Almkvist-Zudilin's sporadic sequences
Zagier's sporadic sequences
は
\begin{align}
(n+1)^2A_{n+1}-(an^2+an+b)A_n+cn^2A_{n-1}=0\qquad A_0=1,\quad A_{-1}=0
\end{align}
を満たす散発的な整数列である. 一方, $\zeta(3)$の無理性に関するApéry数
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2
\end{align}
は漸化式
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(17n^2+17n+5)a_n+n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
を満たす. その類似として, Almkvist-Zudilinの論文において, 係数が3次多項式の場合
\begin{align}
(n+1)^3A_{n+1}-(2n+1)(an^2+an+b)A_n+cn^3A_{n-1}=0\qquad A_0=1,\quad A_{-1}=0
\end{align}
にも同じように散発的な整数列が6つ与えられている.
Almkvist-Zudilin数
$(a,b,c)=(7,3,81)$の場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(7n^2+7n+3)a_n+81n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. この数列は
Almkvist-Zudilin数
と呼ばれており, 以下のように表される.
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(-1)^k3^{n-3k}\frac{(3k)!}{k!^3}\binom{n}{3k}\binom{n+k}k
\end{align}
Domb数
$(a,b,c)=(10,4,64)$の場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-2(2n+1)(5n^2+5n+2)a_n+64n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. この数列はDomb数と呼ばれており,
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align}
と表される. これは
Bessel関数$J_0$の4乗のMaclaurin展開
の係数として現れるものである.
Apéry数
$(a,b,c)=(17,5,1)$の場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(17n^2+17n+5)a_n+n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. これは有名なApéry数であり,
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2
\end{align}
と表される.
$(a,b,c)=(12,4,16)$の場合
この場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-4(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n+16n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. これは
前の記事
で扱った数列であり, 明示式
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}n^2
\end{align}
を持つ.
$(a,b,c)=(11,5,125)$の場合
この場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(11n^2+11n+5)a_n+125n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. これは
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n5\rfloor}\binom nk^3\left(\binom{4n-5k-1}{3n}+\binom{4n-5k}{3n}\right)\qquad n\geq1
\end{align}
という明示式を持つことが知られている. この表示は超幾何級数で表すとvery-well-poised 2-balanced${}_9F_8$になる. 二重級数や三重級数表示など, 別の表示があるのかは気になるところである.
$(a,b,c)=(9,3,-27)$の場合
この場合, 漸化式は
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-3(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n-27n^3a_{n-1}=0\qquad a_0=1,\quad a_{-1}=0
\end{align}
となる. これは
前の記事
で扱った数列であり, 明示式
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^2\binom nl\binom kl\binom{k+l}n
\end{align}
を持つことが知られている.
前の記事
で超幾何級数による表示
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\binom nk^2\binom{2n-3k-1}{n-1}\left(\binom{2n-3k}n+\binom{2n-3k-1}n\right)\qquad n\geq 1
\end{align}
も得たが, それが上の二重級数表示と等しいことはかなり非自明なことのように思える.
Zagier's sporadic sequencesとの1対1対応
Almkvist-Zudilin's sporadic sequencesはClausenの公式の類似により, Zagier's sporadic sequencesと1対1に対応している. それらは 子葉さんの記事 にまとめられている.
まとめ
最初の4つの数列はbalanced${}_4F_3$で表され, 残りの2つの数列はvery-well-poised 2-balanced${}_9F_8$で表されることから3項漸化式を満たすことが分かる. つまり, 全てのAlmkvist-Zudilin's sporadic sequencesは, 隣接関係式から3項漸化式を満たすことが分かるような超幾何級数で表されるということである.
