文献あり

cubic theta functionについての覚え書き

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はじめに

　この記事ではボールウェインのcubic theta functionの諸性質について証明を省略しつつ眺めていきます。

cubic theta function

　$\tau\in\H$および$q=e^{2\pi i\tau},\o=e^{\frac{2\pi i}3}$に対し
\begin{align*} a(\tau)&=\sum^\infty_{m,n=-\infty}q^{m^2+mn+n^2}\\ b(\tau)&=\sum^\infty_{m,n=-\infty}\o^{n-m}q^{m^2+mn+n^2}\\ c(\tau)&=\sum^\infty_{m,n=-\infty}q^{(m+\frac13)^2+(m+\frac13)(n+\frac13)+(n+\frac13)^2} \end{align*}
とおく。また$\a(\tau)=c(\tau)^3/a(\tau)^3$とおく。

算術幾何平均の類似

　実数$a,b\;(a\geq b>0)$に対し数列$\{a_n\},\{b_n\}$を$a_0=a,b_0=b$および
$$a_{n+1}=\frac{a_n+2b_n}3,\quad b_{n+1}=\sqrt[3]{\frac{(a_n^2+a_nb_n+b_n^2)b_n}3}$$
によって定める。このとき
$$(x+2y)^3-9(x^2+xy+y^2)y=(x-y)^3$$
に注意すると
$$b=b_0\leq b_1\leq\cdots\leq b_n\leq\cdots\leq a_n\leq\cdots\leq a_1\leq a_0=a$$
が成り立つので単調収束定理から$a_n,b_n$はある値$\a,\b$に収束する。また
$$\a=\frac{\a+2\b}3$$
から$\a=\b$がわかる。このようにして定まる値を$\AG(a,b)=\a=\b$とおく。
　このとき以下が成り立つ。

$$\frac1{\AG(1,x)}=\F{\frac13}{\frac23}1{1-x^3}$$

　これは通常の算術幾何平均についての公式
$$\frac1{M(1,x)}=\F{\frac12}{\frac12}1{1-x^2}$$
の類似となっている(これについてはこの記事の定理8系として紹介している)。
　いま
$$\AG(a,b)=\AG(a_1,b_1)=\frac{a+2b}3M\l(1,\sqrt[3]{1-\l(\frac{a-b}{a+2b}\r)^3}\r)$$
が成り立つことに注意すると
$$\F{\frac13}{\frac23}1{1-x^3}=\frac3{1+2x}\F{\frac13}{\frac23}1{\l(\frac{1-x}{1+2x}\r)^3}$$
やこれを$x\mapsto\frac{1-x}{1+2x}$とすることで
$$\F{\frac13}{\frac23}1{x^3}=\frac1{1+2x}\F{\frac13}{\frac23}1{1-\l(\frac{1-x}{1+2x}\r)^3}$$
といった関係式が得られることに注意したい。

ラマヌジャンの変換公式

$$x=\frac{p^3(2+p)}{1+2p},\quad y=\frac{27}4\frac{(p+p^2)^2}{(1+p+p^2)^3}$$
において
$$\F{\frac12}{\frac12}1x=\frac{\sqrt{1+2p}}{1+p+p^2}\F{\frac13}{\frac23}1y$$
が成り立つ。

　超幾何関数の変換公式を組み合わせるとわかる(多分)。

cubic thetaと超幾何関数

3次モジュラー方程式

$$\la(\tau)=\frac{\t_2(\tau)^4}{\t_3(\tau)^4},\quad M=1+2p=\frac{\t_3(\tau)^2}{\t_3(3\tau)^2}$$
とおいたとき
$$\la(\tau)=\frac{p(2+p)^3}{(1+2p)^3},\quad\la(3\tau)=\frac{p^3(2+p)}{1+2p}$$
が成り立つ(これはこの記事の9.3.3節あたりで解説している)。

\begin{align*} a(\tau)&=\t_3(\tau)^2\frac{1+p+p^2}{(1+2p)^{\frac32}}\\ &=\t_3(3\tau)^2\frac{1+p+p^2}{\sqrt{1+2p}}\\ \a(\tau)&=\frac{27}4\frac{p^2(1+p)^2}{(1+p+p^2)^3} \end{align*}

