あるApéry数の類似について7

前の記事 で用いた式
\begin{align} &\sum_{0\leq j,k}\frac{(-m,-n,1+a+m+n)_j}{j!^3}\frac{(-m,-n,1+a+m+n)_k}{k!^3}\frac{(j+k)!}{(1+a)_{j+k}}\\ &=\frac{(1+a+n,-m-n)_m}{(1+a,-m)_m}\frac{(1+a+m,-m-n)_n}{(1+a,-n)_n}\\ &\qquad\cdot\F98{a,1+\frac a2,a,1+a+m+n,1+a+m+n,-m,-m,-n,-n}{\frac a2,1,-m-n,-m-n,1+a+m,1+a+m,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
において, $a=-l-m-n-1$とすると
\begin{align} &\sum_{0\leq j,k}\frac{(-l,-m,-n)_j}{j!^3}\frac{(-l,-m,-n)_k}{k!^3}\frac{(j+k)!}{(-l-m-n)_{j+k}}\\ &=\frac{(-l-m,-m-n)_m}{(-l-m-n,-m)_m}\frac{(-l-n,-m-n)_n}{(-l-m-n,-n)_n}\\ &\qquad\cdot\F98{-l-m-n-1,\frac{1-l-m-n}2,-l-m-n-1,-l,-l,-m,-m,-n,-n}{-\frac{1+l+m+n}2,1,-m-n,-m-n,-l-n,-l-n,-l-m,-l-m}1\\ &=\frac{(l+1,n+1)_m}{m!(l+n+1)_m}\frac{(l+1,m+1)_n}{n!(l+m+1)_n}\F98{-l-m-n-1,\frac{1-l-m-n}2,-l-m-n-1,-l,-l,-m,-m,-n,-n}{-\frac{1+l+m+n}2,1,-m-n,-m-n,-l-n,-l-n,-l-m,-l-m}1\\ &=\left(\frac{(l+m)!(m+n)!(l+n)!}{l!m!n!(l+m+n)!}\right)^2\F98{-l-m-n-1,\frac{1-l-m-n}2,-l-m-n-1,-l,-l,-m,-m,-n,-n}{-\frac{1+l+m+n}2,1,-m-n,-m-n,-l-n,-l-n,-l-m,-l-m}1 \end{align}
を得る. 一致の定理から, より一般に以下が成り立つことが分かる.

今回は定理1において$a,b,c$を$-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3$として得られる数列
\begin{align} a_0&:=1\\ a_n&:=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{j=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{2n-3j-3k-1}\frac{n!^2(n-1-j-k)!(j+k)!}{j!^3(n-3j)!k!^3(n-3k)!}&&n\geq 1\\ &=3^{2n-1}\sum_{0\leq j,k}\frac{\left(-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3\right)_j}{j!^3}\frac{\left(-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3\right)_k}{k!^3}\frac{(j+k)!}{(1-n)_{j+k}} \end{align}
について考えたいと思う. 結論から言うと, この数列はOEISの A290576 になっているようである.

${}_9F_8$による表示

$n\geq 1$としておく. 定理1より
\begin{align} a_n&=3^{2n-1}\left(\frac{\Gamma\left(\frac{2n+2}3\right)\Gamma\left(\frac{2n+1}3\right)\Gamma\left(\frac{2n}3\right)}{\Gamma\left(\frac{n+3}3\right)\Gamma\left(\frac{n+2}3\right)\Gamma\left(\frac{n+1}3\right)(n-1)!}\right)^2\F98{-n,1-\frac{n}2,-n,-\frac n3,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac{2-n}3}{-\frac n2,1,\frac{3-2n}3,\frac{3-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{1-2n}3,\frac{1-2n}3}1\\ &=3^{2n-1}\left(3^{1-n}\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}\right)^2\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\frac{n-2k}n\binom nk^2\frac{(-n)_{3k}^2}{(1-2n)_{3k}^2}\\ &=\frac{3}n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(n-2k)\binom nk^2\binom{2n-3k-1}{n-1}^2 \end{align}
を得る. つまり, 以下が得られた.

定理2の表示は,
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\binom nk^2\binom{2n-3k-1}{n-1}\left(\binom{2n-3k}n+\binom{2n-3k-1}{n}\right)\\ \end{align}
とも表すことができる. よって, $a_n$は整数列であることも分かる.

