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ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その6、公式集1)

はじめに

　この記事では前回の記事に続いてラマヌジャン・佐藤級数に関する公式の数々をまとめていこうと思います。
　具体的には
$$Z(\tau)=\sum^\infty_{n=0}A_nX(\tau)^n$$
を満たすようなモジュラー形式$Z$とモジュラー関数$X$および数列$A_n$の組、それらが満たす微分方程式あるいは漸化式、そしてそこから得られる
$$\frac1{2\pi\Im(\tau)}=\sum^\infty_{n=0}A_n(Un-S)X^n$$
という円周率公式の特殊値についてまとめていきます。
　なお一般のラマヌジャン・佐藤級数のバリエーションは非常に多いため今回の記事ではChan, Cooperで提示されているものに限って紹介することとし、それ以外のものについては次回に回したいと思います。

フォーマット

　以下簡単のため$s_{-1}=t_{-1}=0,s_0=t_0=1$および
\begin{align*} (n+1)^2s_{n+1}&=(an^2+an+b)s_n+cn^2s_{n-1}\\ (n+1)^3t_{n+1}&=-(2n+1)(an^2+an+a-2b)t_n-(4c+a^2)n^3t_{n-1} \end{align*}
によって定まる数列をそれぞれ$s_n[a,b,c],t_n[a,b,c]$と表す。
　この記事では以下の形式で公式を紹介していく。

基本関係式

　ある
$$z=z(\tau),\quad x=x(\tau)$$
が存在して
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[a,b,c]x^n$$
が成り立つ。

Level$\ell$の関係式

\begin{align*} j_X(\tau)&=j_Y(\tau)+2a+\frac{a^2+4c}{j_Y(\tau)}\\ j_Y(\tau)&=\frac1x-a-c x \end{align*}
および
\begin{align*} s_X(n)&=s_n[a,b,c]\binom{2n}n\\ s_Y(n)&=t_n[a,b,c] \end{align*}
とおくと
$$\sqrt{x(1-ax-cx^2)}z^2 =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_X(n)}{j_X(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_Y(n)}{j_Y(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

　ついでに
$$-q\frac{d}{dq}\log j_Y(\tau)=\sum^\infty_{n=0}\frac{s_X(n)}{j_X(\tau)^n},\quad q\frac{d}{dq}\log x=\sum^\infty_{n=0}\frac{s_Y(n)}{j_Y(\tau)^n}$$
が成り立つことも覚えておきたい。特に
$$q\frac{d}{dq}\log\eta(\tau)=\frac1{24}E_2(\tau)$$
と表せることに注意されたい。

Level$\ell$の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{j_X-4a-16cj_X^{-1}}\sum^\infty_{n=0}\binom{2n}ns_n\frac{n+\frac12+\la}{j_X(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_Y+2a+(a^2+4c)j_Y^{-1}}\sum^\infty_{n=0}t_n\frac{n+\frac12+\mu}{j_Y(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}

　ちなみにその2で触れたように$s_n,t_n$の特性方程式
$$\la^2-a\la-c=0,\quad\la^2+2a\la+(a^2+4c)=0$$
から上の級数はそれぞれ
$$|j_X(\tau)|>2|a+\sqrt{a^2+4c}|,\quad|j_Y(\tau)|>|a+2\sqrt{-c}|$$
において収束することがわかる。
　またこれは級数の収束速度、つまり第$N$項まで計算したときの誤差が
$$\l(\frac{2|a+\sqrt{a^2+4c}|}{|j_X(\tau)|}\r)^N,\quad \l(\frac{|a+2\sqrt{-c}|}{|j_Y(\tau)|}\r)^N$$
程度であることも意味している。

Level 1

基本関係式

$$z=\sqrt[4]{E_4(\tau)},\quad x=\frac1{864}\l(1-\sqrt{\frac{1728-j(\tau)}{j(\tau)}}\r)$$
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[432,60,0]x^n$$
が成り立つ。

Level 1の関係式

$$j^*(\tau) =432\frac{\sqrt{j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}$$
および
\begin{alignat*}{3} s_{1A}(n)&=s_n[432,60,0]\binom{2n}n &&=\binom{6n}{3n}\binom{3n}n\binom{2n}n\\ s_{1B}(n)&=t_n[432,60,0] &&=\sum^n_{k=0}\binom{6k}{3k}\binom{3k}k\binom{2k}k\binom{n+k}{n-k}(-432)^{n-k} \end{alignat*}
とおくと
$$\frac{\eta(\tau)^{12}}{E_4(\tau)} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{1A}(n)}{j(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{1B}(n)}{j^*(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

