Frullani integralに似た形の積分
こんにちは。この記事では次の形の積分について考えます。
この記事では$f$は常に$]0,+\infty[$上で$C^1$級とします。
$f(0),\;f(\infty)=\lim_{x\to+\infty}f(x)$が共に有限の値のとき、$p,q>0$に対して次が成り立つ。
$$\int_0^\infty \frac{f(x^p)-f(x^q)}{x}dx=\left(\frac1q-\frac1p\right)\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx$$
これはFrullani integralと似ていますね。
$f(0),\;f(\infty)=\lim_{x\to+\infty}f(x)$が共に有限の値のとき、$a,b>0$に対して次が成り立つ。
$$\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=(f(\infty)-f(0))\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
積分の順序を交換して示します。
$$\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx &= \int_0^\infty \int_b^a f'(xt)dtdx\\
&=\int_b^a \int_0^\infty f'(xt)dxdt\\
&=\int_b^a \left[\frac{f(xt)}{t}\right]^{x\to\infty}_{x=0}dt\\
&=\int_b^a \frac{f(\infty)-f(0)}tdt\\
&=(f(\infty)-f(0))\ln\left(\frac{a}{b}\right)
\end{align*}$$
証明
突然ですが、指数積分関数は通常次の二種類が定義されます。
$$E_1(x)=\int_x^\infty \frac{e^{-t}}tdt\;,\;\;\mathrm{Ein}(x)=\int_0^x \frac{1-e^{-t}}tdt$$
ここで二つの関数は次の等式で結ばれています。
$$\mathrm{Ein}(x)=\gamma+\ln(x)+E_1(x)$$
この式から着想を得て、一般化してみましょう。
$$F_1(x)=\int_x^\infty \frac{f(t)}{t}\;,\;\;\mathrm{Fin}(x)=\int_0^x \frac{f(0)-f(t)}{t}dt$$
と定義すると、次の等式が成り立つ。
$$ \mathrm{Fin}(x)=f(0)\ln(x)+F_1(x)+\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx $$
$$\begin{align*} \mathrm{Fin}(x)-F_1(x)-f(0)\ln(x)&=\int_0^x \frac{f(0)-f(t)}{t}dt-\int_x^\infty \frac{f(t)}{t}-f(0)\int_1^x\frac1tdt\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\int_\epsilon^x \frac{f(0)}{t}dt-\int_\epsilon^x\frac{f(t)}{t}dt-\int_x^\infty \frac{f(t)}{t}-\int_1^x\frac{f(0)}tdt\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\int_\epsilon^1 \frac{f(0)}{t}dt-\int_\epsilon^\infty\frac{f(t)}{t}dt\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\int_\epsilon^1 \frac{f(0)}{t}dt-\Big[f(t)\ln(t)\Big]^\infty_\epsilon+\int_\epsilon^\infty f'(t)\ln(t)dt\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;-f(0)\ln(\epsilon)+f(\epsilon)\ln(\epsilon)+\int_\epsilon^\infty f'(t)\ln(t)dt\\ &=\int_0^\infty f'(t)\ln(t)dt\\ \end{align*}$$
この等式を用いて最初の積分を証明しましょう。
$f(0),\;f(\infty)=\lim_{x\to+\infty}f(x)$が共に有限の値のとき、$p,q>0$に対して次が成り立つ。
$$\int_0^\infty \frac{f(x^p)-f(x^q)}{x}dx=\left(\frac1q-\frac1p\right)\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx$$
$$\begin{align*} \int_0^\infty \frac{f(x^p)-f(x^q)}{x}dx&=\lim_{\epsilon\to0}\;\int_\epsilon^\infty \frac{f(x^p)}{x}dx-\int_\epsilon^\infty \frac{f(x^q)}{x}dx\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1p\int_\epsilon^\infty \frac{f(x)}{x}dx-\frac1q\int_\epsilon^\infty \frac{f(x)}{x}dx\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1p\int_{\epsilon^p}^\infty \frac{f(x)}{x}dx-\frac1q\int_{\epsilon^q}^\infty \frac{f(x)}{x}dx \\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1pF_1(\epsilon^p)-\frac1qF_1(\epsilon^q)\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1p\left(\mathrm{Fin}(\epsilon^p)-pf(0)\ln(\epsilon)-\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx\right)\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac1q\left(\mathrm{Fin}(\epsilon^q)-qf(0)\ln(\epsilon)-\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx\right)\\ &=\left(\frac1q-\frac1p\right)\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx \end{align*}$$
例
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{\tan^{-1}(x^p)-\tan^{-1}(x^q)}{x}dx=0
\end{align*}
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{\tanh^{-1}(x^p)-\tanh^{-1}(x^q)}{x}dx=\left(\frac1p-\frac1q\right)\frac{\pi^2}{4}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{\tan^{-1}(x^p)^2-\tan^{-1}(x^q)^2}{x}dx=\left(\frac1q-\frac1p\right)\frac74\zeta(3)
\end{align*}
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{\tanh(x^p)-\tanh(x^q)}{x}dx=\left(\frac1p-\frac1q\right)\left(\gamma-\ln\left(\frac{\pi}4\right)\right)
\end{align*}
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