2つのsporadic sequencesの母関数

今回は, 前の記事 で扱った数列のうちの2つの数列
\begin{align} a_n&:=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}\frac{(2k)!(2n-2k)!}{k!^4(n-k)!(n-3k)!}\\ b_n&:=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n4\rfloor}4^{n-3k}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!^3(n-k)!(n-4k)!} \end{align}
に対し, その母関数の超幾何級数による明示式を与えたいと思う. 1つ目はCooperによる数列であり, 2つ目は新たに見つかったものである.

1つ目の数列

\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n3^{n-3k}\frac{(2k)!(2n-2k)!}{k!^4(n-k)!(n-3k)!}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n3^{n-3k}4^{n-k}\frac{(2k)!\left(\frac 12\right)_{n-k}}{k!^4(n-3k)!}\\ &=\sum_{0\leq n,k}3^{n}4^{n+2k}\frac{(2k)!\left(\frac 12\right)_{n+2k}}{k!^4n!}x^{n+3k}\qquad n\mapsto n+3k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!\left(\frac 12\right)_{2k}}{k!^4}(16x^3)^k\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+2k\right)_n}{n!}(12x)^{n}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 14,\frac 12,\frac 34\right)_k}{k!^3}(256x^3)^k(1-12x)^{-2k-\frac 12}\\ &=\frac 1{\sqrt{1-12x}}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256x^3}{(1-12x)^2}} \end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.

2つ目の数列

\begin{align} \sum_{0\leq n}b_nx^n&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n4^{n-3k}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!^3(n-k)!(n-4k)!}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n4^{2n-4k}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_{n-k}}{k!^3(n-4k)!}\\ &=\sum_{0\leq n,k}4^{2n+4k}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_{n+3k}}{k!^3n!}x^{n+4k}\qquad n\mapsto n+4k\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_{3k}}{k!^3}(4x)^{4k}\frac{\left(\frac 12+3k\right)_n}{n!}(16x)^{n}\\ &=\sum_{0\leq n,k}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_{3k}}{k!^3}(4x)^{4k}(1-16x)^{-3k-\frac 12}\\ &=\frac 1{\sqrt{1-16x}}\F32{\frac 16,\frac 12,\frac 56}{1,1}{-\frac{27(4x)^4}{(1-16x)^3}} \end{align}
つまり以下を得る.

Ramanujan-Sato級数

定理1や定理2を用いることによって, $a_n,b_n$が入ったRamanujan-Sato級数を得ることができる. $a_n$が入ったRamanujan-Sato級数はCooperによって得られているので, ここでは$b_n$が入ったRamanujan-Sato級数を1つ計算してみようと思う. 最も収束が速い Chudonovskyの公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(545140134n+13591409)\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac{1}{53360^3}\right)^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(6n)!}{n!^3(3n)!}\frac{545140134n+13591409}{640320^{3n}}\\ &=\frac{426880\sqrt{10005}}{\pi} \end{align}
を用いることを考える.
\begin{align} -\frac{27(4x)^4}{(1-16x)^3}=-\frac 1{53360^3} \end{align}
の有理数解は$x=-\frac 1{32000}$となる. よって,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{b_n}{(-32000)^n}=\frac{100}{\sqrt{10005}}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac{1}{53360^3}\right)^n \end{align}
次に, 定理2の両辺を$x$で微分してから$x$を掛けると
\begin{align} \sum_{0\leq n}nb_nx^n&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}(-27\cdot 4^4)^nx\frac{d}{dx}\frac{x^{4n}}{(1-16x)^{3n+\frac 12}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}(-27\cdot 4^4)^n\left(\frac{4nx^{4n}}{(1-16x)^{3n+\frac 12}}+\frac{8\left(6n+1\right)x^{4n+1}}{(1-16x)^{3n+\frac 32}}\right)\\ &=\frac 4{\sqrt{1-16x}}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}(-27\cdot 4^4)^n\frac{x^{4n}}{(1-16x)^{3n}}\left(n+\frac{2(6n+1)x}{1-16x}\right) \end{align}
となる. これに$x=-\frac 1{32000}$を代入して
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{nb_n}{(-32000)^n}&=\frac{400}{\sqrt{10005}}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac 1{53360^3}\right)^n\left(n-\frac{6n+1}{16008}\right)\\ &=\frac{50}{2001\sqrt{10005}}\sum_{0\leq n}\frac{(16002n-1)\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac 1{53360^3}\right)^n \end{align}
を得る. よって,
\begin{align} 545140134=16002\cdot 34067 \end{align}
となっていることから,
\begin{align} 34067\cdot 4002\sum_{0\leq n}\frac{nb_n}{(-32000)^n}&=\frac{100}{\sqrt{10005}}\sum_{0\leq n}\frac{(545140134n-34067)\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac 1{53360^3}\right)^n \end{align}
となる. これに
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{b_n}{(-32000)^n}=\frac{100}{\sqrt{10005}}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac{1}{53360^3}\right)^n \end{align}
の両辺を$13591409+34067=13625476$倍したものを足すと,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(34067\cdot 4002n+13625476)b_n}{(-32000)^n}&=\frac{100}{\sqrt{10005}}\sum_{0\leq n}\frac{(545140134n+13591409)\left(\frac 16,\frac 12,\frac 56\right)_n}{n!^3}\left(-\frac{1}{53360^3}\right)^n\\ &=\frac{100}{\sqrt{10005}}\frac{426880\sqrt{10005}}{\pi}\\ &=\frac{42688000}{\pi} \end{align}
両辺を$1334$で割って,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(102201n+10214)b_n}{(-32000)^n}=\frac{32000}{\pi} \end{align}
を得る.