ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その1)
はじめに
この記事では
$$\frac1\pi=\frac{\sqrt3}8\sum^\infty_{n=0}(\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k)\frac{5n+1}{64^n}$$
などを筆頭とした円周率公式：ラマヌジャン・佐藤級数について勉強するシリーズ第一弾としてChan, Chan, Liu(2004)を読んでいきます。
ラマヌジャン・佐藤級数とは
ラマヌジャンの発見した公式
$$\frac1\pi=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\farc{26390n+1103}{396^{4n}}$$
は円周率計算の歴史において多大な影響を及ぼし、これの派生形であるChudnovskyの公式
$$\farc1\pi=12\sum_{n=0}^\infty(-1)^k\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac{545140134n+13591409}{640320^{3n+\frac32}}$$
は現在において最も効率よく円周率を計算できる公式として知られています。
ラマヌジャンの円周率公式に魅せられた数学者は多く、三者三様のアプローチや一般化が考えられています。中でも佐藤猛 氏が日本数学会の一般講演(2002)にて
$$\frac{\sqrt{15}}\pi=6\sum^\infty_{n=0}(\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2)(20n+10-3\sqrt5)\l(\frac{\sqrt5-1}2\r)^{12n+6}$$
のような公式を発表したのを発端に考えられた
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}s(n)\frac{An+B}{C^n}$$
という形の円周率公式のことをラマヌジャン・佐藤級数と言います。
佐藤氏の講演にて発表された公式は後にChan, Chan, Liu(2004)やChan, Cooper(2012)などにて証明・一般化されることとなりました。以下でその手法について見ていくこととしましょう。
Chan-Chan-Liuの手法
導入
ラマヌジャンの円周率公式に対する
Borweinの手法
ではテータ関数$\t_3(\tau)$が
$$\t_3(\tau)^2=\frac2\pi K(k)=\F{\frac12}{\frac12}1{k^2}\quad\l(k=\frac{\t_2(\tau)^2}{\t_3(\tau)^2}\r)$$
という級数展開を持つこと、および
$$\frac1{\pi i}\frac{dk}{d\tau}=\frac{k(1-k^2)}2\l(\frac{2K}\pi\r)^2$$
が成り立つことが重要な役割を果たしていた。
Chan-Chan-Liuでは一般に
$$Z(\tau)=\sum^\infty_{n=0}A_nX(\tau)^n\qquad(A_n\in\Q)$$
なる級数展開を持つモジュラー形式$Z(\tau)$とモジュラー関数$X(\tau)$の組を考えている。
アトキン・レーナー対合
ここでは以下によって定義される群$\G_0(N)^+$に関する保型形式$f$を考える。
少し定義がややこしいので折り畳んでおくがとりあえず
$$f(z+1)=f(z),\quad f\l(-\frac1{Nz}\r)=(\sqrt N\tau)^kf(z)$$
を満たすような関数を考える、ということだけ押さえておけばよい。
$\G_0(N)^+$の定義について
自然数$N$に対し、その約数$e$がホール因子(Hall divisor)であるとは$e$と$N/e$が互いに素となることを言い、またこのことを$e\|N$と表す。
$N$のホール因子$e$に対し
$$\tilde{W}_e=\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}
\quad(a,b,c,d\in\mathbb{Z},\;\det\tilde{W}_e=e)$$
なる行列、あるいはその正規化$W_e=\tilde{W}_e/\sqrt{e}$のことを($\G_0(N)$の)アトキン・レーナー対合(Atkin-Lehner involution)と言う。
いまヘッケ型合同部分群
$$\G_0(N)=\l\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL(2,\Z)\mid c\equiv0\pmod N\r\}$$
を考えると、上の$W_e$は$W_e^2\in\G_0(N)$を満たすことから対合という名前が付いている。
