ある3F2の三次変換公式について

前の記事 で
\begin{align} a_n=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}4^k\frac{(2n-2k)!}{k!^2(n-k)!(n-3k)!} \end{align}
という数列について考察し, それが
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
という表示を持つことを示した. これらの間の等式は超幾何級数で表すと
\begin{align} 3^n\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,\frac 12-n}1=\F32{\frac 12,-n,-n}{1,1}1 \end{align}
と表すことができる. 今回は 前の記事 の議論を一般化することによって, この等式の一般化となる超幾何級数の三次変換公式
\begin{align} 3^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{a+\frac 12,1-n-a}1&=\frac{(2a)_n}{(a)_n}\F32{a,\frac 12-a-n,-n}{a+\frac 12,2a}1 \end{align}
を示したいと思う.

導出

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}t^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{b,1-n-a}1\\ &=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{n-k}}{3^{3k}k!(b)_k(n-3k)!}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{1}{3^{3k}k!(b)_k}t^{3k}\sum_{0\leq n}\frac{(a)_{n+2k}}{n!}t^n\qquad n\mapsto n+2k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{2k}}{3^{3k}k!(b)_k}t^{3k}(1-t)^{-a-2k} \end{align}
となる. $t=3u$として,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}(3u)^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{b,1-n-a}1\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{2k}}{k!(b)_k}u^{3k}(1-3u)^{-a-2k}\\ &=(1-u)^{-2a}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{2k}}{k!(b)_k}\left(\frac{u^3}{(1-u)^4}\right)^k\left(1-\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^{-a-2k}\\ &=(1-u)^{-2a}\sum_{0\leq k}\frac{1}{k!(b)_k}\left(\frac{u^3}{(1-u)^4}\right)^k\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{m+2k}}{m!}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^m\\ &=(1-u)^{-2a}\sum_{0\leq k}\frac{1}{k!(b)_k}\left(\frac{u}{(1+u)^2}\right)^k\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{m}}{(m-2k)!}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^m\qquad m\mapsto m-2k\\ &=(1-u)^{-2a}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{m}}{m!}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^m\sum_{0\leq k}\frac{\left(-m\right)_{2k}}{k!(b)_k}\left(\frac{u}{(1+u)^2}\right)^k\\ &=(1-u)^{-2a}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{m}}{m!}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^m\F21{-\frac m2,\frac{1-m}2}{b}{\frac{4u}{(1+u)^2}} \end{align}
となる. ここで, 二次変換公式
\begin{align} \F21{a,b}{1+a-b}{z}&=(1+z)^{-a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{1+a-b}{\frac{4z}{(1+z)^2}} \end{align}
より
\begin{align} \F21{-\frac m2,\frac{1-m}2}{b}{\frac{4u}{(1+u)^2}}&=(1+u)^{-m}\F21{-m,1-m-b}{b}{u} \end{align}
となり, Eulerの変換公式より
\begin{align} \F21{-m,1-m-b}{b}{u}=(1-u)^{2b-1+2m}\F21{b+m,2b-1+m}b{u} \end{align}
となる. よって, これらを代入して
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}(3u)^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{b,1-n-a}1\\ &=(1-u)^{2b-2a-1}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{m}}{m!}u^m\F21{b+m,2b-1+m}{b}{u}\\ &=(1-u)^{2b-2a-1}\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{m}}{m!(b,2b-1)_m}u^m\sum_{0\leq k}\frac{(b,2b-1)_{m+k}}{k!(b)_k}u^k\\ &=(1-u)^{2b-2a-1}\sum_{0\leq n}(b,2b-1)_nu^n\sum_{m=0}^n\frac{(a)_m}{m!(b,2b-1)_m(n-m)!(b)_{n-m}}\\ &=(1-u)^{2b-2a-1}\sum_{0\leq n}\frac{(2b-1)_n}{n!}u^n\F32{a,1-b-n,-n}{b,2b-1}1 \end{align}
を得る. つまり, 以下が得られた.

特に$b=a+\frac 12$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}(3u)^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac 12+a,1-n-a}1&=\sum_{0\leq n}\frac{(2a)_n}{n!}u^n\F32{a,\frac 12-a-n,-n}{a+\frac 12,2a}1 \end{align}
となる. 両辺の$u^n$の係数を比較して以下を得る.

これは 前の記事 の系3
\begin{align} \F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac 12-a-n}{a+\frac 12,\frac 56-a-n,\frac 76-a-n}1=\frac{\left(a+\frac 12\right)_n\left(3a-\frac 12\right)_{2n}}{\left(3a-\frac 12\right)_{3n}}\F32{a,\frac 12-a-n,-n}{a+\frac 12,2a}4 \end{align}
の類似と言える. これらの変換公式を同時に一般化するような三次変換公式があるかどうかは気になるところである.

${}_6F_5$への書き換え

Whippleの変換公式より
\begin{align} \F65{a,1+\frac a2,\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac a2,a+\frac 12,a+\frac{n+3}3,a+\frac{n+2}3,a+\frac{n+1}3}{-1}=3^n\frac{(a,3a+1)_n}{(3a)_{2n}}\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{a+\frac 12,1-n-a}1 \end{align}
となるから, 定理2は以下のように書き換えられる.

これは Verma-Jainの三次変換公式 の類似と言えるかもしれない.