行ってQして帰ってくる、「指数昇降」についてのメモ
$Q(x)$:関数または作用素, $n\in \mathbb N$
階
$$ \overset{n}{Q}(x) := \exp^n \left( Q \ln^n(x) \right) $$
または
$$ \dot{Q}(x) = \exp \left( Q \ln(x) \right) $$
$$ \ddot{Q}(x) = \exp^2 \left( Q \ln^2(x) \right) $$
$$ \dddot{Q}(x) = \exp^3 \left( Q \ln^3(x) \right) $$
のように表現する。これを$n$階指数昇降(n-th floor exponential lifting)と呼ぶ(仮)。
ただし$f^n$は$f$の$n$回合成を意味する。
$$
T_x f(x) = \dot{D_x} f(x)
$$
$$
T^{-1}_x f(x) = \dot{\int} f(x) dx
$$
$$ \pin x = e^{\sin x} = \dot{\sin}(e^x) $$
$$ \cop x = e^{\cos x} = \dot{\cos}(e^x) $$
$$ T_x \pan x = {(\cop x)}^\dot{-2}=\exp(\frac{1}{\cos^2 x}) $$
$$
\dot{\exp} x = \exp x \space, x \geq 0
$$
$$
\ddot{\exp} x = \exp x \space, x \geq 1
$$
$$
\overset{n}{\exp} x = \exp x \space, x \geq e \uparrow \uparrow (n-2)\space ,n \geq 3
$$
$$ \overset{n}{\mathrm{id} } x = x \space, x \geq e \uparrow \uparrow (n-2) $$
$$ \pin^{\dot{2}} x \cop^{\dot{2}} x = e $$
$$
x \dot{+} y := \exp( \ln x + y) = xe^y
$$
$$
x \dot{\cross} y := \exp( \ln x \cross y) = x^y
$$
$$
x^{\dot{y}} = x \dot{ \verb|^| } y := \exp( (\ln x)^y)
$$
$$
x^{\dot{2}} = \exp( (\ln x)^2 ) = x^{\ln x}
$$
![!FORMULA[25][1170745744][0]のグラフ](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FEonQ8GtYYYqVxL9WjhQA.png?alt=media)
$y=x^{\ln x}$のグラフ
$$
(e^x)^2 = e^{2x}
$$
$$
(e^x)^\dot2 = e^{x^2}
$$
$$
(e^x)^\ddot2 = e^{x^\dot2}
$$
$$ (e^{e^x})^\ddot2 = e^{e^{x^2}} $$
$$
\overset{n}{Q} \overset{-n}{Q} x = \overset{-n}{Q} \overset{n}{Q} x = x
$$
$$
\overset{-n}{Q}(x) = \exp^n \left( Q^{-1} \ln^n (x) \right) = \overset{n}{(Q^{-1})}(x)
$$