この記事ではボールウェインのcubic theta functionの諸性質について証明を省略しつつ眺めていきます。
とおく。また
実数
によって定める。このとき
に注意すると
が成り立つので単調収束定理から
から
このとき以下が成り立つ。
これは通常の算術幾何平均についての公式
の類似となっている(これについては
この記事
の定理8系として紹介している)。
いま
が成り立つことに注意すると
やこれを
といった関係式が得られることに注意したい。
において
が成り立つ。
超幾何関数の変換公式を組み合わせるとわかる(多分)。
とおいたとき
が成り立つ(これはこの記事の9.3.3節あたりで解説している)。
この記事の定理9
からわかる。
とおくと
cf. ヤコビの二平方定理
整数
・
・
とおくと
より
を得る(
この表示は個人的に考察したもので、またどの文献にもこのような表示が見当たらなかったので少し不安であったが、以下の性質が正常に導かれるので誤りではないはず。
いま
・
・
とおくと
を得る。