Level 1の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{j(\tau)-1728}\sum^\infty_{n=0}s_{1A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{j(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\frac{j^*(\tau)+432}{\sqrt{j^*(\tau)}}\sum^\infty_{n=0}s_{1B}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j^*(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j(\tau)|>1728,|j^*(\tau)|>432$において収束する。

　ちなみに
$$\frac12+\la=\frac16(1-\frac{E_4(\tau)}{E_6(\tau)}\l(E_2(\tau)-\frac3{\pi\Im(\tau)}\r))$$
と表せることが知られている。

特殊値一覧

　$j(\tau)$は$\tau$が類数$1$の虚二次体の元であるとき整数となることが知られている。
\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline &2&20^3&\dfrac3{28} &\dis8\sum^\infty_{n=0}s_{1A}(n)\frac{28n+3}{20^{3n+\frac32}}\\ \sqrt{-N} &3&2\cdot30^3&\dfrac1{11} &\dis72\sum^\infty_{n=0}s_{1A}(n)\frac{11n+1}{(2\cdot30^3)^{n+\frac12}}\\ &4&66^3&\dfrac5{63} &\dis24\sqrt2\sum^\infty_{n=0}s_{1A}(n)\frac{63n+5}{66^{3n+\frac32}}\\ &7&255^3&\dfrac8{133} &\dis162\sum^\infty_{n=0}s_{1A}(n)\frac{133n+8}{255^{3n+\frac32}} \\\hline &7&-15^3&\dfrac8{63} &\dis3\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{63n+8}{15^{3n+\frac32}}\\ &11&-32^3&\dfrac{15}{154} &\dis4\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{154n+15}{32^{3n+\frac32}}\\ &19&-96^3&\dfrac{25}{342} &\dis12\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{342n+25}{96^{3n+\frac32}}\\ \dfrac{1+\sqrt{-N}}2 &27&-3\cdot160^3&\dfrac{31}{506} &\dis36\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{506n+31}{(3\cdot160^3)^{n+\frac12}}\\ &43&-960^3&\dfrac{263}{5418} &\dis36\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{5418n+263}{960^{3n+\frac32}}\\ &67&-5280^3&\dfrac{10177}{261702} &\dis12\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{261702n+10177}{5280^{3n+\frac32}}\\ &163&-640320^3&\dfrac{13591409}{54140134} &\dis12\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{1A}(n)\frac{545140134n+13591409}{640320^{3n+\frac32}} \\\hline \end{array}

Level 2

基本関係式

\begin{align*} z&=\sqrt{\t_2(2\tau)^4+\t_3(2\tau)^4} =\l(\frac{\eta(\tau)^{16}}{\eta(2\tau)^8}+64\frac{\eta(2\tau)^{16}}{\eta(\tau)^8}\r)^\frac14\\ x&=\frac{\eta(2\tau)^{24}}{\eta(\tau)^{24}+64\eta(2\tau)^{24}} \end{align*}
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[64,12,0]x^n$$
が成り立つ。

Level 2の関係式

\begin{align*} j_{2A}(\tau)&=\l(\sqrt{j_{2B}(\tau)}+\frac{64}{\sqrt{j_{2B}(\tau)}}\r)^2\\ j_{2B}(\tau)&=\l(\frac{\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}\r)^{24} \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} s_{2A}(n)&=s_n[64,12,0]\binom{2n}n&&=\binom{4n}{2n}\binom{2n}n^2\\ s_{2B}(n)&=t_n[64,12,0] &&=\sum^n_{k=0}\binom{4k}{2k}\binom{2k}k^2\binom{n+k}{n-k}(-64)^{n-k} \end{alignat*}
とおくと
$$\frac{(\eta(\tau)\eta(2\tau))^8}{\sqrt{\eta(\tau)^{24}+64\eta(2\tau)^{24}}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{2A}(n)}{j_{2A}(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{2B}(n)}{j_{2B}(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

Level 2の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{j_{2A}(\tau)-256}\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{j_{2A}(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\frac{j_{2B}(\tau)+64}{\sqrt{j_{2B}(\tau)}}\sum^\infty_{n=0}s_{2B}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j_{2B}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j_{2A}(\tau)|>256,|j_{2B}(\tau)|>64$において収束する。

