Heineの和公式の二重類似
前回の記事で, Vandermondeの恒等式の二重類似
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(a,b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{N!(1+a+b-c)_N}{(a,b)_{N+1}}
\end{align}
を部分分数分解を用いて示した. 今回はまずその方法を$q$類似に拡張することによって, $q$-Vandermondeの和公式の二重類似を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,q^{-N};q)_n}{(a,b;q)_{n+1}}\left(\frac{abq^{N+1}}{c}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k&=\frac{(q,abq/c;q)_N}{(a,b;q)_{N+1}} \end{align}
$k\leq n$が整数のとき,
\begin{align}
\frac{(a;q)_k}{(a;q)_{n+1}}a^{n-k}&=\sum_{j=k}^n\frac{(-1)^jq^{\binom{j+1}2}}{1-aq^j}\frac{(q^{-j};q)_k}{(q;q)_j(q;q)_{n-j}}q^{j(k-n)}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\frac{(a;q)_k}{(a;q)_{n+1}}a^{n-k}&=a^{n-k}\prod_{j=k}^n\frac{1}{1-aq^j}\\
&=\sum_{j=k}^n\frac{c_j}{1-aq^j}
\end{align}
と部分分数分解したときの係数は
\begin{align}
c_j&=\lim_{a\to q^{-j}} a^{n-k}\prod_{\substack{k\leq i\leq n\\i\neq j}}\frac 1{1-aq^i}\\
&=q^{j(k-n)}\prod_{\substack{k\leq i\leq n\\i\neq j}}\frac 1{1-q^{i-j}}\\
&=q^{j(k-n)}\frac{(q^{-j};q)_k}{(q;q)_{n-j}(q^{-j};q)_j}\\
&=q^{j(k-n)}\frac{(q^{-j};q)_k}{(q;q)_{n-j}(q;q)_j}(-1)^jq^{\binom{j+1}2}
\end{align}
となる.
補題2より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c,q^{-N};q)_n}{(a,b;q)_{n+1}}\left(\frac{abq^{N+1}}{c}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(c,q^{-N};q)_n}{(b;q)_{n+1}}\left(\frac{bq^{N+1}}{c}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{b}\right)^k\sum_{j=k}^n\frac{(-1)^jq^{\binom{j+1}2}}{1-aq^j}\frac{(q^{-j};q)_k}{(q;q)_j(q;q)_{n-j}}q^{j(k-n)}\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^jq^{\binom{j+1}2}}{(1-aq^j)(q;q)_j}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(c,q^{-N};q)_n}{(b;q)_{n+1}(q;q)_{n-j}}\left(\frac{bq^{N-j+1}}{c}\right)^n\right)\left(\sum_{0\leq k}\frac{(b,q^{-j};q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cq^j}{b}\right)^k\right)
\end{align}
ここで, それぞれ$q$-Vandermondeの和公式より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,q^{-N};q)_n}{(b;q)_{n+1}(q;q)_{n-j}}\left(\frac{bq^{N-j+1}}{c}\right)^n&=\frac{(c,q^{-N};q)_j}{(b;q)_{j+1}}\left(\frac{bq^{N-j+1}}{c}\right)^j\sum_{0\leq n}\frac{(cq^j,q^{j-N};q)_n}{(bq^{j+1},q;q)_{n}}\left(\frac{bq^{N-j+1}}{c}\right)^n\\
&=\frac{(c,q^{-N};q)_j}{(b;q)_{j+1}}\left(\frac{bq^{N-j+1}}{c}\right)^j\frac{(bq/c;q)_{N-j}}{(bq^{j+1};q)_{N-j}}\\
&=\frac{(bq/c;q)_N}{(b;q)_{N+1}}\left(-1\right)^jq^{-\binom j2}\frac{(c,q^{-N};q)_j}{(cq^{-N}/b;q)_j}\\
\sum_{0\leq k}\frac{(b,q^{-j};q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cq^j}{b}\right)^k&=\frac{(c/b;q)_j}{(c;q)_j}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^jq^{\binom{j+1}2}}{(1-aq^j)(q;q)_j}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(c,q^{-N};q)_n}{(b;q)_{n+1}(q;q)_{n-j}}\left(\frac{bq^{N-j+1}}{c}\right)^n\right)\left(\sum_{0\leq k}\frac{(b,q^{-j};q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cq^j}{b}\right)^k\right)\\
&=\frac{(bq/c;q)_N}{(b;q)_{N+1}}\sum_{0\leq j}\frac{q^j}{(1-aq^j)(q;q)_j}\frac{(c/b,q^{-N};q)_j}{(cq^{-N}/b;q)_j}\\
&=\frac{(bq/c;q)_N}{(1-a)(b;q)_{N+1}}\Q32{a,c/b,q^{-N}}{aq,cq^{-N}/b}{q}
\end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\Q32{a,c/b,q^{-N}}{aq,cq^{-N}/b}{q}&=\frac{(q,abq/c;q)_N}{(aq,bq/c;q)_N}
\end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.
前の記事 のように, 一致の定理を用いれば, 定理1をnon-terminatingに拡張することができるので, 以下のHeineの和公式の二重類似を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,d;q)_n}{(a,b;q)_{n+1}}\left(\frac{abq}{cd}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{c}{ab}\right)^k&=\frac{(q,abq/c,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}{(a,b,q/d,abq/cd;q)_{\infty}} \end{align}
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