あるApéry数の類似について8

前の記事 で, Cooper's sporadic sequencesの1つは
\begin{align} 3^n\binom{2n}n\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}\frac{(2k)!(2n-2k)!}{k!^4(n-k)!(n-3k)!} \end{align}
と表されることをみた. 前の記事ではその類似として
\begin{align} 4^n\binom{2n}n\F43{-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{1,1,\frac 12-n}1&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n4\rfloor}4^{n-3k}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!^3(n-k)!(n-4k)!} \end{align}
もCooper's sporadic sequencesの形の漸化式を満たすことを述べたが, 今回はこれらの類似として,
\begin{align} a_n&:=3^n\binom{2n}n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,\frac 12-n}1=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}4^k\frac{(2n-2k)!}{k!^2(n-k)!(n-3k)!} \end{align}
によって定義される数列について考察していきたいと思う. 以下で述べるようにこの数列はOEISの A186375 になっている.

漸化式

まず, ${}_3F_2$の隣接関係式やZeilbergerのアルゴリズムを用いることによって$a_n$は以下の漸化式を満たすことが分かる.

Zagier's sporadic sequences は
\begin{align} (n+1)^2u_{n+1}-(an^2+an+b)u_n+cn^2u_{n-1}=0 \end{align}
を満たすような散発的な数列であるが, 定理1の漸化式はそれを若干拡張した
\begin{align} (n+1)^2u_{n+1}-(an^2+an+b)u_n+(cn^2+d)u_{n-1}=0 \end{align}
という形の漸化式である. これは Cooper's sporadic sequences の類似と言えるが, 他にこのような漸化式を満たす散発的な数列がどれぐらいあるのかは気になるところである.

母関数1

以下の定理2の導出は 前の記事 の定理1の導出と全く同様である.
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}4^k\frac{(2n-2k)!}{k!^2(n-k)!(n-3k)!}\\ &=\sum_{0\leq n}(12x)^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{-3k}\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}}{k!^2(n-3k)!}\\ &=\sum_{0\leq n,k}(12x)^{n+3k}3^{-3k}\frac{\left(\frac 12\right)_{n+2k}}{k!^2n!}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_{2k}}{k!^2}(4x)^{3k}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+2k\right)_{n}}{n!}(12x)^n\\ &=\frac 1{\sqrt{1-12x}}\F21{\frac 14,\frac34}{1}{\frac{256x^3}{(1-12x)^2}} \end{align}
となる. つまり以下を得る.

別の表示1

OEISの A186375 によれば, $a_n$は
\begin{align} 4^n\F32{\frac 12,-n,-n}{1,1}1&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
という表示を持つようである. 以下, 母関数を考えることによってこれを示したいと思う.
\begin{align} b_n:=4^n\F32{\frac 12,-n,-n}{1,1}1&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
とする.
\begin{align} \sum_{0\leq n}b_nx^n&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(2k)!}{k!^4}x^n4^{n-k}\frac{n!^2}{(n-k)!^2}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(2k)!}{k!^4}x^k\frac{(n+k)!^2}{n!^2}(4x)^n\qquad n\mapsto n+k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k}{k!}(4x)^k\F21{k+1,k+1}{1}{4x} \end{align}
となる. ここで, Eulerの変換公式より
\begin{align} \F21{k+1,k+1}{1}{4x}&=(1-4x)^{-2k-1}\F21{-k,-k}{1}{4x} \end{align}
となり, 二次変換公式
\begin{align} \F21{a,b}{1+a-b}{z}=(1+z)^{-a}\F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{1+a-b}{\frac{4z}{(1+z)^2}} \end{align}
を用いると
\begin{align} \F21{-k,-k}{1}{4x}&=(1+4x)^k\F21{-\frac k2,\frac{1-k}2}{1}{\frac{16x}{(1+4x)^2}} \end{align}
を得る. よって, $u=4x$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}b_nx^n&=\frac 1{1-u}\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k}{k!}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^k\F21{-\frac k2,\frac{1-k}2}{1}{\frac{4u}{(1+u)^2}}\\ &=\frac 1{1-u}\sum_{0\leq k}\sum_{0\leq j}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^k\frac{\left(\frac 12\right)_k}{j!^2(k-2j)!}\left(\frac{u}{(1+u)^2}\right)^j\\ &=\frac 1{1-u}\sum_{0\leq j}\frac{1}{j!^2}\left(\frac{u^3}{(1-u)^4}\right)^j\sum_{0\leq k}\left(\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^k\frac{\left(\frac 12\right)_{2j+k}}{k!}\qquad k\mapsto 2j+k\\ &=\frac 1{1-u}\sum_{0\leq j}\frac{\left(\frac 12\right)_{2j}}{j!^2}\left(\frac{u^3}{(1-u)^4}\right)^j\left(1-\frac{u(1+u)}{(1-u)^2}\right)^{-2j-\frac 12}\\ &=\frac 1{\sqrt{1-3u}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{4u^3}{(1-3u)^2}}\\ &=\frac 1{\sqrt{1-12x}}\F21{\frac 14,\frac34}{1}{\frac{256x^3}{(1-12x)^2}} \end{align}
となって$a_n$の母関数に一致することが分かるので, $a_n=b_n$である. つまり以下が得られた.