特殊値一覧

\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j_{2A}(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline &2&3\cdot6^3&\dfrac17 &\dis\frac29\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{7n+1}{(3\cdot6^3)^n}\\ &3&48^2&\dfrac18 &\dis\frac{\sqrt3}6\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{8n+1}{48^{2n}}\\\sqrt{-N/2} &5&12^4&\dfrac1{10} &\dis\frac{2\sqrt2}{3^2}\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{10n+1}{12^{4n}}\\ &9&28^4&\dfrac3{40} &\dis\frac{3\sqrt3}{49}\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{40n+3}{28^{4n}}\\ &11&1584^2&\dfrac{19}{280} &\dis\frac{\sqrt{11}}{198}\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{280n+19}{1584^{2n}}\\ &29&396^4&\dfrac{1103}{26390} &\dis\frac{2\sqrt2}{99^2}\sum^\infty_{n=0}s_{2A}(n)\frac{26390n+1103}{396^{4n}} \\\hline &5&-2^{10}&\dfrac3{20} &\dis\frac18\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{2A}(n)\frac{20n+3}{2^{10n}}\\ &7&-63^2&\dfrac8{65} &\dis\frac{\sqrt7}{63}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{2A}(n)\frac{65n+8}{288^{2n}}\\\dfrac{1+\sqrt{-N}}2 &9&-3\cdot2^{12}&\dfrac3{28} &\dis\frac{\sqrt3}{16}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{2A}(n)\frac{28n+3}{(3\cdot2^{12})^n}\\ &13&-288^2&\dfrac{23}{260} &\dis\frac1{72}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{2A}(n)\frac{260n+23}{288^{2n}}\\ &25&-5\cdot1152^2&\dfrac{41}{644} &\dis\frac{\sqrt5}{282}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{2A}(n)\frac{644n+41}{(5\cdot1152^2)^n}\\ &37&-14112^2&\dfrac{1123}{21460} &\dis\frac1{3528}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{2A}(n)\frac{21460n+1123}{14112^{2n}} \\\hline \end{array}

Level 3

　$a(\tau)$を cubic theta function とする。

基本関係式

\begin{align*} z&=a(\tau)=\l(\frac{\eta(\tau)^9}{\eta(3\tau)^3}+27\frac{\eta(3\tau)^9}{\eta(\tau)^3}\r)^\frac13\\ x&=\frac{\eta(3\tau)^{12}}{\eta(\tau)^{12}+27\eta(3\tau)^{12}} \end{align*}
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[27,6,0]x^n$$
が成り立つ。

Level 3の関係式

\begin{align*} j_{3A}(\tau)&=\l(\sqrt{j_{3B}(\tau)}+\frac{27}{\sqrt{j_{3B}(\tau)}}\r)^2\\ j_{3B}(\tau)&=\l(\frac{\eta(\tau)}{\eta(3\tau)}\r)^{12} \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} s_{3A}(n)&=s_n[27,6,0]\binom{2n}n&&=\binom{3n}{n}\binom{2n}n^2\\ s_{3B}(n)&=t_n[27,6,0] &&=\sum^n_{k=0}\binom{3k}k\binom{2k}k^2\binom{n+k}{n-k}(-27)^{n-k} \end{alignat*}
とおくと
$$\frac{(\eta(\tau)\eta(3\tau))^4}{\sqrt[3]{\eta(\tau)^{12}+27\eta(3\tau)^{12}}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{3A}(n)}{j_{3A}(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{3B}(n)}{j_{3B}(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

Level 3の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{j_{3A}(\tau)-108}\sum^\infty_{n=0}s_{3A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{j_{3A}(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\frac{j_{3B}(\tau)+27}{\sqrt{j_{3B}(\tau)}}\sum^\infty_{n=0}s_{3B}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j_{2B}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j_{3A}(\tau)|>108,|j_{3B}(\tau)|>27$において収束する。

特殊値一覧

\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j_{3A}(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline &2&6^3&\dfrac16 &\dis2\sqrt2\sum^\infty_{n=0}s_{3A}(n)\frac{6n+1}{6^{3n+\frac32}}\\\sqrt{-N/3} &4&2\cdot3^6&\dfrac2{15} &\dis4\sqrt2\sum^\infty_{n=0}s_{3A}(n)\frac{15n+2}{(2\cdot3^6)^{n+\frac12}}\\ &5&15^3&\dfrac4{33} &\dis2\sqrt5\sum^\infty_{n=0}s_{3A}(n)\frac{33n+4}{15^{3n+\frac32}} \\\hline &9&-3\cdot2^6&\dfrac15 &\dis6\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{3A}(n)\frac{5n+1}{(3\cdot2^6)^{n+\frac12}}\\ &17&-12^3&\dfrac7{51} &\dis2\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{3A}(n)\frac{51n+7}{12^{3n+\frac32}}\\\dfrac{1+\sqrt{-N/3}}2 &25&-5\cdot12^3&\dfrac19 &\dis30\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{3A}(n)\frac{9n+1}{(5\cdot12^3)^{n+\frac12}}\\ &41&-48^3&\dfrac{53}{615} &\dis2\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{3A}(n)\frac{615n+53}{48^{3n+\frac32}}\\ &49&-7\cdot6^6&\dfrac{13}{165} &\dis14\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{3A}(n)\frac{165n+13}{(7\cdot6^6)^{n+\frac12}}\\ &89&-300^3&\dfrac{827}{14151} &\dis2\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{3A}(n)\frac{14151n+827}{300^{3n+\frac32}} \\\hline \end{array}

