文献あり

ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その7、公式集2)

はじめに

　この記事では前回の記事に続いてラマヌジャン・佐藤級数に関する公式の数々をまとめていきます。
　前回の記事ではChan, Cooper (2012)にて提示されていたLevel 1~6およびLevel 8,9の公式をまとめました。なのでこの記事では残るLevel 7およびLevel 10以上の公式についてまとめていきます。
　なお種々の文献から要点を抜き取ってまとめたものとなるので表記揺れや誤植などが目立つと思いますが、あしからず。

Level 7,18

メモ

　Chan, Cooperの手法では
$\begin{aligned} (n + 1)^{2} s_{n + 1} & = (a n^{2} + a n + b) s_{n} + c n^{2} s_{n - 1} \\ (n + 1)^{3} t_{n + 1} & = - (2 n + 1) (a n^{2} + a n + a - 2 b) t_{n} - (4 c + a^{2}) n^{3} t_{n - 1} \end{aligned}$
という漸化式を考え
$\frac{1}{π} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{2 n}{n}) s_{n} \frac{A n + B}{X^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} t_{n} \frac{A^{'} n + B^{'}}{Y^{n}}$
という公式を構成した。ここで $u_{n} = (\binom{2 n}{n}) s_{n}$ とおくとこれは
$(n + 1)^{3} u_{n + 1} = 2 (2 n + 1) (a n^{2} + a n + b) u_{n} + 4 c n (4 n^{2} - 1) u_{n - 1}$
を満たすことに注意したい。
　しかし[CTYZ]にて考えられた数列
$B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{4}$
の満たす漸化式は $u_{n}$ のそれとは絶妙に異なるもの
$(n + 1)^{3} B_{n + 1} = 2 (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n + 1) B_{n} + 4 n (16 n^{2} - 1) B_{n - 1}$
であった。
　そこでCooperは $s_{- 1} = 0, s_{0} = 1$ および
$(n + 1)^{3} s_{n + 1} = (2 n + 1) (a n^{2} + a n + b) s_{n} + n (c n^{2} + d) s_{n - 1}$
によって定まる数列を考えることとした。これを $s_{n} [a, b, c, d]$ と置くことにすると、例えば
$\begin{aligned} t_{n} [a, b, c] & = s_{n} [- a, 2 b - a, - (4 c + a^{2}), 0] \\ u_{n} [a, b, c] & = s_{n} [2 a, 2 b, 16 c, - 4 c] \\ B_{n} & = s_{n} [6, 2, 64, - 4] \end{aligned}$
と表せる。なお $α^{n} s_{n} [a, b, c, d] = s_{n} [α a, α b, α^{2} c, α^{2} d]$ が成り立つことに注意する。
　Cooperは
$1 \leq a \leq 50, | b | \leq 20, | c | \leq 200, | d | \leq 30$
における $s_{n} [a, b, c, d]$ の値を探索してみたところ従来の $t_{n}, u_{n}$ 型のものの他に新たな数列
$\begin{aligned} s_{n} [6, 2, 64, - 4] & = B_{n} \\ s_{n} [13, 4, 27, - 3] & = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} (\binom{2 k}{n}) (\binom{n + k}{k}) \\ s_{n} [14, 6, - 192, 12] & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{2 k}{k}) (\binom{2 n - 2 k}{n - k}) ((\binom{2 n - 3 k - 1}{n}) + (\binom{2 n - 3 k}{n})) \end{aligned}$
が得られたという。

Level 7

Level 7の関係式

$\begin{aligned} j_{7 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{7 B} (τ)} + \frac{7}{\sqrt{j_{2 B} (τ)}})}^{2} - 1 \\ j_{7 B} (τ) & = {(\frac{η (τ)}{η (7 τ)})}^{4} \end{aligned}$
および
$s_{7 A} (n) = s_{n} [13, 4, 27, - 3] = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} (\binom{2 k}{n}) (\binom{n + k}{k})$
とおくと
$([1] [7])^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{s_{7 A} (n)}{j_{7 A} (τ)^{n + \frac{2}{3}}}$
が成り立つ。