$$a(\tau)=\F{\frac13}{\frac23}1{\a(\tau)}$$

　この記事の定理9
$$\t_3(\tau)^2=\F{\frac12}{\frac12}1{\la(\tau)}$$
からわかる。

保型性とか

ヤコビの恒等式の類似

$$a(\tau)^3=b(\tau)^3+c(\tau)^3$$

\begin{align*} a(\tau)&=\frac{\eta(\tau/3)^3+3\eta(3\tau)^3}{\eta(\tau)},& b(\tau)&=\frac{\eta(\tau)^3}{\eta(3\tau)},& c(\tau)&=3\frac{\eta(3\tau)^3}{\eta(\tau)} \end{align*}

$$\GG(\tau)=3^{\frac14}\frac{\eta(3\tau)}{\eta(\tau)}$$
とおくと
\begin{align*} \a(\tau)&=\frac1{1+\GG^{12}}\\ 4\a(1-\a)&=\l(\frac{\GG^6+\GG^{-6}}2\r)^{-2} \end{align*}

\begin{align*} a(\tau+1)&=a(\tau)&a\l(-\frac1{3\tau}\r)&=-i\tau\sqrt3a(\tau)\\ b(\tau+1)&=b(\tau) &b\l(-\frac1{3\tau}\r)&=-i\tau\sqrt3c(\tau)\\ c(\tau+1)&=\o c(\tau) &c\l(-\frac1{3\tau}\r)&=-i\tau\sqrt3b(\tau)\\ \GG(\tau+1)&=e^{\frac{\pi i}6}\GG(\tau) &\GG\l(-\frac1{3\tau}\r)&=\GG(\tau)^{-1} \end{align*}

$$a(\tau)=1+6\sum^\infty_{n=0}\l(\frac{q^{3n+1}}{1-q^{3n+1}}-\frac{q^{3n+2}}{1-q^{3n+2}}\r)$$

　cf. ヤコビの二平方定理
$$\sum^\infty_{m,n=-\infty}q^{m^2+n^2}=1+4\sum^\infty_{n=0}\l(\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}}-\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}}\r)$$

テータ関数による表示

$$a(\tau)=\t_2(2\tau)\t_2(6\tau)+\t_3(2\tau)\t_3(6\tau)$$

　整数$m,n$に対し
・$m\equiv n\pmod2$のとき$(m,n)=(x+y,x-y)$
・$m\not\equiv n\pmod2$のとき$(m,n)=(x+y+1,x-y)$
とおくと
\begin{align*} (x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2&=3x^2+y^2\\ (x+y+1)^2+(x+y+1)(x-y)+(x-y)^2&=3x^2+y^2+3x+y+1\\ &=3\l(x+\frac12\r)^2+\l(y+\frac12\r)^2 \end{align*}
より
$$\sum^\infty_{n=-\infty}q^{m^2+mn+n^2} =\sum^\infty_{x,y=-\infty}(q^{3x^2+y^2}+q^{3(x+\frac12)^2+(y+\frac12)^2})$$
を得る($q=e^{2\pi i\tau}$としていたことに注意する)。

　この表示は個人的に考察したもので、またどの文献にもこのような表示が見当たらなかったので少し不安であったが、以下の性質が正常に導かれるので誤りではないはず。

定理9(再)

$$a\l(-\frac1{3\tau}\r)=-i\tau\sqrt3a(\tau)$$

\begin{align*} a\l(-\frac1{3\tau}\r) &=\frac{-i\tau\sqrt3}2 (\t_4\l(\frac{3\tau}2\r)\t_4\bigg(\frac\tau2\bigg) +\t_3\l(\frac{3\tau}2\r)\t_3\bigg(\frac\tau2\bigg))\\ &=\frac{-i\tau\sqrt3}2\sum^\infty_{m,n=-\infty}(1+(-1)^{m+n})q^{(3m^2+n^2)/4}\\ &=-i\tau\sqrt3\sum_{m\equiv n\pmod2}q^{(3m^2+n^2)/4} \end{align*}
いま
・$m,n\equiv0\pmod2$のとき$(m,n)=(2x,2y)$
・$m,n\equiv1\pmod2$のとき$(m,n)=(2x+1,2y+1)$
とおくと
$$a\l(-\frac1{3\tau}\r) =-i\tau\sqrt3\sum^\infty_{x,y=-\infty}(q^{3x^2+y^2}+q^{3(x+\frac12)^2+(y+\frac12)^2}) =-i\tau\sqrt3a(\tau)$$
を得る。