線形二項間漸化式の解とその応用
以前, 漸化式で遊んでいたときに作ったものをまとめてみました.
なお, 本記事が初投稿ですので, おかしな箇所などありましたら遠慮なく教えてください.
前準備
$\mathbb{N}:=\mathbb{Z}^+$
$f,g,h$は$\mathbb{N}$を定義域にもつ関数とする.
空和は$0$, 空積は$1$とする.
線形二項間漸化式
数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が
\begin{align}
a_{n+1}=g(n)a_n+f(n)\,\,\,(\forall n\in\mathbb{N})
\end{align}
を満足するとき,
\begin{align}
a_n
&=a_1\!\left(\prod^{n-1}_{k=1}g(k)\right)\!+\sum^{n-1}_{k=1}f(k)\hspace{-2.3mm}\prod^{n-1}_{j=k+1}\hspace{-2.3mm}g(j) \\
&=\left(\prod^{n-1}_{k=1}g(k)\right)\!\left(a_1+\sum^{n-1}_{k=1}\frac{f(k)}{\prod^k_{j=1}g(j)}\right)
\end{align}
但し, 最右辺は$0$除算とならない場合のみ有効である.
天下り的には明らか.
線形三項間漸化式
上手くいけば二項間漸化式に変形できるという話です.
\begin{align} &a_{n+1}=g(n)a_n+f(n)\,\,\,(\forall n\in\mathbb{N})\\ &\Longrightarrow a_{n+2}=\big(h(n)+g(n+1)\big)a_{n+1}-h(n)g(n)a_n+\big(f(n+1)-h(n)f(n)\big)\,\,\,(\forall n\in\mathbb{N})\overset{ }{ } \end{align}
$a_{n+2}-h(n)a_{n+1}$を計算すればよい.
応用問題
最後に, Mathお 様の記事「 自作漸化式 」に載っている問題を解いてみます. なお, どうでもいい途中式は端折っています
数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が
$$
\begin{cases}
a_1=2\\
\displaystyle a_{n+1}= 1+\frac{n(n+2)}{a_n} & (\forall n\in\mathbb{N})
\end{cases}
$$
を満足するとき, 一般項を求めよ.
$$
\begin{cases}
\,b_1=1 & (\text{初項は任意})\\
a_{n}=b_{n+1}/b_n & (\forall n\in\mathbb{N})\overset{ }{ }
\end{cases}
$$
なる数列$\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を取ると
\begin{align}
\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}
&=1+\frac{n(n+2)}{b_{n+1}/b_{n}}\\
b_{n+2}
&=b_{n+1}+n(n+2)b_n\overset{ }{ }
\end{align}
この漸化式は [定理2] について
$$
h(n)=n+2,\,\,g(n)=-n
$$
とすれば同じ形となるから
$$
b_{n+1}=-nb_n+\frac{3}{2}(n+1)!
$$
よって [定理1] により
$$
b_n=\frac{1}{8}(n-1)!(6n+3+(-1)^n)
$$
従って
$$
a_n=\frac{n(6n+9-(-1)^n)}{6n+3+(-1)^{n}}
$$
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