Level 7の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \sqrt{\frac{(j_{7 A} (τ) - 27) (j_{7 A} (τ) + 1)}{j_{7 A} (τ)}} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{7 A} (n) \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{7 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$
これは $| j_{7 A} (τ) | > 27$ において収束する。

特殊値一覧

$\begin{array}{ccccc} τ & N & j_{7 A} (τ) & λ + \frac{1}{2} & 1 / π \\ \sqrt{- N / 7} & 4 & 5^{3} & \frac{4}{21} & \frac{8}{5^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{7 A} (n) \frac{21 n + 4}{5^{3 n}} \\ \frac{1 + \sqrt{- N / 7}}{2} & 13 & - 4^{3} & \frac{10}{39} & \frac{\sqrt{7}}{4^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} s_{7 A} (n) \frac{39 n + 10}{4^{3 n}} \\ 61 & - 22^{3} & \frac{1286}{11895} & \frac{\sqrt{7}}{22^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} s_{7 A} (n) \frac{11895 n + 1286}{22^{3 n}} \end{array}$

Level 18

　例の如く $[n] = η (n τ)$ とおく。

Level 18の関係式

$\begin{aligned} j_{18 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{18 B} (τ)} + \frac{3}{\sqrt{j_{18 B} (τ)}})}^{2} \\ j_{18 B} (τ) & = \frac{([3] [6])^{4}}{([1] [2] [9] [18])^{2}} \end{aligned}$
および
$\begin{aligned} s_{18 A} (n) & = s_{n} [14, 6, - 192, 12] \\ = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{2 k}{k}) (\binom{2 n - 2 k}{n - k}) ((\binom{2 n - 3 k - 1}{n}) + (\binom{2 n - 3 k}{n})) \end{aligned}$
とおくと
$([3] [6])^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{s_{18 A} (n)}{j_{18 A} (τ)^{n + \frac{3}{4}}}$
が成り立つ。

Level 18の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \sqrt{\frac{(j_{18 A} (τ) - 16) (j_{18 A} (τ) - 12)}{j_{18 A} (τ)}} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{18 A} (n) \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{18 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$
これは $| j_{18 A} (τ) | > 16$ において収束する。

特殊値一覧

$\begin{array}{ccccc} τ & N & j_{18 A} (τ) & λ + \frac{1}{2} & 1 / π \\ 2 & 18 & 0 & \frac{2 \sqrt{3}}{27} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{18 A} (n) \frac{n}{18^{n}} \\ \sqrt{- N / 18} & 5 & 6^{2} & \frac{3}{20} & \frac{\sqrt{3}}{54} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{18 A} (n) \frac{20 n + 3}{6^{2 n}} \\ 11 & 12^{2} & \frac{15}{88} & \frac{\sqrt{3}}{108} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{18 A} (n) \frac{88 n + 15}{12^{2 n}} \\ 29 & 54^{2} & \frac{789}{6380} & \frac{\sqrt{3}}{4374} \sum_{n = 0}^{\infty} s_{18 A} (n) \frac{6380 n + 789}{54^{2 n}} \\ 13 & - 6^{2} & \frac{9}{26} & \frac{\sqrt{3}}{27} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} s_{18 A} (n) \frac{26 n + 9}{6^{2 n}} \\ \frac{1 + \sqrt{- N} / 3}{2} & 25 & - 180 & \frac{3}{14} & \frac{2 \sqrt{3}}{27} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} s_{18 A} (n) \frac{14 n + 3}{180^{n}} \\ 37 & - 24^{2} & \frac{171}{1036} & \frac{\sqrt{3}}{864} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} s_{18 A} (n) \frac{1036 n + 171}{24^{2 n}} \end{array}$