Level 4

基本関係式

\begin{align*} z&=\t_3(2\tau)^2 =\frac{\eta(2\tau)^{10}}{(\eta(\tau)\eta(4\tau))^4}\\\ x&=\frac{\eta(4\tau)^8}{\eta(\tau)^8+16\eta(4\tau)^8} =\l(\frac{\eta(\tau)\eta(4\tau)^2}{\eta(\tau)^3}\r)^8 \end{align*}
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[16,4,0]x^n$$
が成り立つ。

Level 4の関係式

\begin{align*} j_{4A}(\tau)&=\l(\sqrt{j_{4B}(\tau)}+\frac{16}{\sqrt{j_{4B}(\tau)}}\r)^2 =\l(e^{-\frac{\pi i}{24}}\frac{\eta(\frac{2\tau+1}2)}{\eta(2\tau)}\r)^{24}\\ j_{4B}(\tau)&=\l(\frac{\eta(\tau)}{\eta(4\tau)}\r)^8 \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} s_{4A}(n)&=s_n[16,4,0]\binom{2n}n&&=\binom{2n}n^3\\ s_{4B}(n)&=t_n[16,4,0] &&=\sum^n_{k=0}\binom{2k}k^3\binom{n+k}{n-k}(-16)^{n-k} \end{alignat*}
とおくと
$$\l(\frac{\eta(\tau)\eta(4\tau)}{\eta(2\tau)}\r)^4 =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{4A}(n)}{j_{4A}(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{4B}(n)}{j_{4B}(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

Level 4の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{j_{4A}(\tau)-64}\sum^\infty_{n=0}s_{4A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{j_{4A}(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\frac{j_{4B}(\tau)+16}{\sqrt{j_{4B}(\tau)}}\sum^\infty_{n=0}s_{4B}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j_{4B}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j_{4A}(\tau)|>64,|j_{4B}(\tau)|>16$において収束する。

特殊値一覧

\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j_{4A}(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline\sqrt{-N}/2 &3&2^8&\dfrac16 &\dis\sum^\infty_{n=0}s_{4A}(n)\frac{6n+1}{2^{8n+2}}\\ &7&2^{12}&\dfrac5{42} &\dis\sum^\infty_{n=0}s_{4A}(n)\frac{42n+5}{2^{12n+4}} \\\hline\dfrac{1+\sqrt{-N}}2 &2&-2^6&\dfrac14 &\dis\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{4A}(n)\frac{4n+1}{2^{6n+1}}\\ &4&-2^9&\dfrac16 &\dis\sqrt2\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{4A}(n)\frac{6n+1}{2^{9n+2}} \\\hline \end{array}

Level 5

基本関係式

　$q=e^{2\pi i\tau}$とし
\begin{align*} z&=\prod^\infty_{n=1}\frac{(1-q^n)^2}{((1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1}))^5}\\ x&=\l(q^{\frac15}\prod^\infty_{n=1}\frac{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}{(1-q^{5n-3})(1-q^{5n-2})}\r)^5 \end{align*}
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[11,3,1]x^n$$
が成り立つ。

Level 5の関係式

\begin{align*} j_{5A}(\tau)&=j_{5B}(\tau)+22+\frac{125}{j_{5B}(\tau)}\\\ j_{5B}(\tau)&=\l(\frac{\eta(\tau)}{\eta(5\tau)}\r)^6 \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} s_{5A}(n)&=s_n[11,3,1]\binom{2n}n&&=\binom{2n}n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k\\ s_{5B}(n)&=t_n[11,3,1] &&=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk^3\binom{4n-5k}{3n} \end{alignat*}
とおくと
$$(\eta(\tau)\eta(5\tau))^2=\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{5A}(n)}{j_{5A}(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{5B}(n)}{j_{5B}(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

