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Heineの和公式の二重類似

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前回の記事で, Vandermondeの恒等式の二重類似
0n(c,N)n(a,b)n+1k=0n(a,b)kk!(c)k=N!(1+a+bc)N(a,b)N+1
を部分分数分解を用いて示した. 今回はまずその方法をq類似に拡張することによって, q-Vandermondeの和公式の二重類似を示す.

0n(c,qN;q)n(a,b;q)n+1(abqN+1c)nk=0n(a,b;q)k(c,q;q)k(cab)k=(q,abq/c;q)N(a,b;q)N+1

knが整数のとき,
(a;q)k(a;q)n+1ank=j=kn(1)jq(j+12)1aqj(qj;q)k(q;q)j(q;q)njqj(kn)
が成り立つ.

(a;q)k(a;q)n+1ank=ankj=kn11aqj=j=kncj1aqj
と部分分数分解したときの係数は
cj=limaqjankkinij11aqi=qj(kn)kinij11qij=qj(kn)(qj;q)k(q;q)nj(qj;q)j=qj(kn)(qj;q)k(q;q)nj(q;q)j(1)jq(j+12)
となる.

定理1の証明

補題2より,
0n(c,qN;q)n(a,b;q)n+1(abqN+1c)nk=0n(a,b;q)k(c,q;q)k(cab)k=0n(c,qN;q)n(b;q)n+1(bqN+1c)nk=0n(b;q)k(c,q;q)k(cb)kj=kn(1)jq(j+12)1aqj(qj;q)k(q;q)j(q;q)njqj(kn)=0j(1)jq(j+12)(1aqj)(q;q)j(0n(c,qN;q)n(b;q)n+1(q;q)nj(bqNj+1c)n)(0k(b,qj;q)k(c,q;q)k(cqjb)k)
ここで, それぞれq-Vandermondeの和公式より,
0n(c,qN;q)n(b;q)n+1(q;q)nj(bqNj+1c)n=(c,qN;q)j(b;q)j+1(bqNj+1c)j0n(cqj,qjN;q)n(bqj+1,q;q)n(bqNj+1c)n=(c,qN;q)j(b;q)j+1(bqNj+1c)j(bq/c;q)Nj(bqj+1;q)Nj=(bq/c;q)N(b;q)N+1(1)jq(j2)(c,qN;q)j(cqN/b;q)j0k(b,qj;q)k(c,q;q)k(cqjb)k=(c/b;q)j(c;q)j
であるから, これを代入すると,
0j(1)jq(j+12)(1aqj)(q;q)j(0n(c,qN;q)n(b;q)n+1(q;q)nj(bqNj+1c)n)(0k(b,qj;q)k(c,q;q)k(cqjb)k)=(bq/c;q)N(b;q)N+10jqj(1aqj)(q;q)j(c/b,qN;q)j(cqN/b;q)j=(bq/c;q)N(1a)(b;q)N+13ϕ2[a,c/b,qNaq,cqN/b;q]
ここで, q-Saalschützの和公式より,
3ϕ2[a,c/b,qNaq,cqN/b;q]=(q,abq/c;q)N(aq,bq/c;q)N
であるからこれを代入して定理を得る.

前の記事 のように, 一致の定理を用いれば, 定理1をnon-terminatingに拡張することができるので, 以下のHeineの和公式の二重類似を得る.

0n(c,d;q)n(a,b;q)n+1(abqcd)nk=0n(a,b;q)k(c,q;q)k(cab)k=(q,abq/c,aq/d,bq/d;q)(a,b,q/d,abq/cd;q)

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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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