Level 10

Level 10の関係式

$\begin{aligned} j_{10 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{10 B} (τ)} - \frac{1}{\sqrt{j_{10 B} (τ)}})}^{2} = {(\sqrt{j_{10 C} (τ)} + \frac{4}{\sqrt{j_{10 C} (τ)}})}^{2} = {(\sqrt{j_{10 D} (τ)} + \frac{5}{\sqrt{j_{10 D} (τ)}})}^{2} - 4 \\ j_{10 B} (τ) & = {(\frac{[2] [5]}{[1] [10]})}^{6} \\ j_{10 C} (τ) & = {(\frac{[1] [5]}{[2] [10]})}^{4} \\ j_{10 D} (τ) & = {(\frac{[1] [2]}{[5] [10]})}^{2} \\ j_{10 E} (τ) & = \frac{[2] [5]^{5}}{[1] [10]^{5}} \end{aligned}$
および
$\begin{aligned} β_{1} (n) & = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{4} \\ β_{2} (n) & = (\binom{2 n}{n}) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(\binom{2 k}{k})}^{- 1} β_{1} (k) \\ β_{3} (n) & = (\binom{2 n}{n}) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(\binom{2 k}{k})}^{- 1} (- 4)^{n - k} β_{1} (k) \end{aligned}$
とおくと
$\sqrt{([1] [5])^{4} + 4 ([2] [10])^{4}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{β_{1} (n)}{j_{10 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{β_{2} (n)}{(j_{10 A} (τ) + 4)^{n + \frac{1}{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{β_{3} (n)}{(j_{10 A} (τ) - 16)^{n + \frac{1}{2}}}$
が成り立つ。

Level 10の円周率公式

$\begin{aligned} \frac{1}{2 π Im (τ)} & = \sqrt{\frac{(j_{10 A} (τ) + 4) (j_{10 A} (τ) - 16)}{j_{10 A} (τ)}} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{1} (n) \frac{n + \frac{1}{2} + λ_{1}}{j_{10 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}} \\ = \sqrt{\frac{(j_{10 A} (τ) - 16) j_{10 A} (τ)}{j_{10 A} (τ) + 4}} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{2} (n) \frac{n + \frac{1}{2} + λ_{2}}{(j_{10 A} (τ) + 4)^{n + \frac{1}{2}}} \\ = \sqrt{\frac{j_{10 A} (τ) (j_{10 A} (τ) + 4)}{j_{10 A} (τ) - 16}} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{3} (n) \frac{n + \frac{1}{2} + λ_{3}}{(j_{10 A} (τ) - 16)^{n + \frac{1}{2}}} \end{aligned}$
これらはそれぞれ $| j_{10 A} (τ) | > 16, | j_{10 A} (τ) + 4 | > 20, | j_{20 A} (τ) - 16 | > 20$ において収束する。

　ちなみに $β_{1} (n)$ は三項間漸化式
$(n + 1)^{3} β_{1} (n + 1) = 2 (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n + 1) β_{1} (n) + 4 n (16 n^{2} - 1) β_{1} (n - 1)$
を満たし、 $β_{2} (n), β_{3} (n)$ は五項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} β_{2} (n + 1) & = & 4 (8 n^{3} + 9 n^{2} + 5 n + 1) β_{2} (n) \\ - 16 (18 n^{3} - 21 n^{2} + 11 n - 3) β_{2} (n - 1) \\ + 8 (2 n - 3) (64 n^{2} - 132 n + 73) β_{2} (n - 2) \\ - 320 (2 n - 3) (2 n - 5) (n - 2) β_{2} (n - 3) \\ (n + 1)^{3} β_{3} (n + 1) & = & - 2 (34 n^{3} + 27 n^{2} + 15 n + 3) β_{3} (n) \\ - 4 (12 n - 7) (36 n^{2} - 31 n + 16) β_{3} (n - 1) \\ - 32 (2 n - 3) (304 n^{2} - 672 n + 413) β_{3} (n - 2) \\ - 20480 (2 n - 3) (2 n - 5) (n - 2) β_{3} (n - 3) \end{aligned}$
を満たす。

