} \end{align}
はそれぞれただ1つの$p$の倍数$pu, p\left(\frac 12-u\right)$を含み, 残りの因子は$\mathrm{mod}\,p$でそれぞれ$(-1)^m(p-1)!, (-1)^{m+1}(p-1)!$と合同である. よって, $\frac{\left(\frac 12\right)_m}{m!}\equiv (-1)^m\pmod p$も用いると,
\begin{align} \frac{S_p(x+1)}{2x+1}+\frac{S_p(x)}{2x-1}&\equiv -\frac{2pu}{(1-2u)x}\pmod{p^2} \end{align}
となる. $x\mapsto x+l$として, 両辺に$(-1)^l$を掛けて$l=0$から$\langle -x\rangle_p-1$まで足し合わせると, 望遠鏡和より
\begin{align} \frac{S_p(x)}{2x-1}&\equiv(-1)^{\langle -x\rangle_p}\frac{S_p(pu)}{2pu-1}-\frac{2pu}{1-2u}\sum_{l=0}^{\langle -x\rangle_p-1}\frac{(-1)^l}{x+l}\pmod{p^2}\\ &\equiv (-1)^{\langle -x\rangle_p}\frac{S_p(pu)}{2pu-1}+(-1)^{\langle-x\rangle_p}\frac{2pu}{1-2u}\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\pmod{p^2} \end{align}
を得る. 次に, $S_p(pu)$を評価する. $\beta_n:=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}$として, $1\leq n< m$のとき,
\begin{align} (4n+1)t_n(pu)\equiv pu\frac{(-1)^n(4n+1)}{n(2n+1)\beta_n}\pmod{p^2} \end{align}
となる. その和について,
\begin{align} \sum_{n=1}^{m-1}\frac{(-1)^n(4n+1)}{n(2n+1)\beta_n}&=\sum_{n=1}^{m-1}\left(\frac{(-1)^n}{n\beta_n}-\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)\beta_{n+1}}\right)\\ &=-2-\frac{(-1)^m}{m\beta_m}\\ &\equiv 0\pmod p \end{align}
が成り立つ. また, $n=m$のときは, 前の記事 と同様に
\begin{align} (4m+1)t_m(pu)&\equiv (-1)^m\beta_m^{-1}\frac{2u}{1-2u}(1-p)\pmod{p^2}\\ &\equiv \frac{2u}{1-2u}(1-p(1+q_p(2)))\pmod{p^2} \end{align}
となる. ここで, $q_p(2):=\frac{2^{p-1}-1}p$はFermat商であり,
\begin{align} \beta_m\equiv (-1)^m(1+pq_p(2))\pmod{p^2} \end{align}
であることを用いた. これらを合わせると
\begin{align} S_p(pu)&\equiv 1+\frac{2u}{1-2u}(1-p(1+q_p(2)))\pmod{p^2}\\ &\equiv \frac{1-2pu(1+q_p(2))}{1-2u}\pmod{p^2} \end{align}
となる. よって,
\begin{align} \frac{S_p(pu)}{2pu-1}\equiv \frac{2puq_p(2)-1}{1-2u}\pmod{p^2} \end{align}
を得る. これを用いると,
\begin{align} \frac{S_p(x)}{2x-1} &\equiv (-1)^{\langle -x\rangle_p}\frac{2puq_p(2)-1}{1-2u}+(-1)^{\langle-x\rangle_p}\frac{2pu}{1-2u}\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\pmod{p^2}\\ &\equiv -(-1)^{\langle -x\rangle_p}\frac{1}{1-2u}+(-1)^{\langle-x\rangle_p}\frac{2pu}{1-2u}\left(q_p(2)+\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\right)\pmod{p^2} \end{align}
つまり
\begin{align} S_p(x) &\equiv (-1)^{\langle -x\rangle_p}\frac{1-2x}{1-2u}-(-1)^{\langle-x\rangle_p}\frac{2pu(1-2x)}{1-2u}\left(q_p(2)+\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\right)\pmod{p^2} \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} &\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\\ &=\sum_{l=1}^{\left\lfloor\frac{\langle -x\rangle_p}{2}\right\rfloor}\frac 1{l}-\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac 1l\\ &\equiv \sum_{l=1}^{\left\lfloor\frac{\langle -x\rangle_p}{2}\right\rfloor}l^{p-2}-\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}l^{p-2}\pmod p\\ &\equiv\frac{B_{p-1}\left(\left\lfloor\frac{\langle -x\rangle_p}{2}\right\rfloor+1\right)-B_{p-1}(\langle -x\rangle_p+1)}{p-1}\pmod p\\ &\equiv -B_{p-1}\left(\left\lfloor\frac{\langle -x\rangle_p}{2}\right\rfloor+1\right)+B_{p-1}(\langle -x\rangle_p+1)\pmod p\\ &\equiv \begin{cases} B_{p-1}(1-x)-B_{p-1}\left(1-\frac x2\right),\qquad\langle-x\rangle_p:\mathrm{even}\\ B_{p-1}(1-x)-B_{p-1}\left(\frac{1-x}2\right),\qquad\langle-x\rangle_p:\mathrm{odd} \end{cases} \pmod p\\ &\equiv B_{p-1}(1-x)-\frac 12\left(B_{p-1}\left(1-\frac x2\right)+B_{p-1}\left(\frac{1-x}2\right)\right)\\ &\qquad-\frac{(-1)^{\langle -x\rangle_p}}{2}\left(B_{p-1}\left(1-\frac x2\right)-B_{p-1}\left(\frac{1-x}2\right)\right)\pmod p \end{align}
となる. ここで, Bernoulli多項式の倍角公式
\begin{align} B_n(t)=2^{n-1}\left(B_n\left(\frac t2\right)+B_n\left(\frac{t+1}2\right)\right) \end{align}
を用いて
\begin{align} &B_{p-1}(1-x)-\frac 12\left(B_{p-1}\left(1-\frac x2\right)+B_{p-1}\left(\frac{1-x}2\right)\right)\\ &=(1-2^{1-p})B_{p-1}(1-x)\\ &\equiv pq_p(2)B_{p-1}(1-x)\pmod p\\ &\equiv pq_p(2)(B_{p-1}(1-x)-B_{p-1})+pB_{p-1}q_p(2)\pmod p\\ &\equiv-q_p(2)\pmod p \end{align}
となる. ここで, 最後の等号は
\begin{align} B_{p-1}(1-x)-B_{p-1}\in\ZZ_p,\qquad pB_{p-1}\equiv -1\pmod p \end{align}
となることによる. よって,
\begin{align} &q_p(2)+\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\\ &\equiv -\frac{(-1)^{\langle -x\rangle_p}}{2}\left(B_{p-1}\left(1-\frac x2\right)-B_{p-1}\left(\frac{1-x}2\right)\right)\pmod p \end{align}
となることが分かり, これを先ほどの式
\begin{align} S_p(x) &\equiv (-1)^{\langle -x\rangle_p}\frac{1-2x}{1-2u}-(-1)^{\langle-x\rangle_p}\frac{2pu(1-2x)}{1-2u}\left(q_p(2)+\sum_{l=1}^{\langle -x\rangle_p}\frac{(-1)^l}{l}\right)\pmod{p^2} \end{align}
に代入すれば, 示すべき等式が得られる.