${}_9F_8$による表示は
\begin{align} a_n&=3\binom{2n-1}{n}^2\F98{-n,1-\frac{n}2,-n,-\frac n3,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac{2-n}3}{-\frac n2,1,\frac{3-2n}3,\frac{3-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{2-2n}3,\frac{1-2n}3,\frac{1-2n}3}1 \end{align}
となる. Baileyの変換公式 を用いて別の表示を得るということを考えてみたくなるところだが, 一見してあまり良い表示が得られなさそうである.

漸化式

定理2の表示にZeilbergerのアルゴリズムを用いると以下の漸化式を得ることができる.

これはAlmkvist-Zudilinの論文において扱われた
\begin{align} (n+1)^3A_{n+1}-(2n+1)(an^2+an+b)A_n+cn^3A_{n-1}=0 \end{align}
という漸化式の1つである.

二重級数表示

OEISの A290576 によると, 二重級数表示
\begin{align} a_n&=\sum_{0\leq k,l}\binom nk^2\binom nl\binom kl\binom{k+l}n \end{align}
が成り立つようである. 左辺は
\begin{align} \sum_{0\leq k,l}\binom nk^2\binom nl\binom kl\binom{k+l}n&=\sum_{0\leq k,l}\binom nk^2\binom nl\binom{n-k}{n-l}\binom{2n-k-l}n\\ &=n!^2\sum_{0\leq k,l}\frac 1{k!^2(n-k)!l!(n-l)!^2(l-k)!}\frac{(2n-k-l)!}{(n-k-l)!}\\ &=\frac{(2n)!}{n!^2}\sum_{0\leq k,l\leq n}\frac{(-1)^k(-n)_k(-n)_l^2}{k!^2l!(l-k)!}\frac{(-n)_{k+l}}{(-2n)_{k+l}}\\ &=\frac{(2n)!}{n!^2}\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_l^3}{l!^2(-2n)_l}\F32{-n,-l,l-n}{1,l-2n}1 \end{align}
と表される. ここで, Kummerの変換公式 より
\begin{align} \F32{-n,-l,l-n}{1,l-2n}1&=\frac{l!}{(l-2n)_l}\F32{1+n,1+n-l,-l}{1,1}1 \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} \sum_{0\leq k,l}\binom nk^2\binom nl\binom kl\binom{k+l}n &=\frac{(2n)!}{n!^2}\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_l^3}{l!^2(-2n)_l}\frac{l!}{(l-2n)_l}\F32{1+n,1+n-l,-l}{1,1}1\\ &=\frac{(2n)!}{n!^2}\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_l^3}{l!(-2n)_{2l}}\sum_{k=0}^l\frac{(1+n,1+n-l,-l)_k}{k!^3}\\ &=\sum_{l=0}^n\frac{(-1)^l(2n-2l)!}{(n-l)!^4}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n+k)!(n+k-l)!}{k!^3(l-k)!}\\ &=\sum_{l=0}^n\frac{(-1)^{n-l}(2l)!}{l!^4}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n+k)!(k+l)!}{k!^3(n-k-l)!}\\ &=\sum_{0\leq k,l\leq n}\frac{(-1)^{n-k-l}(2l)!}{l!^4}\frac{(n+k)!(k+l)!}{k!^3(n-k-l)!}\\ &=(-1)^n\sum_{0\leq k,l}\frac{\left(\frac 12\right)_l}{l!^3}4^l\frac{(n+1)_k}{k!^3}(1,-n)_{k+l}\\ &=(-1)^n\sum_{0\leq k}\frac{(n+1,-n)_k}{k!}\F32{\frac 12,k+1,k-n}{1,1}4\\ \end{align}
と変形できる. しかしながら, このように超幾何関数の中に4が入ったものに対する変換公式はあまり知られていない. 前の記事 で示した変換公式は少し似ているようであるが, それが適用できる形にはなっていない. また, 途中の${}_3F_2(1)$に Kummer, Thomaeの変換公式 を適用する際に変換の仕方を変えてもあまり上手くいかないのではないかと思われる. $a_n$に関する他の表示を探っていきたいところである.