Level 5の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{j_{5A}-44-16j_{5A}^{-1}}\sum^\infty_{n=0}s_{5A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{j_{5A}(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_{5B}+22+125j_{5B}^{-1}}\sum^\infty_{n=0}s_{5B}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j_{5B}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j_{5A}(\tau)|>2(11+5\sqrt5)=44.36\ldots,\ |j_{5B}(\tau)|>5\sqrt5=11.18\ldots$において収束する。

特殊値一覧

\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j_{5A}(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline\sqrt{-N/5} &2&72&\dfrac15 &\dis\frac43\sum^\infty_{n=0}s_{5A}(n)\frac{5n+1}{72^{n+\frac12}}\\ &3&147&\dfrac2{11} &\dis\frac{10}7\sum^\infty_{n=0}s_{5A}(n)\frac{11n+2}{147^{n+\frac12}} \\\hline\dfrac{1+\sqrt{-N/5}}2 &23&-828&\dfrac{29}{190} &\dis\frac13\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{5A}(n)\frac{190n+29}{828^{n+\frac12}}\\ &47&-15228&\dfrac{71}{682} &\dis\frac59\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{5A}(n)\frac{682n+71}{15228^{n+\frac12}} \\\hline \end{array}

Level 6

　以下簡単のため$[n]=\eta(n\tau)$とおく。

基本関係式

\begin{align*} z_B&=\frac{[1]^6[6]}{[2]^3[3]^2}& x_B&=\frac{[2][6]^5}{[1]^5[3]}\\ z_C&=\frac{[2]^6[3]}{[1]^3[6]^2}& x_C&=\l(\frac{[1][6]^2}{[2]^2[3]}\r)^4\\ z_D&=\frac{[2][3]^6}{[1]^2[6]^3}& x_D&=\l(\frac{[1][6]^3}{[2][3]^3}\r)^3 \end{align*}
とおくと
\begin{align*} z_B&=\sum^\infty_{n=0}s_n[-17,-6,-72]x_B^n\\ z_C&=\sum^\infty_{n=0}s_n[10,3,-9]x_C^n\\ z_D&=\sum^\infty_{n=0}s_n[7,2,8]x_D^n \end{align*}
が成り立つ。

Level 6の関係式

\begin{align*} j_{6A}(\tau)&=\l(\sqrt{j_{6B}(\tau)}-\frac1{\sqrt{j_{6B}(\tau)}}\r)^2 =\l(\sqrt{j_{6C}(\tau)}+\frac8{\sqrt{j_{6C}(\tau)}}\r)^2 =\l(\sqrt{j_{6D}(\tau)}+\frac9{\sqrt{j_{6D}(\tau)}}\r)^2-4\\ j_{6B}(\tau)&=\l(\frac{[2][3]}{[1][6]}\r)^{12}\\ j_{6C}(\tau)&=\l(\frac{[1][3]}{[2][6]}\r)^6\\ j_{6D}(\tau)&=\l(\frac{[1][2]}{[3][6]}\r)^4\\ j_{6E}(\tau)&=\l(\frac{[2][3]^3}{[1][6]^3}\r)^3=\frac1{x_D} \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} \a_B(n)&=s_n[-17,-6,-72]\binom{2n}n &&=\binom{2n}n\sum^n_{k=0}\binom nk(-8)^{n-k}\sum^k_{j=0}\binom kj^3\\ \a_C(n)&=s_n[10,3,-9]\binom{2n}n &&=\binom{2n}n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2k}k\\ \a_D(n)&=s_n[7,2,8]\binom{2n}n &&=\binom{2n}n\sum^n_{k=0}\binom nk^3\\ s_{6B}(n)&=t_n[-17,-6,-72]&&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ s_{6C}(n)&=t_n[10,3,-9]&&=(-1)^n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k\\ s_{6D}(n)&=t_n[7,2,8] &&=\sum^n_{k=0}\binom{n+k}n\binom n{3k}\binom{3k}{2k}\binom{2k}k(-3)^{n-3k} \end{alignat*}
とおくと
\begin{align*} [1][2][3][6]&=\sum^\infty_{n=0}\frac{\a_B(n)}{(j_{6A}(\tau)-32)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{\a_C(n)}{(j_{6A}(\tau)+4)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{\a_D(n)}{(j_{6A}(\tau))^{n+\frac12}}\\ &=\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{6B}(n)}{j_{6B}(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{6C}(n)}{j_{6C}(\tau)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{6D}(n)}{j_{6D}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
が成り立つ。

