前回の記事で, Vandermondeの恒等式の二重類似∑0≤n(c,−N)n(a,b)n+1∑k=0n(a,b)kk!(c)k=N!(1+a+b−c)N(a,b)N+1を部分分数分解を用いて示した. 今回はまずその方法をq類似に拡張することによって, q-Vandermondeの和公式の二重類似を示す.
∑0≤n(c,q−N;q)n(a,b;q)n+1(abqN+1c)n∑k=0n(a,b;q)k(c,q;q)k(cab)k=(q,abq/c;q)N(a,b;q)N+1
k≤nが整数のとき,(a;q)k(a;q)n+1an−k=∑j=kn(−1)jq(j+12)1−aqj(q−j;q)k(q;q)j(q;q)n−jqj(k−n)が成り立つ.
(a;q)k(a;q)n+1an−k=an−k∏j=kn11−aqj=∑j=kncj1−aqjと部分分数分解したときの係数はcj=lima→q−jan−k∏k≤i≤ni≠j11−aqi=qj(k−n)∏k≤i≤ni≠j11−qi−j=qj(k−n)(q−j;q)k(q;q)n−j(q−j;q)j=qj(k−n)(q−j;q)k(q;q)n−j(q;q)j(−1)jq(j+12)となる.
補題2より,∑0≤n(c,q−N;q)n(a,b;q)n+1(abqN+1c)n∑k=0n(a,b;q)k(c,q;q)k(cab)k=∑0≤n(c,q−N;q)n(b;q)n+1(bqN+1c)n∑k=0n(b;q)k(c,q;q)k(cb)k∑j=kn(−1)jq(j+12)1−aqj(q−j;q)k(q;q)j(q;q)n−jqj(k−n)=∑0≤j(−1)jq(j+12)(1−aqj)(q;q)j(∑0≤n(c,q−N;q)n(b;q)n+1(q;q)n−j(bqN−j+1c)n)(∑0≤k(b,q−j;q)k(c,q;q)k(cqjb)k)ここで, それぞれq-Vandermondeの和公式より,∑0≤n(c,q−N;q)n(b;q)n+1(q;q)n−j(bqN−j+1c)n=(c,q−N;q)j(b;q)j+1(bqN−j+1c)j∑0≤n(cqj,qj−N;q)n(bqj+1,q;q)n(bqN−j+1c)n=(c,q−N;q)j(b;q)j+1(bqN−j+1c)j(bq/c;q)N−j(bqj+1;q)N−j=(bq/c;q)N(b;q)N+1(−1)jq−(j2)(c,q−N;q)j(cq−N/b;q)j∑0≤k(b,q−j;q)k(c,q;q)k(cqjb)k=(c/b;q)j(c;q)jであるから, これを代入すると,∑0≤j(−1)jq(j+12)(1−aqj)(q;q)j(∑0≤n(c,q−N;q)n(b;q)n+1(q;q)n−j(bqN−j+1c)n)(∑0≤k(b,q−j;q)k(c,q;q)k(cqjb)k)=(bq/c;q)N(b;q)N+1∑0≤jqj(1−aqj)(q;q)j(c/b,q−N;q)j(cq−N/b;q)j=(bq/c;q)N(1−a)(b;q)N+13ϕ2[a,c/b,q−Naq,cq−N/b;q]ここで, q-Saalschützの和公式より,3ϕ2[a,c/b,q−Naq,cq−N/b;q]=(q,abq/c;q)N(aq,bq/c;q)Nであるからこれを代入して定理を得る.
前の記事 のように, 一致の定理を用いれば, 定理1をnon-terminatingに拡張することができるので, 以下のHeineの和公式の二重類似を得る.
∑0≤n(c,d;q)n(a,b;q)n+1(abqcd)n∑k=0n(a,b;q)k(c,q;q)k(cab)k=(q,abq/c,aq/d,bq/d;q)∞(a,b,q/d,abq/cd;q)∞
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