ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その1)

はじめに

　この記事では
$$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{3}}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}))\frac{5n+1}{{64}^n}$$
などを筆頭とした円周率公式：ラマヌジャン・佐藤級数について勉強するシリーズ第一弾としてChan, Chan, Liu(2004)を読んでいきます。

ラマヌジャン・佐藤級数とは

　ラマヌジャンの発見した公式
$$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{{99}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{26390n+1103}{{396}^{4n}}$$
は円周率計算の歴史において多大な影響を及ぼし、これの派生形であるChudnovskyの公式
$$\frac{1}{\pi }=12\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{545140134n+13591409}{{640320}^{3n+\frac{3}{2}}}$$
は現在において最も効率よく円周率を計算できる公式として知られています。
　ラマヌジャンの円周率公式に魅せられた数学者は多く、三者三様のアプローチや一般化が考えられています。中でも佐藤猛 氏が日本数学会の一般講演(2002)にて
$$\frac{\sqrt{15}}{\pi }=6\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})}^2)(20n+10-3\sqrt{5}){\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^{12n+6}$$
のような公式を発表したのを発端に考えられた
$$\frac{1}{\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}s(n)\frac{An+B}{C^n}$$
という形の円周率公式のことをラマヌジャン・佐藤級数と言います。
　佐藤氏の講演にて発表された公式は後にChan, Chan, Liu(2004)やChan, Cooper(2012)などにて証明・一般化されることとなりました。以下でその手法について見ていくこととしましょう。

Chan-Chan-Liuの手法

導入

　ラマヌジャンの円周率公式に対する Borweinの手法 ではテータ関数${\theta }_3(\tau )$が
$${\theta }_3(\tau {)}^2=\frac{2}{\pi }K(k)={}_2{F}_1(\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\ 1\end{array};k^2)(k=\frac{{\theta }_2(\tau {)}^2}{{\theta }_3(\tau {)}^2})$$
という級数展開を持つこと、および
$$\frac{1}{\pi i}\frac{dk}{d\tau }=\frac{k(1-k^2)}{2}{\left(\frac{2K}{\pi }\right)}^2$$
が成り立つことが重要な役割を果たしていた。
　Chan-Chan-Liuでは一般に
$$Z(\tau )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{n}X(\tau {)}^n(A_n\in \mathbb{Q})$$
なる級数展開を持つモジュラー形式$Z(\tau )$とモジュラー関数$X(\tau )$の組を考えている。

アトキン・レーナー対合

　ここでは以下によって定義される群${\mathrm{\Gamma }}_0(N{)}^{+}$に関する保型形式$f$を考える。
　少し定義がややこしいので折り畳んでおくがとりあえず
$$f(z+1)=f(z),f(-\frac{1}{Nz})=(\sqrt{N}\tau {)}^{k}f(z)$$
を満たすような関数を考える、ということだけ押さえておけばよい。

解説

　以下$Z(\tau )$は${\mathrm{\Gamma }}_0(s{)}^{+}$に関する(指標付きの)重さ$2$の保型形式、つまり
$$Z(\tau +1)=Z(\tau ),Z(-\frac{1}{s\tau })=-s{\tau }^{2}Z(\tau )$$
を満たすような関数であって、ある保型関数$X(\tau )$によって$$Z(\tau )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{n}X(\tau {)}^n(A_n\in \mathbb{Q})$$
と級数展開できるものとする。また簡単のため関数$f(\tau )$に対して
$$\tilde{f}(\tau )=q\frac{d}{dq}f(\tau )=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\tau }f(\tau )(q=e^{2\pi i\tau })$$
とおく。
　このとき以下が成り立つ。

　いま$U=\tilde{X}/XZ$、つまり
$$\tilde{X}=U(\tau )X(\tau )Z(\tau )$$
とおいたとき
$$\begin{array}{rl}E& =\frac{\tilde{X}}{Z}\frac{dZ}{dX}=UX\frac{dZ}{dX}\\ {\tilde{M}}_N& =\tilde{X}\frac{d{M}_N}{dX}=UX\frac{d{M}_N}{dX}Z\end{array}$$
となるので以下の円周率公式が得られる。

　あるいは
$$S(\tau )=\frac{1}{Z}(E-\frac{1}{2\pi \mathrm{Im}(\tau )})$$
とおいたとき以下のように連続化できる。

　このようにして得られた円周率公式をレベル$s$のラマヌジャン・佐藤級数と言う。

補足：モジュラー方程式

　いま「同じ対称性を持つ保型関数は互いに代数的な関係にある」という事実がある。詳しくは この記事 の1.5節を参照されたい。
　このことを用いると以下の事実が得られる。