また$N$のホール因子$e$に対し任意にアトキン・レーナー対合$W_e$を取り、$\G_0(N)$と$W_e$によって生成される群を$\G_0(N)^{+e}$とおく。これは$W_e$の取り方に依らない、つまり$W_e,W'_e$に対し$W_e\equiv W'_e\pmod{\G_0(N)}$が成り立つことが知られている。
そして$\G_0(N)$と全てのアトキン・レーナー対合$W_e\;(e\|N)$によって生成される群を$\G_0(N)^+$とおく。特に
$$\frac1{\sqrt N}\begin{pmatrix}0&-1\\N&0\end{pmatrix}\in\G_0(N)^+$$
となることに注意する。
解説
以下$Z(\tau)$は$\G_0(s)^+$に関する(指標付きの)重さ$2$の保型形式、つまり
$$Z(\tau+1)=Z(\tau),\quad Z\l(-\frac1{s\tau}\r)=-s\tau^2Z(\tau)$$
を満たすような関数であって、ある保型関数$X(\tau)$によって$$Z(\tau)=\sum^\infty_{n=0}A_nX(\tau)^n\qquad(A_n\in\Q)$$
と級数展開できるものとする。また簡単のため関数$f(\tau)$に対して
$$\f(\tau)=q\frac{d}{dq}f(\tau)=\frac1{2\pi i}\frac{d}{d\tau}f(\tau)\quad(q=e^{2\pi i\tau})$$
とおく。
このとき以下が成り立つ。
$$E(\tau)=\frac{\Z(\tau)}{Z(\tau)},\quad M_N(\tau)=\frac{Z(\tau)}{Z(\tau/N)}$$
とおいたとき$\tau=\tau_N=\sqrt{-N/s}$において
$$\frac{\sqrt{sN}}\pi=2NE(\tau_N)-\M(\tau_N)$$
が成り立つ。
$Z(-1/s\tau)=-s\tau^2Z(\tau)$を$\tau$について対数微分することで
$$\frac1{s\tau^2}E\l(-\frac1{s\tau}\r)=E(\tau)+\frac1{\pi i\tau}$$
が成り立つ。また$M_N$の定義式を対数微分すると
$$\frac{\M_N(\tau)}{M_N(\tau)}=E(\tau)-\frac1NE(\tau/N)$$
となるので$\tau=\sqrt{-N/s}$とすることで
\begin{align*}
\frac{\M_N(\tau_N)}{M_N(\tau_N)}
&=\frac{\M(\tau_N)}N\\
&=E(\tau_N)+\l(E(\tau_N)+\frac1{\pi i\tau_N}\r)\\
&=2E(\tau_N)-\frac1{\pi}\sqrt{\frac sN}
\end{align*}
を得る。
いま$U=\X/XZ$、つまり
$$\X=U(\tau)X(\tau)Z(\tau)$$
とおいたとき
\begin{align*}
E&=\frac{\X}{Z}\frac{dZ}{dX}=UX\frac{dZ}{dX}\\
\M_N&=\X\frac{dM_N}{dX}=UX\frac{dM_N}{dX}Z
\end{align*}
となるので以下の円周率公式が得られる。
$\tau=\sqrt{-N/s}$において
$$\frac{\sqrt{sN}}\pi=U\sum^\infty_{n=0}A_n(2Nn-a)X^n\quad\l(a=X\frac{dM_N}{dX}\r)$$
が成り立つ。
あるいは
$$S(\tau)=\frac1Z\l(E-\frac1{2\pi\Im(\tau)}\r)$$
とおいたとき以下のように連続化できる。
$\tau\in\H$に対して
$$\frac1{2\pi\Im(\tau)}=\sum^\infty_{n=0}A_n(Un-S)X^n$$
が成り立つ。
このようにして得られた円周率公式をレベル$s$のラマヌジャン・佐藤級数と言う。
補足：モジュラー方程式
いま「同じ対称性を持つ保型関数は互いに代数的な関係にある」という事実がある。詳しくは
この記事
の1.5節を参照されたい。
このことを用いると以下の事実が得られる。
$X(\tau)$と$X(\tau/N)$は$\C$上代数的な関係にある。また$X(\tau)$と$U(\tau)$は$\C$上代数的な関係にある。
前者については
先の記事
と同様にして$X(\tau),X(\tau/N)$は$\G(sN)$-モジュラー関数とみなせることからわかる。
後者については$ad-bc=1$において
$$\frac{d}{d\tau}\l(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\r)=\frac1{(c\tau+d)^2}$$
が成り立つことに注意すると$U(\tau)$も$\G_0(s)^+$に関する保型関数になることがわかる。
$M_N(\tau)$は$X(\tau)$についての代数関数として表せる。
\begin{align*}
\frac{dX(\tau/N)}{dX}
&=\frac1N\frac{d\tau}{dX}(\tau)\frac{dX}{d\tau}(\tau/N)\\
