あるApéry数の類似について
$\zeta(3)$の無理性に関するApéry数は
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2=\F43{-n,-n,n+1,n+1}{1,1,1}1
\end{align}
と${}_4F_3$で表すことができる整数列である. 今回はこの類似として,
\begin{align}
a_n:=4^n\sum_{k=0}^n16^{-k}\binom n{2k}\binom{n+2k}{2k}\binom{2k}k^2=4^n\F43{-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1,1}1
\end{align}
によって定義される数列$a_n$について考えたいと思う. 上の超幾何級数の表示により$a_n$は$n\in\ZZ$において定義されているものとする.
別の表示
以下のような表示がある.
$0\leq n$において,
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}n^2
\end{align}
が成り立つ.
Whippleの${}_4F_3$変換公式
より,
\begin{align}
\F43{-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1,1}1&=\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\F43{-\frac n2,-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n,\frac 12-n}1
\end{align}
となるから,
\begin{align}
a_n&=4^n\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\F43{-\frac n2,-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n,\frac 12-n}1\\
&=\binom{2n}n^2\sum_{k=0}^n\left(\frac{(-n)_{2k}}{k!\left(\frac 12-n\right)_k4^k}\right)^2\\
&=\sum_{k=0}^n\left(\frac{n!\binom{2n}n\left(\frac 12\right)_{n-k}}{k!(n-2k)!\left(\frac 12\right)_n4^k}\right)^2\\
&=\sum_{k=0}^n\left(\frac{(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}\right)^2\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2n-2k}n^2\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}n^2\\
\end{align}
となって示すべきと等式を得る.
漸化式
前の記事
の定理13において, $a=-\frac n2,b=\frac{n+2}2,c=\frac{n+1}2,d=\frac{1-n}2,e=f=g=1$とすると,
\begin{align}
&-\frac{(n+1)^3}{16}(4^{-n-1}a_{n+1}-4^{-n}a_n)-\frac{n^3}{16}(4^{1-n}a_{n-1}-4^{-n}a_n)\\
&+\frac{n(n+1)(2n+3)}84^{-n}a_n=0
\end{align}
を得る. これを整理すると
\begin{align}
0&=(n+1)^3(a_{n+1}-4a_n)+n^3(16a_{n-1}-4a_n)\\
&\qquad-8n(n+1)(2n+1)a_n\\
&=(n+1)^3a_{n+1}+16n^3a_{n-1}\\
&\qquad-(4(n+1)^3+8n(n+1)(2n+3)+4n^3)a_n\\
&=(n+1)^3a_{n+1}-4(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n+16n^3a_{n-1}
\end{align}
となる. つまり, 以下を得る.
$n\in\ZZ$に対し,
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-4(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n+16n^3a_{n-1}=0
\end{align}
が成り立つ.
母関数
$a_n$の定義より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nx^n&=\sum_{0\leq n}(4x)^n\F43{-\frac n2,\frac{1-n}2,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1,1}1\\
&=\sum_{0\leq n}(4x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n,n+1)_{2k}}{k!^416^k}\\
&=\sum_{0\leq n}(4x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(n+2k)!}{k!^4(n-2k)!16^k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{1}{k!^4}x^{2k}\sum_{0\leq n}\frac{(n+4k)!}{n!}(4x)^{n}\qquad n\mapsto n+k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(4k)!}{k!^4}x^{2k}(1-4x)^{-4k-1}\\
&=\frac 1{1-4x}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256x^2}{(1-4x)^4}}
\end{align}
つまり, 以下が得られる.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{1-4x}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256x^2}{(1-4x)^4}}
\end{align}
が成り立つ.