　特にこれらの関係が$\mathbb{Q}$上代数的数であるとすると以下の事実も成り立つ。

具体例

　 Borweinの手法 では次のような公式が得られるのであった。
$$\begin{array}{rl}\sqrt{E_4(\tau )}& ={}_3{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{5}{6}\\ 1,1\end{array};\frac{1278}{j(\tau )})\\ {\theta }_2(\tau {)}^4+{\theta }_3(\tau {)}^4& ={}_3{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\\ 1,1\end{array};{\left(\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}\right)}^{-2})& (g& =2^{-\frac{1}{4}}\frac{\eta (\frac{\tau }{2})}{\eta (\tau )})\\ ({\theta }_2(2\tau ){\theta }_2(6\tau )+{\theta }_3(2\tau ){\theta }_3(6\tau ){)}^2& ={}_3{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\\ 1,1\end{array};{\left(\frac{{\mathcal{G}}^6+{\mathcal{G}}^{-6}}{2}\right)}^{-2})& (\mathcal{G}& =3^{\frac{1}{4}}\frac{\eta (3\tau )}{\eta (\tau )})\\ {\theta }_3(\tau {)}^4& ={}_3{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\ 1,1\end{array};G^{-24})& (G& =2^{-\frac{1}{4}}\frac{\eta (\frac{\tau +1}{2})}{\eta (\tau )})\end{array}$$
これらはそれぞれChan-Chan-Liuの手法におけるレベル1,2,3,4の場合となることが次のように確かめられる。

レベル1

　見ての通り
$$Z(\tau )=\sqrt{E_4(\tau )},X(\tau )=\frac{1728}{j(\tau )}$$
はそれぞれレベル$1$の保型形式、保型関数となっている。ただ$E_4$の平方根を取っていたり、そもそも重さ$2$の$\mathrm{\Gamma }$-モジュラー形式は$0$しか存在ことからもわかるように$Z(\tau )$は正確には保型関数とは言えない。

レベル2

　これはそのままではレベル2の保型形式とはならないが$\tau \mapsto 2\tau$として
$$Z(\tau )={\theta }_2(2\tau {)}^4+{\theta }_3(2\tau {)}^4,X(\tau )={\left(\frac{g(2\tau {)}^{12}+g(2\tau {)}^{-12}}{2}\right)}^{-2}$$
とおくと上手くいく。実際テータ関数の倍数公式
$$\begin{array}{rl}{\theta }_3(\tau {)}^2& ={\theta }_3(2\tau {)}^2+{\theta }_2(2\tau {)}^2\\ {\theta }_4(\tau {)}^2& ={\theta }_3(2\tau {)}^2-{\theta }_2(2\tau {)}^2\end{array}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rl}Z(-\frac{1}{2\tau })& =-{\tau }^2({\theta }_4(\tau {)}^4+{\theta }_3(\tau {)}^4)\\ & =-2{\tau }^2({\theta }_2(2\tau {)}^4+{\theta }_3(2\tau {)}^4)=-2{\tau }^{2}Z(\tau )\end{array}$$
となることがわかる。

レベル3

$$Z(\tau )=({\theta }_2(2\tau ){\theta }_2(6\tau )+{\theta }_3(2\tau ){\theta }_3(6\tau ){)}^2,X(\tau )={\left(\frac{{\mathcal{G}}^6+{\mathcal{G}}^{-6}}{2}\right)}^{-2}$$
がレベル3の保型形式になることについては この記事 にて簡単に解説している。

レベル4

　こちらについても$\tau \mapsto 2\tau$とし
$$Z(\tau )={\theta }_3(2\tau {)}^4,X(\tau )=G(2\tau {)}^{-24}$$
とおくとこれはレベル4の保型形式となることがわかる。

$U(\tau )$について

　面白いことに、これらの$Z(\tau ),X(\tau )$に対しては
$$U(\tau )=1-2x(4x(1-x)=X)$$
が成り立つらしい。
　この類似性はおそらく上の公式が超幾何関数の変換によって互いに写りあうことに関係があると思う。気が向いたら詳しく検証してみたい。

新たな円周率公式

　Chan-Chan-Liuでは上の公式を用いて新たな円周率公式
$$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{3}}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}))\frac{5n+1}{{64}^n}$$
を発見している。この公式はどのように導出されるのか見ていこう。