&=\frac1N\frac{U(\tau/N)X(\tau/N)Z(\tau/N)}{U(\tau)X(\tau)Z(\tau)}\\
&=\frac1N\frac{U(\tau/N)X(\tau/N)}{U(\tau)X(\tau)}\frac1{M_N(\tau)}\\
\end{align*}
に注意するとわかる。
特にこれらの関係が$\Q$上代数的数であるとすると以下の事実も成り立つ。
$\dis X(\tau_N),U(\tau_N),\frac{dM_N}{dX}(\tau_N)$は代数的数となる。
仮定より$F_N(X(\tau),X(\tau/N))=0$なる多項式$F_N(x,y)\in\Q[x,y]$が存在するので、$X$の保型性$X(-1/s\tau)=X(\tau)$に注意すると$X_N=X(\tau_N)$は
$$F_N(X_N,X_N)=0$$
を満たすことがわかる。
また$\dis U,\frac{dM_N}{dX}$は$X$についての($\Q$上の)代数関数として表せたので主張を得る。
具体例
Borweinの手法
では次のような公式が得られるのであった。
\begin{align*}
\sqrt{E_4(\tau)}
&=\FF{\frac12}{\frac16}{\frac56}11{\frac{1278}{j(\tau)}}\\
\t_2(\tau)^4+\t_3(\tau)^4
&=\FF{\frac12}{\frac14}{\frac34}11{\l(\frac{g^{12}+g^{-12}}2\r)^{-2}}&
\bigg(g &=2^{-\frac14}\frac{\eta(\frac\tau2)}{\eta(\tau)}\bigg)\\
(\t_2(2\tau)\t_2(6\tau)+\t_3(2\tau)\t_3(6\tau))^2
&=\FF{\frac12}{\frac13}{\frac23}11{\l(\frac{\GG^6+\GG^{-6}}2\r)^{-2}}&
\bigg(\GG&=3^{\frac14}\frac{\eta(3\tau)}{\eta(\tau)}\bigg)\\
\t_3(\tau)^4
&=\FF{\frac12}{\frac12}{\frac12}11{G^{-24}}&
\bigg(G &=2^{-\frac14}\frac{\eta(\frac{\tau+1}2)}{\eta(\tau)}\bigg)
\end{align*}
これらはそれぞれChan-Chan-Liuの手法におけるレベル1,2,3,4の場合となることが次のように確かめられる。
レベル1
見ての通り
$$Z(\tau)=\sqrt{E_4(\tau)},\quad X(\tau)=\frac{1728}{j(\tau)}$$
はそれぞれレベル$1$の保型形式、保型関数となっている。ただ$E_4$の平方根を取っていたり、そもそも重さ$2$の$\G$-モジュラー形式は$0$しか存在ことからもわかるように$Z(\tau)$は正確には保型関数とは言えない。
レベル2
これはそのままではレベル2の保型形式とはならないが$\tau\mapsto2\tau$として
$$Z(\tau)=\t_2(2\tau)^4+\t_3(2\tau)^4,\quad
X(\tau)=\l(\frac{g(2\tau)^{12}+g(2\tau)^{-12}}2\r)^{-2}$$
とおくと上手くいく。実際テータ関数の倍数公式
\begin{align*}
\t_3(\tau)^2&=\t_3(2\tau)^2+\t_2(2\tau)^2\\
\t_4(\tau)^2&=\t_3(2\tau)^2-\t_2(2\tau)^2
\end{align*}
に注意すると
\begin{align*}
Z\l(-\frac1{2\tau}\r)
&=-\tau^2(\t_4(\tau)^4+\t_3(\tau)^4)\\
&=-2\tau^2(\t_2(2\tau)^4+\t_3(2\tau)^4)=-2\tau^2Z(\tau)
\end{align*}
となることがわかる。
レベル3
$$Z(\tau)=(\t_2(2\tau)\t_2(6\tau)+\t_3(2\tau)\t_3(6\tau))^2,\quad
X(\tau)=\l(\frac{\GG^6+\GG^{-6}}2\r)^{-2}$$
がレベル3の保型形式になることについては
この記事
にて簡単に解説している。
レベル4
こちらについても$\tau\mapsto2\tau$とし
$$Z(\tau)=\t_3(2\tau)^4,\quad X(\tau)=G(2\tau)^{-24}$$
とおくとこれはレベル4の保型形式となることがわかる。
$U(\tau)$について
面白いことに、これらの$Z(\tau),X(\tau)$に対しては
$$U(\tau)=1-2x\qquad(4x(1-x)=X)$$
が成り立つらしい。
この類似性はおそらく上の公式が超幾何関数の変換によって互いに写りあうことに関係があると思う。気が向いたら詳しく検証してみたい。
新たな円周率公式