特殊値一覧

　以下
$\begin{aligned} - λ & = \sqrt{\frac{(j_{10 A} (τ) + 4) (j_{10 A} (τ) - 16)}{j_{10 A} (τ)}} λ_{1} \\ = \sqrt{\frac{(j_{10 A} (τ) - 16) j_{10 A} (τ)}{j_{10 A} (τ) + 4}} λ_{2} \\ = \sqrt{\frac{j_{10 A} (τ) (j_{10 A} (τ) + 4)}{j_{10 A} (τ) - 16}} λ_{3} \end{aligned}$
とおく。(収束条件には重々注意されたい。)
$\begin{array}{cccc} τ & N & j_{10 A} (τ) & λ \\ 3 & 6^{2} & \frac{5 \sqrt{2}}{6} \\ \sqrt{- N / 10} & 5 & 14^{2} & \frac{19 \sqrt{10}}{14} \\ 13 & 36^{2} & \frac{188 \sqrt{65}}{117} \\ 19 & 76^{2} & \frac{785 \sqrt{2}}{38} \\ 3 & - 3^{2} & \frac{\sqrt{5}}{6} \\ \frac{1 + \sqrt{- N / 5}}{2} & 5 & - 20 & \frac{2 \sqrt{5}}{5} \\ 9 & - 8^{2} & \frac{5 \sqrt{3}}{4} \\ 17 & - 18^{2} & \frac{220 \sqrt{17}}{153} \end{array}$

Level 13

Level 13の関係式

$\begin{aligned} j_{13 A} (τ) & = j_{13 B} (τ) + 2 + \frac{13}{j_{13 B} (τ)} \\ j_{13 B} (τ) & = {(\frac{η (τ)}{η (13 τ)})}^{2} \end{aligned}$
　数列 $A_{n}$ を $A_{0} = 1$ および六項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} A_{n + 1} & = & (15 n^{3} + 18 n^{2} + 10 n + 2) A_{n} \\ - (23 n^{3} - 63 n^{2} + 27 n - 9) A_{n - 1} \\ - (11 n^{3} + 24 n^{2} - 118 n + 70) A_{n - 2} \\ + 6 (2 n - 5) (3 n^{2} - 9 n + 5) A_{n - 3} \\ - 4 (2 n - 5) (2 n - 7) (n - 3) A_{n - 4} \end{aligned}$
によって定めると
$- q \frac{d}{d q} \log j_{13 B} (τ) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A_{n}}{(j_{13 A} (τ) + 4)^{n}}$
が成り立つ。

Level 13の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \sqrt{\frac{j_{13 A} (τ)^{2} - 4 j_{13 A} (τ) - 48}{j_{13 A} (τ) + 4}} \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{(j_{13 A} (τ) + 4)^{n + \frac{1}{2}}}$
これは $| j_{13 A} (τ) + 4 | > 6 + 2 \sqrt{13} = 13.21 \dots$ において収束する。

　ちなみにこれが有理的になる例は $τ = (1 + \sqrt{- 31 / 13}) / 2$ の場合
$\frac{\sqrt{31}}{π} = \frac{9}{750} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} A_{n} \frac{750 n + 161}{124^{n}} (j_{13 A} = - 128)$
しか知られていない。

Level 14

Level 14の関係式

$\begin{aligned} j_{14 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{14 B} (τ)} + \frac{1}{\sqrt{j_{14 B} (τ)}})}^{2} \\ j_{14 B} (τ) & = {(\frac{[2] [7]}{[1] [14]})}^{4} \\ b_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{2 k}{k})}^{2} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) (\binom{n + j}{2 k + 2 j}) (\binom{2 k + 2 j}{k + j}) \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および四項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & (2 n + 1) (11 n^{2} + 11 n + 5) a_{n} \\ - n (121 n^{2} + 20) a_{n - 1} \\ + 98 n (n - 1) (2 n - 1) a_{n - 2} \end{aligned}$
によって定めると
$[1] [2] [7] [5] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{14 A} (τ)^{n + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{b_{n}}{(j_{14 A} (τ) - 4)^{n + 1}}$
が成り立つ。