微分方程式の変形

　上では
$$z=({\theta }_2(2\tau ){\theta }_2(6\tau )+{\theta }_3(2\tau ){\theta }_3(6\tau ){)}^2,x={\left(\frac{{\mathcal{G}}^6+{\mathcal{G}}^{-6}}{2}\right)}^{-2}$$
が
$$z={}_3{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\\ 1,1\end{array};x)$$
を満たすことを紹介した。これは$\vartheta =x\frac{d}{dx}$とおくと
$${\vartheta }^{3}z=x(\vartheta +\frac{1}{2})(\vartheta +\frac{1}{3})(\vartheta +\frac{2}{3})z$$
という微分方程式に書き換えることができる。
　ここで
$$Z(\tau )=\frac{(\eta (\tau )\eta (3\tau ){)}^4}{(\eta (2\tau )\eta (6\tau ){)}^2},X(\tau )={\left(\frac{\eta (2\tau )\eta (6\tau )}{\eta (\tau )\eta (3\tau )}\right)}^6$$
とおくと、これは
$$z=Z(1+16X),x=\frac{108X}{(1+16X{)}^3}$$
を満たすことがわかる(らしい)ので、これを用いることで
$$\begin{array}{r}(1+20X+64X^2){\vartheta }_X^{3}Z+(192X^2+30X){\vartheta }_X^{2}Z\\ +(192X^2+18X){\vartheta }_{X}Z+(64X^2+4X)Z& =0({\vartheta }_X=X\frac{d}{dX})\end{array}$$
という微分方程式が得られる。

微分方程式の級数解

　いま上の方程式が
$$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{X}^n$$
という級数解を持ったとするとその係数を比較することで$A_n$は
$$(n+1{)}^3{A}_{n+1}+2(2n+1)(5n^2+5n+2)A_n+64n^3{A}_{n-1}=0$$
という三項間漸化式を満たすことがわかる。特に
$$A_n=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})$$
とおくとこれは上の漸化式を満たすことが知られている。これはZeilbergerのアルゴリズム、およびそれを用いたプログラムによって確かめることができる。詳しくは書籍"A=B"のChapter6あたりを参照されたい。

レベル6の円周率公式

　あとは
$$U(\tau )=\sqrt{(4X+1)(16X+1)}$$
が成り立つという事実を用いてモジュラー方程式を計算することで円周率公式
$$\frac{1}{\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}))(An+B)(-X{)}^n$$
が得られる、というわけである。

　具体的には$5$次のモジュラー方程式を考えることで$\tau =\sqrt{-5/12}$において
$$\mathit{X}=\frac{1}{64},\frac{d{\mathit{M}}_5}{d\mathit{X}}=-128$$
となることわかるので
$$\mathit{U}=\sqrt{(1-4\mathit{X})(1-16\mathit{X})}=\frac{3\sqrt{5}}{8}$$
に注意すると
$$\frac{\sqrt{5\cdot 12}}{\pi }=\frac{3\sqrt{5}}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{A}_n\frac{2\cdot 5n+128/64}{{64}^n}$$
つまり
$$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{3}}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}))\frac{5n+1}{{64}^n}$$
が得られる。というわけである。

計算してみる

　実際にこの公式を使って円周率を近似してみよう。ちなみに上で出てきた数列：Domb数
$$D_n=\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})=1,4,28,256,2716,\dots$$
の値についてはOEISのA002895にて確認できる。実際これを用いると
$$\begin{array}{rl}& \frac{8}{\sqrt{3}}=4.6188\dots \\ & \frac{8}{\sqrt{3}}{(1+\frac{4\cdot 6}{64})}^{-1}=3.3591\dots \\ & \frac{8}{\sqrt{3}}{(1+\frac{4\cdot 6}{64}+\frac{28\cdot 11}{{64}^2})}^{-1}=3.1849\dots \\ & \frac{8}{\sqrt{3}}{(1+\frac{4\cdot 6}{64}+\frac{28\cdot 11}{{64}^2}+\frac{256\cdot 16}{{64}^3})}^{-1}=3.1510\dots \\ & \frac{8}{\sqrt{3}}{(1+\frac{4\cdot 6}{64}+\frac{28\cdot 11}{{64}^2}+\frac{256\cdot 16}{{64}^3}+\frac{2716\cdot 21}{{64}^4})}^{-1}=3.1437\dots \end{array}$$
と計算できる。
　見ての通りChan-Chan-Liuの公式は特に収束が速いというわけではない。実のところ$D_n\approx {16}^n$となることが知られているためこの公式は$4^{-n}\approx {10}^{-0.6n}$くらいの精度でしか円周率を近似できない。これに限らず現在知られている多くのラマヌジャン・佐藤級数は、やはり超幾何関数型のものに比べると収束が速いとは言えない。
　特にラマヌジャンやChudnovskyの円周率公式はそれぞれ「虚二次体$\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$の類数が$2$となるような素数$p$のうち最大のものが$29$」「虚二次体$\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$の類数が$1$となるような自然数$N$のうち最大のものが$163$」という事実が背景にあり、「指数部分がデカい整数」となるような円周率公式でこれらを超えるようなものはそうそう作れないと考えられる。そういうこともあって超幾何関数型を除いたラマヌジャン・佐藤級数は個人的に観賞用の側面が強いと思っている。