Chan-Chan-Liuでは上の公式を用いて新たな円周率公式
$$\frac1\pi=\frac{\sqrt3}8\sum^\infty_{n=0}(\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k)\frac{5n+1}{64^n}$$
を発見している。この公式はどのように導出されるのか見ていこう。
微分方程式の変形
上では
$$z=(\t_2(2\tau)\t_2(6\tau)+\t_3(2\tau)\t_3(6\tau))^2,\quad
x=\l(\frac{\GG^6+\GG^{-6}}2\r)^{-2}$$
が
$$z=\FF{\frac12}{\frac13}{\frac23}11x$$
を満たすことを紹介した。これは$\vt=x\frac{d}{dx}$とおくと
$$\vt^3z=x\l(\vt+\frac12\r)\l(\vt+\frac13\r)\l(\vt+\frac23\r)z$$
という微分方程式に書き換えることができる。
ここで
$$Z(\tau)=\frac{(\eta(\tau)\eta(3\tau))^4}{(\eta(2\tau)\eta(6\tau))^2},\quad
X(\tau)=\l(\frac{\eta(2\tau)\eta(6\tau)}{\eta(\tau)\eta(3\tau)}\r)^6$$
とおくと、これは
$$z=Z(1+16X),\quad x=\frac{108X}{(1+16X)^3}$$
を満たすことがわかる(らしい)ので、これを用いることで
\begin{align*}
(1+20X+64X^2)\vt_X^3Z+(192X^2+30X)\vt_X^2Z\\
+(192X^2+18X)\vt_XZ+(64X^2+4X)Z&=0\qquad\l(\vt_X=X\frac{d}{dX}\r)
\end{align*}
という微分方程式が得られる。
微分方程式の級数解
いま上の方程式が
$$Z=\sum^\infty_{n=0}A_nX^n$$
という級数解を持ったとするとその係数を比較することで$A_n$は
$$(n+1)^3A_{n+1}+2(2n+1)(5n^2+5n+2)A_n+64n^3A_{n-1}=0$$
という三項間漸化式を満たすことがわかる。特に
$$A_n=(-1)^n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k$$
とおくとこれは上の漸化式を満たすことが知られている。これはZeilbergerのアルゴリズム、およびそれを用いたプログラムによって確かめることができる。詳しくは書籍"A=B"のChapter6あたりを参照されたい。
一般にこのような漸化式、つまり多項式係数の線形漸化式を"閉じた形"で解く方法があるというわけではない。ではこの漸化式はたまたま解けるものであったのか、と言うとそういうわけでもない(Chan-Chan-Liuではそうであったかもしれないが)。どちらかというと解ける漸化式を元に保型形式を構成した、と言うのが正しいかもしれない。そんなことが可能なのか、ということについては後の記事で解説しようと思う。
レベル6の円周率公式
あとは
$$U(\tau)=\sqrt{(4X+1)(16X+1)}$$
が成り立つという事実を用いてモジュラー方程式を計算することで円周率公式
$$\frac1\pi=\sum^\infty_{n=0}(\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k)(An+B)(-X)^n$$
が得られる、というわけである。
ちなみに
$$\bz(\tau)=Z\l(\tau+\frac12\r),\quad\bx(\tau)=-X\l(\tau+\frac12\r)$$
とおくとこれらはWeberのモジュラー関数$\ff(\tau)=\eta((\tau+1)/2)/\eta(\tau)$を用いて
$$\bz(\tau)=(\ff(2\tau)\ff(6\tau))^4\eta(2\tau)^2\eta(6\tau)^2,\quad
\bx(\tau)=(\ff(2\tau)\ff(6\tau))^6$$
のように表せる($1$の冪根倍のズレは無視した)。したがって$\ff(-1/\tau)=\ff(\tau)$に注意するとこれらは
$$\bz\l(-\frac1{12\tau}\r)=-12\tau^2\bz(\tau),\quad
\bx\l(-\frac1{12\tau}\r)=\bx(\tau)$$
を満たすことがわかる。
このことからChan-Chan-Liuではこれをレベル12としているが、
Wikipedia
などではこれはレベル6に分類されている。ここら辺の分類はどのように決まるのかについては追々調べていきたい。
具体的には$5$次のモジュラー方程式を考えることで$\tau=\sqrt{-5/12}$において
$$\bx=\frac1{64},\quad\frac{d\boldsymbol{M}_5}{d\bx}=-128$$
となることわかるので