Level 14の円周率公式

$\begin{aligned} \frac{1}{2 π Im (τ)} & = \sqrt{\frac{(j_{14 A} - 4) (j_{14 A}^{2} - 18 j_{14 A} + 49)}{j_{14 A}}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + 1 + λ_{1}}{j_{14 A} (τ)^{n + 1}} \\ = \sqrt{\frac{j_{14 A} (j_{14 A}^{2} - 18 j_{14 A} + 49)}{j_{14 A} - 4}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + 1 + λ_{2}}{(j_{14 A} (τ) - 4)^{n + 1}} \end{aligned}$
この前者は $| j_{14 A} (τ) | > 9 + 4 \sqrt{2} = 14.65 \dots$ において収束する。

$\begin{array}{cccc} τ & N & j_{14 A} (τ) & λ_{1} + 1 \\ 2 & 18 & \frac{1}{7} \\ \sqrt{- N / 14} & 3 & 25 & \frac{8}{45} \\ 5 & 49 & \frac{11}{60} \\ \frac{1 + \sqrt{- N / 7}}{2} & 19 & - 171 & \frac{73}{340} \end{array}$

Level 15

Level 15の関係式

$\begin{aligned} j_{15 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{15 B} (τ)} + \frac{3}{\sqrt{j_{15 B} (τ)}})}^{2} \\ j_{15 B} (τ) & = {(\frac{[1] [5]}{[5] [15]})}^{2} \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および四項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & (2 n + 1) (7 n^{2} + 7 n + 3) a_{n} \\ - n (29 n^{2} + 4) a_{n - 1} \\ + 30 n (n - 1) (2 n - 1) a_{n - 2} \end{aligned}$
によって定めると
$[1] [3] [5] [15] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{15 A} (τ)^{n + 1}}$
が成り立つ。

Level 15の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \sqrt{\frac{(j_{15 A} - 12) (j_{15 A}^{2} - 2 j_{15 A} + 5)}{j_{15 A}}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + 1 + λ}{j_{15 A} (τ)^{n + 1}}$
これは $| j_{15 A} (τ) | > 12$ において収束する。

$\begin{array}{cccc} τ & N & j_{15 A} (τ) & λ + \frac{1}{2} \\ \sqrt{- N / 15} & 2 & 15 & \frac{1}{4} \\ 4 & 30 & \frac{3}{13} \\ 13 & - 15 & \frac{11}{26} \\ \frac{1 + \sqrt{- N / 15}}{2} & 29 & - 75 & \frac{251}{986} \\ 37 & - 135 & \frac{113}{518} \\ 53 & - 363 & \frac{2327}{13250} \end{array}$

Level 20

Level 20の関係式

$\begin{aligned} j_{20 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{20 B} (τ)} + \frac{1}{\sqrt{j_{20 B} (τ)}})}^{2} \\ j_{20 B} (τ) & = {(\frac{[4] [5]}{[1] [20]})}^{2} \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および四項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & 4 (2 n + 1) (n^{2} + n + 1) a_{n} \\ - 16 n (4 n^{2} + 1) a_{n - 1} \\ + 8 (2 n - 1)^{3} a_{n - 2} \end{aligned}$
によって定めると
$([2] [10])^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{20 A} (τ)^{n + 1}}$
が成り立つ。

Level 20の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \frac{\sqrt{(j_{20 A} - 4) (j_{20 A}^{2} - 12 j_{20 A} + 16)}}{j_{20 A}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{20 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$
これは $| j_{20 A} (τ) | > 2 (3 + \sqrt{5}) = 10.47 \dots$ において収束する。

