Heineの和公式の二重類似

前回の記事で, Vandermondeの恒等式の二重類似
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, - N)_{n}}{(a, b)_{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b)_{k}}{k! (c)_{k}} & = \frac{N! (1 + a + b - c)_{N}}{(a, b)_{N + 1}} \end{aligned}$
を部分分数分解を用いて示した. 今回はまずその方法を $q$ 類似に拡張することによって, $q$ -Vandermondeの和公式の二重類似を示す.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, q^{- N}; q)_{n}}{(a, b; q)_{n + 1}} {(\frac{a b q^{N + 1}}{c})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c}{a b})}^{k} & = \frac{(q, a b q / c; q)_{N}}{(a, b; q)_{N + 1}} \end{aligned}$

$k \leq n$ が整数のとき,
$\begin{aligned} \frac{(a; q)_{k}}{(a; q)_{n + 1}} a^{n - k} & = \sum_{j = k}^{n} \frac{(- 1)^{j} q^{(\binom{j + 1}{2})}}{1 - a q^{j}} \frac{(q^{- j}; q)_{k}}{(q; q)_{j} (q; q)_{n - j}} q^{j (k - n)} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \frac{(a; q)_{k}}{(a; q)_{n + 1}} a^{n - k} & = a^{n - k} \prod_{j = k}^{n} \frac{1}{1 - a q^{j}} \\ = \sum_{j = k}^{n} \frac{c_{j}}{1 - a q^{j}} \end{aligned}$
と部分分数分解したときの係数は
$\begin{aligned} c_{j} & = lim_{a \to q^{- j}} a^{n - k} \prod_{\begin{array}{c} k \leq i \leq n \\ i \neq j \end{array}} \frac{1}{1 - a q^{i}} \\ = q^{j (k - n)} \prod_{\begin{array}{c} k \leq i \leq n \\ i \neq j \end{array}} \frac{1}{1 - q^{i - j}} \\ = q^{j (k - n)} \frac{(q^{- j}; q)_{k}}{(q; q)_{n - j} (q^{- j}; q)_{j}} \\ = q^{j (k - n)} \frac{(q^{- j}; q)_{k}}{(q; q)_{n - j} (q; q)_{j}} (- 1)^{j} q^{(\binom{j + 1}{2})} \end{aligned}$
となる.

定理1の証明

補題2より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, q^{- N}; q)_{n}}{(a, b; q)_{n + 1}} {(\frac{a b q^{N + 1}}{c})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c}{a b})}^{k} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(c, q^{- N}; q)_{n}}{(b; q)_{n + 1}} {(\frac{b q^{N + 1}}{c})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c}{b})}^{k} \sum_{j = k}^{n} \frac{(- 1)^{j} q^{(\binom{j + 1}{2})}}{1 - a q^{j}} \frac{(q^{- j}; q)_{k}}{(q; q)_{j} (q; q)_{n - j}} q^{j (k - n)} \\ = \sum_{0 \leq j} \frac{(- 1)^{j} q^{(\binom{j + 1}{2})}}{(1 - a q^{j}) (q; q)_{j}} (\sum_{0 \leq n} \frac{(c, q^{- N}; q)_{n}}{(b; q)_{n + 1} (q; q)_{n - j}} {(\frac{b q^{N - j + 1}}{c})}^{n}) (\sum_{0 \leq k} \frac{(b, q^{- j}; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c q^{j}}{b})}^{k}) \end{aligned}$
ここで, それぞれ $q$ -Vandermondeの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, q^{- N}; q)_{n}}{(b; q)_{n + 1} (q; q)_{n - j}} {(\frac{b q^{N - j + 1}}{c})}^{n} & = \frac{(c, q^{- N}; q)_{j}}{(b; q)_{j + 1}} {(\frac{b q^{N - j + 1}}{c})}^{j} \sum_{0 \leq n} \frac{(c q^{j}, q^{j - N}; q)_{n}}{(b q^{j + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{b q^{N - j + 1}}{c})}^{n} \\ = \frac{(c, q^{- N}; q)_{j}}{(b; q)_{j + 1}} {(\frac{b q^{N - j + 1}}{c})}^{j} \frac{(b q / c; q)_{N - j}}{(b q^{j + 1}; q)_{N - j}} \\ = \frac{(b q / c; q)_{N}}{(b; q)_{N + 1}} {(- 1)}^{j} q^{- (\binom{j}{2})} \frac{(c, q^{- N}; q)_{j}}{(c q^{- N} / b; q)_{j}} \\ \sum_{0 \leq k} \frac{(b, q^{- j}; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c q^{j}}{b})}^{k} & = \frac{(c / b; q)_{j}}{(c; q)_{j}} \end{aligned}$
であるから, これを代入すると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq j} \frac{(- 1)^{j} q^{(\binom{j + 1}{2})}}{(1 - a q^{j}) (q; q)_{j}} (\sum_{0 \leq n} \frac{(c, q^{- N}; q)_{n}}{(b; q)_{n + 1} (q; q)_{n - j}} {(\frac{b q^{N - j + 1}}{c})}^{n}) (\sum_{0 \leq k} \frac{(b, q^{- j}; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c q^{j}}{b})}^{k}) \\ = \frac{(b q / c; q)_{N}}{(b; q)_{N + 1}} \sum_{0 \leq j} \frac{q^{j}}{(1 - a q^{j}) (q; q)_{j}} \frac{(c / b, q^{- N}; q)_{j}}{(c q^{- N} / b; q)_{j}} \\ = \frac{(b q / c; q)_{N}}{(1 - a) (b; q)_{N + 1}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, c / b, q^{- N} \\ a q, c q^{- N} / b \end{array}; q] \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, c / b, q^{- N} \\ a q, c q^{- N} / b \end{array}; q] & = \frac{(q, a b q / c; q)_{N}}{(a q, b q / c; q)_{N}} \end{aligned}$
であるからこれを代入して定理を得る.

前の記事のように, 一致の定理を用いれば, 定理1をnon-terminatingに拡張することができるので, 以下のHeineの和公式の二重類似を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, d; q)_{n}}{(a, b; q)_{n + 1}} {(\frac{a b q}{c d})}^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} {(\frac{c}{a b})}^{k} & = \frac{(q, a b q / c, a q / d, b q / d; q)_{\infty}}{(a, b, q / d, a b q / c d; q)_{\infty}} \end{aligned}$

投稿日：4月17日

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Wataru

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