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大学数学基礎解説
文献あり

メモ:超幾何級数の公式まとめ

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$$\newcommand{g}[0]{\Gamma} $$

超幾何級数の公式のまとめです.
いずれもBailey pairで証明できるらしいです.

\begin{align} & _7F_6\left[\begin{matrix}a,1+\frac{a}{2},b,d,a-p+1,p+1,-N \\\frac{a}{2},1+a-b,1+a-d,p,a-p,1+a+N \end{matrix};1 \right]\\ &=\frac{(1+a)_N(a-b-d)_N}{(1+a-b)_N(1+a-d)_N}\frac{(g+1)_N}{(g)_N} \end{align}

ここで
\begin{align} g=\frac{p(b+d-a)(p-a)}{p(a-p)-db} \end{align}

\begin{align} & _9F_8\left[\begin{matrix}a,1+\frac{a}{2},b,c,a-p+1,p+1,d,e,-N \\\frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,p,a-p,1+a-d,1+a-e,1+a+N \end{matrix};1 \right]\\ &=\frac{(1+a)_N(1+a-c-d)_N}{(1+a-c)_N(1+a-d)_N} \ _5F_4\left[\begin{matrix}c,d,a-b-e,h+1,-N\\1+a-b,1+a-e,c+d-a-N,h\end{matrix};1 \right] \end{align}

ここで
\begin{align} h=\frac{p(b+e-a)(p-a)}{p(a-p)-be} \end{align}

\begin{align} & _9F_8\left[\begin{matrix}a,1+\frac{a}{2},b,c,d,a-p+1,p+1,2a-d-c-b+N,-N\\\frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,p, a-p,1+b+d+c-a-N,1+a+N\end{matrix};1 \right]\\ &=\frac{(1+a)_N(1+a-c-d)_N(a-b-d)_N(a-b-c)_N(k+1)_N}{(1+a-c)_N(1+a-d)_N(1+a-b)_N(a-b-c-d)_N(k)_N} \end{align}

ここで
\begin{align} &h=\frac{p(a-d-c+N)(p-a)}{p(a-p)-b(2a-d-c-b+N)}\\ &k=\frac{h(b+d-a)(b+c-a)}{cd-h(b+c+d-a)}. \end{align}

\begin{align} & _{11}F_{10}\left[\begin{matrix}a,1+\frac{a}{2},b,c,d,a-p+1,p+1,e,f,g,-N \\\frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,p,a-p,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+N\end{matrix};1 \right]\\ &=\frac{(1+s-e)_N(1+s-f)_N(1+s-g)_N(1+s-e-f-g)_N}{(1+s)_N(1+s-e-f)_N(1+s-f-g)_N(1+s-e-g)_N}\\ &\times_{11}F_{10}\left[\begin{matrix}s,1+\frac{s}{2},e,f,g,a-b-c,a-d-c,a-b-d,1+\frac{s}{2}+\lambda,1+\frac{s}{2}-\lambda,,-N \\\frac{s}{2},1+s-e,1+s-f,1+s-g,1+a-d,1+a-c,1+a-b,\frac{s}{2}-\lambda,\frac{s}{2}+\lambda,1+s+N\end{matrix};1 \right] \end{align}

ここで
\begin{align} &s=2a-b-c-d,3a=e+f+g+b+c+d-1-N,A=a-c-d,\lambda^2=\frac{s^2}{4}-AD\\ &D=\frac{-p(p-a)(b+d-a)(b+c-a)}{p(p-a)(b+c+d-a)+bcd} \end{align}

\begin{align} & _7F_6\left[\begin{matrix}a,1+\frac{a}{2},b,c,d,a-p+1,p+1\\\frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,p, a-p\end{matrix};1 \right]\\ &=\frac{\g(1+a-b)\g(a+a-c)\g(1+a-d)\g(a-b-c-d)\g(k)}{\g(1+a)\g(1+a-c-d)\g(a-b-d)\g(a-b-c)\g(k+1)} \end{align}
\begin{align} &k=\frac{h(b+d-a)(b+c-a)}{cd-h(b+c+d-a)}\\ &h=\frac{p(a-p)}{b} \end{align}

参考文献

[1]
H.M.Srivastava, Extensions of the classical thorems for very well-poised hypergeometric functions, CrossMark
投稿日:22日前
更新日:22日前

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itou
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