この記事では
前回の記事
に引き続きラマヌジャン・佐藤級数について勉強していきます。
と言ってもとりあえず読もうと思っていた論文
・その1:Chan, Chan, Liu (2004)
・その2:Chan, Cooper (2012)
・その3:Chan, Tanigawa, Yang, Zudilin (2011)
・その4:Chan, Cooper (2012)の続き
については一通り目を通せたので一旦今回の記事でこれまでの内容を、次回の記事で具体的な公式の一覧をまとめておこうと思います。続きの記事については今のところ書く予定はありませんが、次回の記事で色々な結果をまとめているうちに何か発見したことがあればまた考察を続けるかもしれません。
またこのシリーズではモジュラー形式を用いた手法について解説してきましたが、どうやらもう一つのアプローチとして微分演算子を用いた手法(Almkvist (2012))とやらがあるらしく、少し気になってはいます。が、軽く読んでみても今一ピンと来なかったのでよほど気が向かない限りこれについての記事を書く予定もありません。
ラマヌジャン・佐藤級数を構成するにはある整数
を満たすような重さ
と級数展開できるものがあれば十分なのであった。
このとき
とおくとChan, Chan, Liuの手法から次のような生成公式が得られる。
また
における特殊値についてはそれぞれの保型性
および次の命題を用いることで求めることができる。
非負整数
とおいたとき
が成り立つ。
特に
実際これらの関係が
と求まる。
上のような性質を持つ関数の組
から
なる重さ
またその2やその4での考察からそのような
を考える。ただし
この微分方程式は
なる級数解を一意的に定める。
上のような解
とおくと
が成り立つ。
上の微分方程式がFuchs型であり、そのモノドロミー群がモジュラー群をなすとき
のような
上のような
まず素朴な方法として
このとき展開係数
によって、そうでないときは
から漸化式を立てることで求めることができる。
新たに少し考察してみたところ漸化式を立て直す手法は
のように表せなければあまり美味しくない(
微分方程式
の解
を満たす。ただし
とした。
[CTYZ]で考察した微分方程式
は本来は
であり、これにより
という関係式が得られるのであった。
また超幾何関数型の関係式
も
の二乗を取ることで得られるのであった(ただし
この場合も
と条件を満たしていることがわかる。
またこのとき
つまり
Chan, Cooperによると以下が成り立つのであった。
数列
によって定める。このとき
が成り立つ。
このとき
の満たす微分方程式は
と表せるので以下の主張が成り立つ。
が成り立つ。特に
とおいたとき
が成り立つ。
ついでに
が成り立つことにも注意したい。
以上の議論を組み表せることで、素朴な方法で
という形の円周率公式が、そしてClausenの公式の類似によって構成した場合
ある関数
が成り立つ。特にこれらは
および
という関係によって写り合う。
という形の円周率公式が得られることとなる。
以上がこれまで考察してきたことでした。
しかしまだまだ残された謎は多いままなので個人的な疑問も一旦ここにまとめておこうと思います。
を満たすようなモジュラー形式とモジュラー関数の組
次回の記事でも提示するように、このシリーズでは展開係数
つまり当てずっぽうで数列やモジュラー形式を持ってきても、そこからいい感じ関係式が得られるとは限らないのだ。ではこのシリーズで見てきた実例は一体何をどう考えて見出されたものなのだろうか、そしてこういった関係式を生み出す一般論は存在するのだろうか、という疑問が生じるわけである。
まだ法則性や一般論を見出すには実例に乏しいだけな気がしてきた。次回の記事で具体例をまとめているうちに何か見出せるかもしれない。
Chan, Coperにて提示された公式
はどうやって導かれたのか。また一般の数列
これについてはAlmkvist, Straten, Zudilinの"Generalizations of Clausen's Formula and algebraic transformations of Calabi–Yau differential equations"にヒント、あるいは答えとなるようなことが書いてあると思っているがまだ読めていない。
やはり実例に乏しいだけで、これも次回の記事でいくつかの文献を渡り歩いているうちに何か見出せるかもしれない。