あるApéry数の類似について6: 三重級数表示の証明
前の記事
で
\begin{align}
a_n:=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom nj^2\binom nk^2\binom{j+k}n^2
\end{align}
という数列を扱った. その最後に$a_n$が三重級数表示
\begin{align}
a_n&=\sum_{0\leq k,l,m}\binom nk\binom nl\binom mk\binom ml\binom{k+l}k\binom nm^2
\end{align}
で表されることを述べたが, 証明を与えることはできなかった. 先ほどこの表示の証明を思いついたので, 今回はそれについて解説していきたいと思う.
三重級数表示
前の記事
の定理3において, $b=-n, b'=-m, c=c'=1+a+m+n,d=a$とすると
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\frac{(-m,-n,1+a+m+n)_k}{k!^3}\frac{(-m,-n,1+a+m+n)_l}{l!^3}\frac{(k+l)!}{(1+a)_{k+l}}\\
&=\frac{(1+a+n,-m-n)_m}{(1+a,-m)_m}\frac{(1+a+m,-m-n)_n}{(1+a,-n)_n}\\
&\qquad\cdot\F98{a,1+\frac a2,a,1+a+m+n,1+a+m+n,-m,-m,-n,-n}{\frac a2,1,-m-n,-m-n,1+a+m,1+a+m,1+a+n,1+a+n}1
\end{align}
となる. ここで, $a\to\infty$とすると
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\frac{(-m,-n)_k}{k!^3}\frac{(-m,-n)_l}{l!^3}(k+l)!\\
&=\frac{(-m-n)_m}{(-m)_m}\frac{(-m-n)_n}{(-n)_n}\F43{-m,-m,-n,-n}{1,-m-n,-m-n}1\\
&=\binom{m+n}m^2\F43{-m,-m,-n,-n}{1,-m-n,-m-n}1\\
&=\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(m+n-k)!^2}{k!^2(m-k)!^2(n-k)!^2}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\sum_{0\leq k,l}\binom nk\binom nl\binom mk\binom ml\binom{k+l}k&=\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(m+n-k)!^2}{k!^2(m-k)!^2(n-k)!^2}
\end{align}
が分かった. これより,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l,m}\binom nk\binom nl\binom mk\binom ml\binom{k+l}k\binom nm^2\\
&=\sum_{m=0}^n\binom nm^2\sum_{k=0}^m\frac{(m+n-k)!^2}{k!^2(m-k)!^2(n-k)!^2}\\
&=\sum_{m=0}^n\binom nm^2\sum_{k=0}^m\binom nk^2\binom{n+m-k}{n}^2\\
&=\sum_{m=0}^n\sum_{k=0}^n\binom nm^2\binom nk^2\binom{m+k}{n}^2&&k\mapsto n-k\\
&=a_n
\end{align}
となる. つまり, 以下が得られた.
\begin{align} a_n&=\sum_{0\leq k,l,m}\binom nk\binom nl\binom mk\binom ml\binom{k+l}k\binom nm^2 \end{align}
二重級数表示
前の記事 の最後に述べたように, 定理1は次のように書き換えることができる.
\begin{align} a_n&=\frac 1{n!^2}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^3\binom nl^3(k+l)!(2n-k-l)! \end{align}
この二重級数表示を直接示すのは難しいように思えるが, 定理1の三重級数表示を経由することによって示されるというのは面白いかもしれない.
Apéry数の二重級数表示
定理1の証明の過程で導いた等式
\begin{align}
\sum_{0\leq k,l}\binom nk\binom nl\binom mk\binom ml\binom{k+l}k&=\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(m+n-k)!^2}{k!^2(m-k)!^2(n-k)!^2}
\end{align}
はそれ自体が興味深いかもしれない. $m=n$とすると
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^2\binom nl^2\binom{k+l}k&=\sum_{k=0}^n\frac{(2n-k)!^2}{k!^2(n-k)!^4}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!^2}{k!^4(n-k)!^2}&&k\mapsto n-k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2
\end{align}
となる. また, 一致の定理により, $-a,-b$の一方が非負整数の場合に
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\binom{k+l}k\frac{(a,b)_k}{k!^2}\frac{(a,b)_l}{l!^2}\\
&=\frac{\Gamma(1-a-b)^2}{\Gamma(1-a)^2\Gamma(1-b)^2}\F43{a,a,b,b}{1,a+b,a+b}1\\
\end{align}
が成り立つという形にも拡張できる. $a\mapsto -n, b\mapsto n+1$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2&=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n(-1)^{k+l}\binom nk\binom{n+k}k\binom nl\binom{n+l}l\binom{k+l}k
\end{align}
も得られる. まとめると以下を得る.
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2&=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^2\binom nl^2\binom{k+l}k\\ &=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n(-1)^{k+l}\binom nk\binom{n+k}k\binom nl\binom{n+l}l\binom{k+l}k \end{align}
Ap éry数の類似の二重級数表示
先ほどの$-a,-b$の一方が非負整数の場合に成り立つ式において,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\binom{k+l}k\frac{(a,b)_k}{k!^2}\frac{(a,b)_l}{l!^2}\\
&=\frac{\Gamma(1-a-b)^2}{\Gamma(1-a)^2\Gamma(1-b)^2}\F43{a,a,b,b}{1,a+b,a+b}1\\
\end{align}
$a=-\frac n2,b=\frac{1-n}2$として両辺に$4^n$を掛けると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}4^{n-k-l}\binom{k+l}k\frac{n!^2}{k!^2l!^2(n-2k)!(n-2l)!}\\
&=16^n\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\F43{-\frac n2,-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n,\frac 12-n}1\\
&=16^n\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_{2k}^2}{16^kk!^2\left(\frac 12-n\right)_k^2}\\
&=\binom{2n}n^2\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k^2(-n)_{2k}^2}{k!^2\left(-2n\right)_{2k}^2}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2n-2k}{n}^2\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}{n}^2
\end{align}
つまり, 以下を得る.
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}{n}^2&=\sum_{0\leq k,l}4^{n-k-l}\binom{k+l}k\frac{n!^2}{k!^2l!^2(n-2k)!(n-2l)!}\\ \end{align}
この数列は 前の記事 で扱ったものである.