Level 6の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{\frac{(j_{6A}(\tau)+4)j_{6A}(\tau)}{j_{6A}(\tau)-32}} \sum^\infty_{n=0}\a_B(n)\frac{n+\frac12+\la_B}{(j_{6A}(\tau)-32)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{\frac{j_{6A}(\tau)(j_{6A}(\tau)-32)}{j_{6A}(\tau)+4}} \sum^\infty_{n=0}\a_C(n)\frac{n+\frac12+\la_C}{(j_{6A}(\tau)+4)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{\frac{(j_{6A}(\tau)-32)(j_{6A}(\tau)+4)}{j_{6A}(\tau)}} \sum^\infty_{n=0}\a_D(n)\frac{n+\frac12+\la_D}{(j_{6A}(\tau))^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_{6A}(\tau)-32}\sum^\infty_{n=0}s_{6B}(n)\frac{n+\frac12+\mu_B}{j_{6B}(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_{6A}(\tau)+4}\sum^\infty_{n=0}s_{6C}(n)\frac{n+\frac12+\mu_C}{j_{6C}(\tau)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_{6A}(\tau)}\sum^\infty_{n=0}s_{6D}(n)\frac{n+\frac12+\mu_D}{j_{6D}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは
\begin{align*} |j_{6A}(\tau)-32|&>36&|j_{6B}(\tau)|&>17+12\sqrt2=33.97\ldots\\ |j_{6A}(\tau)+4|&>36&|j_{6C}(\tau)|&>16\\ |j_{6A}(\tau)|&>32&|j_{6D}(\tau)|&>9 \end{align*}
において収束する。

　ちなみに
\begin{align*} &\phantom{{}={}}\sqrt{\frac{(j_{6A}(\tau)+4)j_{6A}(\tau)}{j_{6A}(\tau)-32}}\la_B\\ &=\sqrt{\frac{j_{6A}(\tau)(j_{6A}(\tau)-32)}{j_{6A}(\tau)+4}}\la_C\\ &=\sqrt{\frac{(j_{6A}(\tau)-32)(j_{6A}(\tau)+4)}{j_{6A}(\tau)}}\la_D\\ &=\sqrt{j_{6A}(\tau)-32}\mu_B\\ &=\sqrt{j_{6A}(\tau)+4}\mu_C\\ &=\sqrt{j_{6A}(\tau)}\mu_D \end{align*}
が成り立つ。

特殊値一覧

　流石に面倒なので$1/\pi$の項は省略する。
\begin{array}{cccccc}\hline \tau&N&j_{6A}(\tau)&\la_B+\frac12&\la_C+\frac12&\la_D+\frac12\\\hline &2&50&\mbox{収束範囲外}&\dfrac15&\dfrac29\\ &3&96&\dfrac3{10}&\dfrac3{16}&\dfrac15\\\sqrt{-N/6} &5&320&\dfrac15&\dfrac{13}{80}&\dfrac16\\ &7&896&\dfrac{11}{70}&\dfrac17&\dfrac{13}{90}\\ &13&10400&\dfrac{241}{2210}&\dfrac7{65}&\dfrac{11}{102}\\ &17&39200&\dfrac{73}{770}&\dfrac{899}{9520}&\dfrac{53}{561} \\\hline &3&-16&0&\mbox{収束範囲外}&\mbox{収束範囲外}\\ &5&-49&\dfrac4{35}&\dfrac27&\dfrac4{15}\\ &7&-112&\dfrac17&\dfrac{13}{56}&\dfrac29\\\dfrac{1+\sqrt{-N/3}}2 &11&-400&\dfrac8{55}&\dfrac7{40}&\dfrac{17}{99}\\ &19&-2704&\dfrac8{65}&\dfrac{253}{1976}&\dfrac{109}{855}\\ &31&-24304&\dfrac{107}{1085}&\dfrac{2239}{22568}&\dfrac{58}{585}\\ &59&-1123600&\dfrac{25808}{359605}&\dfrac{2587}{36040}&\dfrac{14903}{207621} \\\hline \end{array}

Level 8

基本関係式

$$z=\frac{[2]^{10}}{([1][4])^4},\quad x=\frac{[1]^4[4]^2[8]^4}{[2]^{10}}$$
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[12,4,-32]x^n$$
が成り立つ。

