Gessel-Stantonによる3F2の変換公式

1つ目の等式を示す. まず,
\begin{align} &\left((1-x)^3+\frac{27x}4\right)^{-a}\\ &=(1-x)^{-3a}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27x}{4(1-x)^3}\right)^m\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27x}4\right)^m\sum_{0\leq k}\frac{(3a+3m)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27x}4\right)^m\frac{(3a+3m)_{n-m}}{(n-m)!}\qquad k=n-m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(3a)_n}{n!}x^n\F32{-n,\frac{n+3a}2,\frac{n+3a+1}2}{a+\frac 13,a+\frac 23}{1} \end{align}
となる. 一方,
\begin{align} &\left((1-x)^3+\frac{27x}4\right)^{-a}\\ &=(1+2x)^{-2a}\left(1-\frac x4\right)^{-a}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(2a)_k}{k!}(-2)^k\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}4^{k-n}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}\left(\frac x4\right)^n\F21{2a,-n}{1-a-n}{-8} \end{align}
となるから, $x^n$の係数を比較して1つ目の等式を得る. 次に2つ目の等式を示す. まず,
\begin{align} &\left((1-x)^3-\frac{27x^2}{4}\right)^{-a}\\ &=(1-x)^{-3a}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27x^2}{4(1-x)^3}\right)^m\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27x^2}{4}\right)^m\sum_{0\leq k}\frac{(3a+3m)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27}{4}\right)^m\frac{(3a+3m)_{n-2m}}{(n-2m)!}\qquad k=n-2m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}x^n\F32{-\frac n2,\frac{1-n}2,3a+n}{a+\frac 13,a+\frac 23}{1} \end{align}
となる. 一方,
\begin{align} &\left((1-x)^3-\frac{27x^2}{4}\right)^{-a}\\ &=(1-4x)^{-a}\left(1+\frac x2\right)^{-2a}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k}{k!}4^k\frac{(2a)_{n-k}}{(n-k)!}(-2)^{k-n}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(2a)_n}{n!}\left(-\frac x2\right)^n\F21{a,-n}{1-2a-n}{-8} \end{align}
であるから, $x^n$の係数を比較して2つ目の等式を得る.

1つ目の等式を示す. まず,
\begin{align} &\left(1-\frac{27}4x(1-x)^2\right)^{-a}\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27x(1-x)^2}{4}\right)^m\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27}4\right)^m\sum_{0\leq k}(-1)^k\binom{2m}kx^{m+k}\\ &=\sum_{0\leq m\leq n}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{27}4\right)^m(-1)^{n-m}\binom{2m}{n-m}x^n\qquad k=n-m\\ &=\sum_{0\leq n}(-x)^n\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(-\frac{27}4\right)^m\frac{(2m)!}{(n-m)!(3m-n)!}\\ &=\sum_{0\leq n}\left(\frac{27x}4\right)^n\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{n-m}}{(n-m)!}\left(-\frac{27}4\right)^{-m}\frac{(2n-2m)!}{m!(2n-3m)!}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}\left(\frac{27x}4\right)^n\F32{-\frac{2n}3,\frac{1-2n}3,\frac{2-2n}3}{\frac 12-n,1-a-n}1 \end{align}
である. 一方
\begin{align} &\left(1-\frac{27}4x(1-x)^2\right)^{-a}\\ &=(1-3x)^{-2a}\left(1-\frac{3x}4\right)^{-a}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(2a)_k}{k!}3^k\frac{(a)_{n-k}}{(n-k)!}\left(\frac 34\right)^{n-k}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}\left(\frac{3x}{4}\right)^n\F21{2a,-n}{1-a-n}4 \end{align}
となるから, $x^n$の係数を比較して1つ目の等式を得る. 次に, 2つ目の等式を示す. まず,
\begin{align} &\left((1-x)^2-\frac{4x^3}{27}\right)^{-a}\\ &=(1-x)^{-2a}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{4x^3}{27(1-x)^2}\right)^m\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{4x^3}{27}\right)^m\sum_{0\leq k}\frac{(2m+2a)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(\frac{4}{27}\right)^m\frac{(2m+2a)_{n-3m}}{(n-3m)!}\qquad k=n-3m\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m(2a)_{n-m}}{m!(2a)_{2m}(n-3m)!}\left(\frac{4}{27}\right)^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(2a)_n}{n!}x^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{a+\frac 12,1-a-n}1 \end{align}
となる. 一方,
\begin{align} &\left((1-x)^2-\frac{4x^3}{27}\right)^{-a}\\ &=\left(1-\frac x3\right)^{-2a}\left(1-\frac{4x}3\right)^{-a}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k}{k!}\left(\frac 43\right)^k\frac{(2a)_{n-k}}{(n-k)!}\left(\frac 13\right)^{n-k}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(2a)_n}{n!}\left(\frac x3\right)^n\F21{a,-n}{1-2a-n}{4} \end{align}
となるから, $x^n$の係数を比較して2つ目の等式を得る. 次に, 3つ目の等式を示す. まず,
\begin{align} &((1-x)^3+x^3)^{-a}\\ &=(1-x)^{-3a}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}\left(-\frac{x^3}{(1-x)^3}\right)^m\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m(a)_m}{m!}x^{3m}\sum_{0\leq k}\frac{(3a+3m)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m(a)_m(3a+3m)_{n-3m}}{m!(n-3m)!}\qquad k=n-3m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(3a)_n}{n!}x^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{a+\frac 13,a+\frac 23}1 \end{align}
となる. 一方,
\begin{align} &((1-x)^3+x^3)^{-a}\\ &=(1-3x+3x^2)^{-a}\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}(3x(1-x))^m\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_m}{m!}(3x)^m\sum_{0\leq k}\binom mk(-x)^k\\ &=\sum_{0\leq n}(-x)^n\sum_{0\leq m}(-3)^m\frac{(a)_m}{m!}\binom{m}{n-m}\qquad k=n-m\\ &=\sum_{0\leq n}(3x)^n\sum_{0\leq m}(-3)^{-m}\frac{(a)_{n-m}}{m!(n-2m)!}\qquad m\mapsto n-m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}(3x)^n\F21{-\frac n2,\frac{1-n}2}{1-a-n}{\frac 43} \end{align}
となるから, $x^n$の係数を比較して3つ目の等式を得る.