　ちなみにこれが有理的になる例は $τ = \sqrt{- 3 / 20}$ の場合
$\frac{1}{π} = \frac{1}{16} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{6 n + 1}{16^{n}}$
しか知られていない。

Level 21

Level 21の関係式

$\begin{aligned} j_{21 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{21 B} (τ)} - \frac{1}{\sqrt{j_{21 B} (τ)}})}^{2} \\ j_{21 B} (τ) & = {(\frac{[3] [7]}{[1] [21]})}^{2} \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および四項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & - (2 n + 1) (n^{2} + n + 1) a_{n} \\ + n (35 n^{2} + 12) a_{n - 1} \\ + 6 (3 n - 1) (3 n - 2) (2 n - 1) a_{n - 2} \end{aligned}$
によって定めると
$[1] [3] [7] [21] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{21 A} (τ)^{n + \frac{4}{3}}}$
が成り立つ。

Level 21の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \frac{\sqrt{(j_{21 A} + 4) (j_{21 A}^{2} - 2 j_{21 A} - 27)}}{j_{21 A}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{21 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$

$\begin{array}{cccc} τ & N & j_{21 A} (τ) & 1 / π \\ \sqrt{- N / 21} & 2 & 8 & \frac{\sqrt{3}}{8} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{2 n + 1}{8^{n}} \\ \frac{1 + \sqrt{- N / 21}}{2} & 7 & - 7 & \frac{1}{7 \sqrt{7}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{6 n + 1}{7^{n}} \\ 23 & - 27 & \frac{1}{108 \sqrt{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{138 n + 35}{27^{n}} \end{array}$

Level 22

Level 22の関係式

$\begin{aligned} j_{22 A} (τ) & = {(\sqrt{j_{22 B} (τ)} + \frac{2}{\sqrt{j_{21 B} (τ)}})}^{2} \\ j_{22 B} (τ) & = {(\frac{[1] [11]}{[2] [22]})}^{2} \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および五項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & 2 (2 n + 1) (2 n^{2} + 2 n + 1) a_{n} \\ + 4 n^{3} a_{n - 1} \\ - 2 (2 n - 1) (9 n^{2} - 9 n + 4) a_{n - 2} \\ + 8 (n - 1) (2 n - 1) (2 n - 3) a_{n - 3} \end{aligned}$
によって定めると
$[1] [2] [11] [22] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{22 A} (τ)^{n + \frac{3}{2}}}$
が成り立つ。

Level 22の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \frac{\sqrt{(j_{22 A} - 8) (j_{22 A}^{3} - 4 j_{22 A} + 4)}}{j_{22 A}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{22 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$

　これが有理的になる例は $τ = (1 + \sqrt{- 23 / 11}) / 2$ の場合
$\frac{\sqrt{23}}{π} = \frac{1}{92} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{665 n + 157}{92^{n}}$
しか知られていない。

Level 33

Level 33の関係式

$\begin{aligned} j_{33 A} (τ) & = j_{33 B} (τ) + 1 + \frac{3}{j_{33 B} (τ)} \\ j_{33 B} (τ) & = \frac{[1] [11]}{[3] [33]} \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および六項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & - (2 n + 1) (n^{2} + n +) a_{n} \\ + n (11 n^{2} + 4) a_{n - 1} \\ + 4 (2 n - 1) (7 n^{2} - 7 n + 5) a_{n - 2} \\ + 4 (n - 1) (24 n^{2} - 48 n + 29) a_{n - 3} \\ + 22 (n - 1) (n - 2) (2 n - 3) a_{n - 4} \end{aligned}$
によって定めると
$[1] [3] [11] [33] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{33 A} (τ)^{n + 2}}$
が成り立つ。

Level 33の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \frac{\sqrt{(j_{33 A}^{2} - 2 j_{33 A} - 11) (j_{33 A}^{3} + 4 j_{33 A}^{2} + 8 j_{33 A} + 4)}}{j_{33 A}^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{33 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$

