高校数学解説

線形二項間漸化式の解とその応用

漸化式,数列

826

以前, 漸化式で遊んでいたときに作ったものをまとめてみました.

なお, 本記事が初投稿ですので, おかしな箇所などありましたら遠慮なく教えてください.

前準備

$N := Z^{+}$

$f, g, h$ は $N$ を定義域にもつ関数とする.

空和は $0$ , 空積は $1$ とする.

線形二項間漸化式

数列 ${a_{n}}_{n \in N}$ が
$\begin{array}{r} a_{n + 1} = g (n) a_{n} + f (n) (\forall n \in N) \end{array}$
を満足するとき,
$\begin{aligned} a_{n} & = a_{1} (\prod_{k = 1}^{n - 1} g (k)) + \sum_{k = 1}^{n - 1} f (k) \prod_{j = k + 1}^{n - 1} g (j) \\ = (\prod_{k = 1}^{n - 1} g (k)) (a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{f (k)}{\prod_{j = 1}^{k} g (j)}) \end{aligned}$
但し, 最右辺は $0$ 除算とならない場合のみ有効である.

天下り的には明らか.

線形三項間漸化式

上手くいけば二項間漸化式に変形できるという話です.

$\begin{aligned} a_{n + 1} = g (n) a_{n} + f (n) (\forall n \in N) \\ ⟹ a_{n + 2} = (h (n) + g (n + 1)) a_{n + 1} - h (n) g (n) a_{n} + (f (n + 1) - h (n) f (n)) (\forall n \in N) \overset{}{} \end{aligned}$

$a_{n + 2} - h (n) a_{n + 1}$ を計算すればよい.

応用問題

最後に, Mathお様の記事「自作漸化式」に載っている問題を解いてみます. なお, どうでもいい途中式は端折っています

（問題）

数列 ${a_{n}}_{n \in N}$ が
${\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = 1 + \frac{n (n + 2)}{a_{n}} & (\forall n \in N) \end{cases}$
を満足するとき, 一般項を求めよ.

（解）

${\begin{cases} b_{1} = 1 & (初項は任意) \\ a_{n} = b_{n + 1} / b_{n} & (\forall n \in N) \overset{}{} \end{cases}$
なる数列 ${b_{n}}_{n \in N}$ を取ると
$\begin{aligned} \frac{b_{n + 2}}{b_{n + 1}} & = 1 + \frac{n (n + 2)}{b_{n + 1} / b_{n}} \\ b_{n + 2} & = b_{n + 1} + n (n + 2) b_{n} \overset{}{} \end{aligned}$
この漸化式は [定理2] について
$h (n) = n + 2, g (n) = - n$
とすれば同じ形となるから
$b_{n + 1} = - n b_{n} + \frac{3}{2} (n + 1)!$
よって [定理1] により
$b_{n} = \frac{1}{8} (n - 1)! (6 n + 3 + (- 1)^{n})$
従って
$a_{n} = \frac{n (6 n + 9 - (- 1)^{n})}{6 n + 3 + (- 1)^{n}}$

投稿日：2023年9月18日

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投稿者

nanaSi

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「満足する」(＝「満たす」)は語呂が好きなので使っているだけです. 特に深い意味はありません.

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