この表示は Zagier's sporadic sequences の1つである
\begin{align} c_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
に似ており, $c_n$の漸化式
\begin{align} (n+1)^2c_{n+1}-(10n^2+10n+3)c_n+9n^2c_{n-1}=0 \end{align}
には多項式$10n^2+10n+3$が表されているという$a_n$の漸化式との共通点もあるということもあり, 何か密接な関係がありそうである.

定理3の表示に 前の記事 の補題2を適用すると以下のような表示も得られる.
\begin{align} a_n&=4^n\binom{2n}n\F32{\frac 12,-n,-n}{1,-2n}{1}\\ &=\binom{2n}n\F32{\frac 12,n+1,-n}{1,\frac 12-n}1 \end{align}

別の表示2

定義の表示にWhippleの変換公式を適用すると, 前の記事 と同様に
\begin{align} \F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,\frac 12-n}1&=\frac 32\binom{2n}n\F65{-n,1-\frac n2,\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{-\frac n2,\frac 12-n,\frac{3-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{1-2n}3}{-1} \end{align}
と表され, 以下の表示を得る.

定理3の表示に対し, Whippleの変換公式を適用すると,
\begin{align} \F32{\frac 12,-n,-n}{1,1}1&=\frac{\left(\frac 32+n\right)_n}{\left(\frac 32\right)_n}\F65{\frac 12,\frac 54,\frac 12,\frac 12,-n,-n}{\frac 14,1,1,\frac 32+n,\frac 32+n}{-1}\\ &=\frac{\left(\frac 32\right)_{2n}}{\left(\frac 32\right)_n^2}\F65{\frac 12,\frac 54,\frac 12,\frac 12,-n,-n}{\frac 14,1,1,\frac 32+n,\frac 32+n}{-1}\\ \end{align}
という表示も得られる.

母関数2

定理3を用いて, $\binom{2n}n$を掛けた母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}na_nx^n&=\sum_{0\leq n,k}x^n4^{n-k}\frac{(2n)!(2k)!}{k!^4(n-k)!^2}\\ &=\sum_{0\leq n,k}x^k\frac{(2k)!(2n+2k)!}{k!^4n!^2}(4x)^n\qquad n\mapsto n+k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!^2}{k!^4}x^k\F21{k+\frac 12,k+1}{1}{16x} \end{align}
と表される. ここで, Eulerの変換公式より
\begin{align} \F21{k+\frac 12,k+1}{1}{16x}&=(1-16x)^{-2k-\frac 12}\F21{-k,\frac 12-k}{1}{16x} \end{align}
であり, 先ほど用いた二次変換公式から,
\begin{align} \F21{-2k,-2k}{1}{u}&=(1+u)^{2k}\F21{-k,\frac{1}2-k}{1}{\frac{4u}{(1+u)^2}} \end{align}
より, $\displaystyle x=\frac{u}{4(1+u)^2}$とすると
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}na_n\left(\frac{u}{4(1+u)^2}\right)^n&=\frac 1{\sqrt{1-16x}}\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!^2}{k!^4}\left(\frac{x}{(1-16x)^2(1+u)^2}\right)^k\F21{-2k,-2k}{1}{u}\\ &=\frac{1+u}{1-u}\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k^2}{k!^2}\left(\frac{4u}{(1-u)^4}\right)^k\F21{-2k,-2k}{1}{u}\\ \end{align}
を得る. ここで, Pfaffの変換公式より,
\begin{align} \F21{-2k,-2k}{1}{u}&=(1-u)^{2k}\F21{-2k,2k+1}{1}{\frac{u}{u-1}}\\ &=(1-u)^{2k}P_{2k}\left(\frac{1+u}{1-u}\right) \end{align}
であるから, 以下を得る.

Wan-Zudilinの論文によれば,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)^{2n}P_{2n}\left(\frac{(x+y)(1-xy)}{(x-y)(1+xy)}\right)\\ &=\frac{1+xy}2\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{1-x^2}\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{1-y^2} \end{align}
が成り立つようである. ここから定理4の右辺は${}_2F_1$で書けることが分かるが, これを用いて実際に明示式を得るためには連立方程式
\begin{align} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)^2&=\frac{4u}{(1-u)^2}\\ \frac{(x+y)(1-xy)}{(x-y)(1+xy)}&=\frac{1+u}{1-u} \end{align}
を解く必要がある. とりあえず数式処理システムを用いて計算すると$u,\sqrt{1-14u+u^2}$の多項式に根号を含む非常に複雑な式になるため, 簡潔な表示があるかどうかはよく分からないところである.

母関数3

定理3の表示は
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom nk^2\sum_{i+j=k}\frac{k!^2}{i!^2j!^2}\\ &=\sum_{i+j+k=n}\frac{n!^2}{i!^2j!^2k!^2}4^k \end{align}
と書き換えられる. よって, $n!^2$で割って母関数を考えると以下を得る.