　これが有理的になる例は $τ = (1 + \sqrt{- 19 / 33}) / 2$ の場合
$\frac{\sqrt{11}}{π} = \frac{1}{121} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{266 n + 81}{11^{n}}$
しか知られていない。

Level 35

Level 35の関係式

$\begin{aligned} j_{35 A} (τ) & = j_{35 B} (τ) + 1 - \frac{1}{j_{35 B} (τ)} \\ j_{35 B} (τ) & = \frac{[5] [7]}{[1] [35]} \end{aligned}$
とおき数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および六項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & (2 n + 1) (5 n^{2} + 5 n + 3) a_{n} \\ - n (37 n^{2} + 24) a_{n - 1} \\ + 2 (2 n - 1) (25 n^{2} - 25 n + 24) a_{n - 2} \\ - 4 (n - 1) (34 n^{2} - 68 n + 43) a_{n - 3} \\ + 70 (n - 1) (n - 2) (2 n - 3) a_{n - 4} \end{aligned}$
によって定めると
$[1] [5] [7] [35] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{j_{35 A} (τ)^{n + 2}}$
が成り立つ。

Level 35の円周率公式

$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \frac{\sqrt{(j_{35 A}^{2} - 2 j_{35 A} + 5) (j_{35 A}^{3} - 8 j_{35 A}^{2} + 16 j_{35 A} - 28)}}{j_{35 A}^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{n + \frac{1}{2} + λ}{j_{35 A} (τ)^{n + \frac{1}{2}}}$

$\begin{array}{cccc} τ & N & j_{35 A} (τ) & 1 / π \\ \sqrt{- N / 35} & 2 & 7 & \frac{10}{49 \sqrt{35}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{4 n + 1}{7^{n}} \\ \frac{1 + \sqrt{- N / 35}}{2} & 17 & - 7 & \frac{1}{49 \sqrt{7}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{170 n + 123}{7^{n}} \\ 41 & - 28 & \frac{1}{28^{2} \sqrt{7}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{2665 n + 1004}{28^{n}} \end{array}$

その他

　ここには明示的な関係式がよくわからなかったものについて、その係数となる数列と具体例だけをまとめておく。
　なお各種数列 $s (n)$ の初期値は $s (k) = 0 (k < 0)$ によって定めるものとする。

Level 11

　数列 $a_{n}$ を $a_{0} = 1$ および四項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} a_{n + 1} & = & 2 (2 n + 1) (5 n^{2} + 5 n + 2) a_{n} \\ - 8 n (7 n^{2} + 1) a_{n - 1} \\ + 22 n (n - 1) (2 n - 1) a_{n - 2} \end{aligned}$
によって定めると
$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \sqrt{1 - 20 x + 56 x^{2} - 44 x^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (A n + B) x^{n}$
なる円周率公式が構成できる。例えば
$\frac{1}{π} = \frac{1}{22} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} \frac{221 n + 67}{44^{n + \frac{1}{2}}}$
が成り立つ。

Level 17

　数列 $A_{n}$ を $A_{0} = 2$ および八項間漸化式
$\begin{aligned} (n + 1)^{3} A_{n + 1} & = & (19 n^{3} + 24 n^{2} + 14 n + 3) A_{n} \\ + 3 (5 n^{5} + 27 n^{2} - 8 n + 4) A_{n - 1} \\ - (101 n^{3} - 300 n^{2} + 213 n - 52) A_{n - 2} \\ + 3 (55 n^{3} - 267 n^{2} + 491 n - 305) A_{n - 3} \\ - 3 (n - 3) (101 n^{2} - 297 n + 253) A_{n - 4} \\ + 9 (n - 4) (n - 3) (37 n - 66) A_{n - 5} \\ - 127 (n - 5) (n - 4) (n - 3) A_{n - 6} \end{aligned}$
によって定めると
$\frac{\sqrt{11}}{π} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} A_{n} \frac{748 n + 307}{21^{n + 2}}$
が成り立つ。