Level 8の関係式

\begin{align*} j_{8A}(\tau)&=\l(\sqrt{j_{8B}(\tau)}+\frac4{\sqrt{j_{8B}(\tau)}}\r)^2=\sqrt{j_{2A}(2\tau)}\\ j_{8B}(\tau)&=\l(\frac{[1][4]^2}{[2]^2[8]}\r)^8 \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} s_{8A}(n)&=s_n[12,4,-32]\binom{2n}n &&=\binom{2n}n\sum^n_{k=0}\binom n{2k}\binom{2k}k^24^{n-2k}\\ s_{8B}(n)&=t_n[12,4,-32] &&=(-1)^n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2k}n^2 \end{alignat*}
とおくと
$$([2][4])^2 =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{8A}(n)}{(j_{8A}(\tau)+16)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{8B}(n)}{j_{8B}(\tau)^{n+\frac12}}\qquad \l(=\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{4A}(n)}{j_{2B}(2\tau)^{n+\frac12}}\r)$$
が成り立つ。

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{\frac{j_{8A}(\tau)(j_{8A}(\tau)-16)}{j_{8A}(\tau)+16}} \sum^\infty_{n=0}s_{8A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{(j_{8A}(\tau)+16)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_{8A}(\tau)+16}\sum^\infty_{n=0}s_{4A}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j_{2B}(2\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j_{8A}(\tau)|>32,\ |j_{8B}(\tau)|>4(3+2\sqrt2)=23.31\ldots$において収束する。

特殊値一覧

\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j_{8A}(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline &3&48&\dfrac16 &\dis\sum^\infty_{n=0}s_{8A}(n)\frac{6n+1}{64^{n+\frac12}}\\ &5&12^2&\dfrac16 &\dis2\sqrt2\sum^\infty_{n=0}s_{8A}(n)\frac{6n+1}{160^{n+\frac12}}\\\sqrt{-N/8} &9&28^2&\dfrac17 &\dis\frac{3\sqrt2}5\sum^\infty_{n=0}s_{8A}(n)\frac{7n+1}{800^{n+\frac12}}\\ &11&1584&\dfrac{61}{462} &\dis\frac15\sum^\infty_{n=0}s_{8A}(n)\frac{462n+61}{1600^{n+\frac12}}\\ &29&396^2&\dfrac{193}{2310} &\dis\frac{6\sqrt2}{13}\sum^\infty_{n=0}s_{8A}(n)\frac{2310n+193}{156832^{n+\frac12}} \\\hline &5&-12^2&\dfrac7{30} &\dis\frac{\sqrt2}2\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{8A}(n)\frac{30n+7}{128^{n+\frac12}}\\\dfrac{1+\sqrt{-N/2}}2 &9&-28^2&\dfrac{11}{70} &\dis\frac{\sqrt2}{16}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{8A}(n)\frac{70n+11}{768^{n+\frac12}}\\ &11&-1584&\dfrac{23}{165} &\dis\frac47\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{8A}(n)\frac{165n+23}{1568^{n+\frac12}}\\ &29&-396^2&\dfrac{2081}{24882} &\dis\frac{3\sqrt2}{70}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{8A}(n)\frac{24882n+2081}{156800^{n+\frac12}} \\\hline \end{array}

Level 9

基本関係式

$$z=\frac{\eta(\tau)^3}{\eta(3\tau)},\quad x=\l(\frac{\eta(9\tau)}{\eta(\tau)}\r)^3$$
とおくと
$$z=\sum^\infty_{n=0}s_n[-9,-3,-27]x^n$$
が成り立つ。

Level 9の関係式

\begin{align*} j_{9A}(\tau)&=j_{9B}(\tau)-6-\frac{27}{j_{9B}(\tau)}=\sqrt[3]{j(3\tau)}\\ j_{9B}(\tau)&=\l(\frac{\eta(3\tau)^2}{\eta(\tau)\eta(9\tau)}\r)^6 \end{align*}
および
\begin{alignat*}{3} s_{9A}(n)&=s_n[-9,-3,-27]\binom{2n}n &&=\binom{2n}n\sum^n_{k=0}\binom nk\binom{n-k}k\binom{n-2k}k(-3)^{n-3k}\\ s_{9B}(n)&=t_n[-9,-3,-27] &&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\sum^k_{j=0}\binom nj\binom kj\binom{k+j}n \end{alignat*}
とおくと
$$\eta(3\tau)^4 =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{3A}(n)}{(j_{9A}(\tau)-12)^{n+\frac12}} =\sum^\infty_{n=0}\frac{s_{3B}(n)}{j_{9B}(\tau)^{n+\frac12}}$$
が成り立つ。