$$\boldsymbol{U}=\sqrt{(1-4\bx)(1-16\bx)}=\frac{3\sqrt5}8$$
に注意すると
$$\frac{\sqrt{5\cdot12}}\pi=\frac{3\sqrt5}8\sum^\infty_{n=0}(-1)^nA_n\frac{2\cdot5n+128/64}{64^n}$$
つまり
$$\frac1\pi=\frac{\sqrt3}8\sum^\infty_{n=0}(\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k)\frac{5n+1}{64^n}$$
が得られる。というわけである。
$5$次モジュラー方程式について
上の説明では省略していたが、実際のところモジュラー方程式周りの計算をするのは全く容易ではない。例えばここで考えていた$\Phi(\bx(\tau),\bx(\tau/5))=0$なる多項式の係数を書き並べると次のようになる。
\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline
&X^6&X^5&X^4&X^3&X^2&X^1&1\\\hline
Y^6&&\ph{-16777216}&\ph{-16777216}&\ph{-16777216}&\ph{-16777216}&\ph{-16777216}&1\\\hline
Y^5&&-16777216&7864320&-1167360&62080&-990&\\\hline
Y^4&&7864320&3338240&-59520&-25665&970&\\\hline
Y^3&&-1167360&-59520&92860&-930&-285&\\\hline
Y^2&&62080&-25665&-930&815&30& \\\hline
Y^1&&-990&970&-285&30&-1 \\\hline
1&1 \\\hline
\end{array}
また$T=\bx(\tau)=\bx(\tau/5)$(つまり$\tau=\sqrt{-5/12}$)においてこれは
$$\Phi(T,T)=-T^2(T-1)(64T-1)(64T^2-11T+1)(64T^2+1)(8T+1)^2=0$$
と因数分解できる。これらのことから
$$\bx=\frac1{64},\quad\frac{d\boldsymbol{M}_5}{d\bx}=-128$$
といった値が求められていたわけだが、見ての通りとても手計算でどうにかなるものではないということに注意されたい。
計算してみる
実際にこの公式を使って円周率を近似してみよう。ちなみに上で出てきた数列：Domb数
$$D_n=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k=1,4,28,256,2716,\ldots$$
の値についてはOEISのA002895にて確認できる。実際これを用いると
\begin{align*}
&\frac8{\sqrt3}=4.6188\ldots\\
&\frac8{\sqrt3}\l(1+\frac{4\cdot6}{64}\r)^{-1}=3.3591\ldots\\
&\frac8{\sqrt3}\l(1+\frac{4\cdot6}{64}+\frac{28\cdot11}{64^2}\r)^{-1}=3.1849\ldots\\
&\frac8{\sqrt3}\l(1+\frac{4\cdot6}{64}+\frac{28\cdot11}{64^2}+\frac{256\cdot16}{64^3}\r)^{-1}=3.1510\ldots\\
&\frac8{\sqrt3}\l(1+\frac{4\cdot6}{64}+\frac{28\cdot11}{64^2}+\frac{256\cdot16}{64^3}+\frac{2716\cdot21}{64^4}\r)^{-1}=3.1437\ldots
\end{align*}
と計算できる。
見ての通りChan-Chan-Liuの公式は特に収束が速いというわけではない。実のところ$D_n\approx16^n$となることが知られているためこの公式は$4^{-n}\approx10^{-0.6n}$くらいの精度でしか円周率を近似できない。これに限らず現在知られている多くのラマヌジャン・佐藤級数は、やはり超幾何関数型のものに比べると収束が速いとは言えない。
特にラマヌジャンやChudnovskyの円周率公式はそれぞれ「虚二次体$\Q(\sqrt{-2p})$の類数が$2$となるような素数$p$のうち最大のものが$29$」「虚二次体$\Q(\sqrt{-N})$の類数が$1$となるような自然数$N$のうち最大のものが$163$」という事実が背景にあり、「指数部分がデカい整数」となるような円周率公式でこれらを超えるようなものはそうそう作れないと考えられる。そういうこともあって超幾何関数型を除いたラマヌジャン・佐藤級数は個人的に観賞用の側面が強いと思っている。
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