Level 25

$\begin{aligned} x^{2} (1 + x - x^{2})^{3} (1 - 4 x - 16 x^{2}) z^{″} \\ + 3 x (1 + x - x^{2})^{3} (1 - 6 x - 32 x^{2}) z^{″} \\ + (1 + x - x^{2}) (1 - 12 x - 142 x^{2} - 224 x^{3} + 77 x^{4} + 192 x^{5} - 108 x^{6}) z^{'} \\ - (1 + 3 x + 6 x^{2} - 2 x^{3}) (1 + 17 x + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{4}) z & = 0 \end{aligned}$
によって定まる関数
$z = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$
について、 $a_{n}$ はある九項間漸化式を満たし
$\frac{1}{2 π Im (τ)} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (A n + B) x^{n}$
なる円周率公式が構成できる。

おわりに

　どうやら今年の初頭に公開されたプレプリント

S. Cooper, Apéry-like sequences defined by four-term recurrence relations, arXiv, 2023

のTable 3 (p.18)にて現在解明されている
$Z = \sum_{n = 0}^{\infty} T (n) X^{n}, \frac{1}{2 π Im (τ)} = B \sum_{n = 0}^{\infty} T (n) (n + λ) X^{n}$
なる $Z, X, B, T (n)$ についての詳細と対応する文献がいくつかまとめられているようです。
　流石に気力が尽きてしまったのでこの記事ではその全てを追うことはしませんが、興味があればそちらを参照されてはいかがでしょうか。

総括

　その5ではこの公式集をまとめているうちに何か見出せるかもしれないと思っていましたが、確かに多少の発見はあったとは言えど、むしろ何もわからないということがわかるばかりでした。前回までの記事で紹介してきたChan, Cooperの手法はかなり特別な例であっただけで、より一般のラマヌジャン・佐藤級数についてはあんな簡便な法則はなく、その構成には中々煩雑な議論が必要なようです。
　このシリーズの初回でも「観賞用の側面が強い」と評していたように私は一般のラマヌジャン・佐藤級数に対する関心はあまり高くなく、この記事で見てきたように観賞用としての側面も弱くなってしまうとなるとかなりモチベーションが下がってしまいました。なのでChan, Cooperの論文を通じてかなり面白い議論も嗜めたことですし、その蛇足にならぬようこのシリーズは今回の記事で終わりにしたいと思います。
　このシリーズが誰かの参考になっていれば幸いです。では。

参考文献

[1]

S. Cooper, Sporadic sequences, modular forms and new series for 1/π, Ramanujan Journal, 2012, 163-183

[2]

S. Cooper, Level 10 analogues of Ramanujan’s series for 1/π, J. Ramanujan Math. Soc., 2012, 59-76

[3]

S. Cooper, D. Ye, The Rogers–Ramanujan continued fraction and its level 13 analogue, Journal of Approximation Theory, 2015, 99-127

[4]

S. Cooper, D. Ye, Level 14 and 15 analogues of Ramanujan’s elliptic functions to alternative bases, Transactions of the American Mathematical Society, 2015, 7883-7910

[5]

T. Huber, D. Schultz, D. Ye, Level 17 Ramanujan-Sato series, Ramanujan Journal, 2020, 303-322

[6]

T. Huber, D. Schultz, D. Ye, Series for 1/π of signature 20, arXiv, 2017

[7]

T. Anusha, E.N. Bhuvan, S. Cooper, K.R. Vasuki, Elliptic integrals and Ramanujan-type series for 1/π associated with Γ_0(N), where N is a product of two small primes, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2019, 1551-1570

[8]

S. Cooper, Apéry-like sequences defined by four-term recurrence relations, arXiv, 2023

投稿日：2023年12月27日

更新日：2023年12月27日