Level 9の円周率公式

\begin{align*} \frac1{2\pi\Im(\tau)} &=\sqrt{\frac{j_{9A}(\tau)^2+12j_{9A}(\tau)+144}{j_{9A}(\tau)-12}} \sum^\infty_{n=0}s_{3A}(n)\frac{n+\frac12+\la}{(j_{9A}(\tau)-12)^{n+\frac12}}\\ &=\sqrt{j_{9A}(\tau)-12}\sum^\infty_{n=0}s_{3B}(n)\frac{n+\frac12+\mu}{j_{9B}(\tau)^{n+\frac12}} \end{align*}
これらは$|j_{9A}(\tau)|>12\sqrt3=20.78\ldots,\ |j_{9B}(\tau)|>3(3+2\sqrt{3})=19.39\ldots$において収束する。

特殊値一覧

\begin{array}{ccccc}\hline \tau&N&j_{9A}(\tau)&\la+\frac12&1/\pi\\\hline\sqrt{-N}/3 &4&66&\dfrac27 &\dis\frac{4\sqrt2}3\sum^\infty_{n=0}s_{9A}(n)\frac{7n+2}{54^{n+\frac12}}\\ &7&255&\dfrac{26}{133} &\dis\frac29\sum^\infty_{n=0}s_{9A}(n)\frac{133n+26}{243^{n+\frac12}} \\\hline &7&-15&\dfrac27 &\dis\frac13\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{9A}(n)\frac{7n+2}{27^{n+\frac12}}\\ &11&-32&\dfrac3{14} &\dis\frac13\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{9A}(n)\frac{14n+3}{44^{n+\frac12}}\\\dfrac{1+\sqrt{-N}/3}2 &19&-96&\dfrac7{38} &\dis\frac13\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{9A}(n)\frac{38n+7}{108^{n+\frac12}}\\ &43&-960&\dfrac{85}{602} &\dis\frac19\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{9A}(n)\frac{602n+85}{972^{n+\frac12}}\\ &67&-5280&\dfrac{481}{4154} &\dis\frac1{21}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{9A}(n)\frac{4154n+481}{5292^{n+\frac12}}\\ &163&-640320&\dfrac{58831}{786638} &\dis\frac1{231}\sum^\infty_{n=0}(-1)^ns_{9A}(n)\frac{786638n+58831}{640332^{n+\frac12}} \\\hline \end{array}

索引

　最後に数列から関係式のレベルを逆引きしたいとき用の表(その2からのコピペ)を置いておきます。
\begin{array}{cccc}\hline \ell&(a,b,c)&s_n&t_n\\\hline 1&(432,60,0)&\dis\binom{6n}{3n}\binom{3n}n &\dis\sum^n_{k=0}s_n\binom{2k}k\binom{n+k}{n-k}(-a)^{n-k}\\ 2&(64,12,0)&\dis\binom{4n}{2n}\binom{2n}n &\dis\sum^n_{k=0}s_n\binom{2k}k\binom{n+k}{n-k}(-a)^{n-k}\\ 3&(27,6,0)&\dis\binom{3n}n\binom{2n}n &\dis\sum^n_{k=0}s_n\binom{2k}k\binom{n+k}{n-k}(-a)^{n-k}\\ 4&(16,4,0)&\dis\binom{2n}n^2 &\dis(-1)^n\sum^n_{k=0}\binom{2k}k^2\binom{2n-2k}{n-k}\\ 5&(11,3,1)&\dis\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k &\dis\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk^3\binom{4n-5k}{3n}\\ 6_B&(-17,-6,-72)&\dis\sum^n_{k=0}\binom nk(-8)^{n-k}\sum^k_{j=0}\binom kj^3 &\dis\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ 6_C&(10,3,9)&\dis\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2k}k &\dis(-1)^n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2n-2k}{n-k}\binom{2k}k\\ 6_D&(7,2,8)&\dis\sum^n_{k=0}\binom nk^3 &\dis\sum^n_{k=0}\binom{n+k}n\binom n{3k}\binom{3k}{2k}\binom{2k}k(-3)^{n-3k}\\ 8&(12,4,-32)&\dis\sum^n_{k=0}\binom n{2k}\binom{2k}k^24^{n-2k} &\dis(-1)^n\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{2k}n^2\\ 9&(-9,-3,-27)&\dis\sum^n_{k=0}\binom nk\binom{n-k}k\binom{n-2k}k(-3)^{n-3k} &\dis\sum^n_{k=0}\binom nk^2\sum^k_{j=0}\binom nj\binom kj\binom{k+j}n\\\hline \end{array}