Cooper's sporadic sequences
Almkvist-Zudilin's sporadic sequences
は
\begin{align}
(n+1)^3A_{n+1}-(2n+1)(an^2+an+b)A_n+cn^3A_{n-1}=0\qquad A_0=1, \quad A_{-1}=0
\end{align}
を満たす散発的な整数列である. Cooperはより一般的な漸化式
\begin{align}
(n+1)^3A_{n+1}-(2n+1)(an^2+an+b)A_n-n(cn^2+d)A_{n-1}=0\qquad A_0=1,\quad A_{-1}=0
\end{align}
を満たす整数列を
\begin{align}
1\leq a\leq 50,\quad-20\leq b\leq 20,\quad -200\leq c\leq 200,\quad-30\leq d\leq 30
\end{align}
の場合と
\begin{align}
1\leq a\leq 50,\quad-20\leq b\leq 20,\quad-30\leq d\leq 30,\qquad c=-r^2d,\qquad 1\leq r\leq 10
\end{align}
の場合について探索し, その範囲における散発的な数列が
\begin{align}
(a,b,c,d)=(6,2,64,-4),(13,4,27,-3),(14,6,-192,12)
\end{align}
の3つだけであることを確かめたようである.
4乗のFranel数
$(a,b,c,d)=(6,2,64,-4)$の場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-2(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n-4n(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. この数列の明示式は
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^4
\end{align}
と表される. これが上の漸化式を満たしていることはFranelによって1895年に示された古典的な結果である. Yang-Zudilin数と呼ばれることもあるようである.
$(a,b,c,d)=(13,4,27,-3)$の場合
この場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(13n^2+13n+4)a_n-3n(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. これは
前の記事
でも扱った数列であり, この数列は様々な明示式を持つが, 特に簡潔な明示式として
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2k}n
\end{align}
がある. Cooperの論文によれば, これはZudilinによって与えられたもののようである.
$(a,b,c,d)=(14,6,-192,12)$の場合
この場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-2(2n+1)(7n^2+7n+3)a_n+12n(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. この数列の明示式は
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(-1)^k\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\left(\binom{2n-3k-1}{n}+\binom{2n-3k}{n}\right)\qquad n\geq 1
\end{align}
で与えられる. Cooperの論文によれば, これもZudilinによって与えられたもののようである. 超幾何級数で書くと
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(-1)^k\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\left(\binom{2n-3k-1}{n}+\binom{2n-3k}{n}\right)\\
&=\frac{3\cdot 4^n}{n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(n-2k)\frac{\left(-n,\frac 12\right)_k}{k!^2}\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}}{(n-k)!}\binom{2n-3k-1}{n-1}\\
&=\frac{3\cdot 4^n\left(\frac 12\right)_n(2n)!}{2\cdot n!^3}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\frac{n-2k}n\frac{\left(-n,\frac 12,-n\right)_k}{k!^2\left(\frac 12-n\right)_k}\frac{(-n)_{3k}}{(1-2n)_{3k}}\\
&=\frac{3}{2}\binom{2n}n^2\F76{-n,1-\frac n2,\frac 12,-n,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{-\frac n2,\frac 12-n,1,\frac{3-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{1-2n}3}1
\end{align}
となる. これはvery-well-poised${}_7F_6$による表示である. Whippleの${}_7F_6$変換公式よりbalanced${}_4F_3$による表示も得られる. $n=3k$が3の倍数のとき,
\begin{align}
&\F76{-n,1-\frac n2,\frac 12,-n,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{-\frac n2,\frac 12-n,1,\frac{3-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{1-2n}3}1\\
&=\frac{\left(1-3k,-k\right)_k}{\left(\frac 13-2k,\frac 23-2k\right)_k}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1\\
&=\frac{3^{3k}\left(2k,-2k\right)_kk!}{\left(-6k\right)_{3k}}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1\\
&=\frac{3^{3k}(3k-1)!(2k)!(3k)!}{(2k-1)!(6k)!}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1\\
&=\frac 23\frac{3^nn!^2}{(2n)!}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1\\
\end{align}
となる. $n$が$3k+1,3k+2$の場合も全く同様に
\begin{align}
\F76{-n,1-\frac n2,\frac 12,-n,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{-\frac n2,\frac 12-n,1,\frac{3-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{1-2n}3}1&=\frac 23\frac{3^nn!^2}{(2n)!}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1
\end{align}
となるから,
\begin{align}
a_n&=3^n\binom{2n}n\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}\frac{(2k)!(2n-2k)!}{k!^4(n-k)!(n-3k)!}
\end{align}
を得る.
新たな数列?
\begin{align}
(a,b,c,d)=(20,8,-432,48)
\end{align}
の場合, 漸化式
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-4(2n+1)(5n^2+5n+2)a_n+48n(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
を満たす数列の明示式が
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n4\rfloor}4^{n-3k}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!^3(n-k)!(n-4k)!}
\end{align}
となることをZeilbergerのアルゴリズムを用いることによって最近発見した. これはCooperが探索した範囲
\begin{align}
1\leq a\leq 50,\quad-20\leq b\leq 20,\quad -200\leq c\leq 200,\quad-30\leq d\leq 30
\end{align}
または
\begin{align}
1\leq a\leq 50,\quad-20\leq b\leq 20,\quad-30\leq d\leq 30,\qquad c=-r^2d,\qquad 1\leq r\leq 10
\end{align}
に含まれておらず, またOEISにも載っていないようなので, 新たなsporadic sequencesと言えるものになっているかもしれないと期待している. この数列は超幾何級数によって
\begin{align}
a_n&=4^n\binom{2n}n\F43{-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{1,1,\frac 12-n}1
\end{align}
と表される. これは先ほどの$(a,b,c,d)=(14,6,-192,12)$の場合の数列の表示
\begin{align}
3^n\binom{2n}n\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1
\end{align}
と非常に似ている. $a_n$に関して良く知られた変換公式などを適用することによって別の表示が得られるかは今後の研究課題である.
まとめ
これらの数列は全て${}_4F_3$で表されており, Almkvist-Zudilin's sporadic sequences のように${}_9F_8$が必要になるようなものは今のところないようである. 一見して新しそうな例が見つかったことから, この形の数列は探索する範囲を広げれば, 新しい数列がさらに見つかる可能性もあるのではないかと思っている. Cooperの論文では, 最初の3つの数列とモジュラー形式の関係が得られている. これについては 子葉さんの記事 にもまとめられている. 最後の数列に関してもモジュラー形式と関係があるのかについても今後の研究課題である.
