Zagier's sporadic sequences
$\zeta(2)$の無理性に関するApéry数は
\begin{align}
a_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k
\end{align}
によって定義され, それは漸化式
\begin{align}
(n+1)^2a_{n+1}-(11n^2+11n+3)a_n-n^2a_{n-1}=0
\end{align}
を満たすことが知られている. 一般にZagierは漸化式
\begin{align}
(n+1)^2u_{n+1}-(An^2+An+\lambda)u_n+Bn^2u_{n-1}=0
\end{align}
を満たす整数列で$u_{-1}=0, u_0=1$を満たすものを数値実験によって探索し, そのようなものが, $(A,B,\lambda)=(-1,0,d^2+d),(2,1,d^2+d+1), d\in\QQ, d\geq -\frac 12$の場合と, $(A,B,\lambda)$が以下の7つの場合に限ると予想した.
\begin{align}
(7,-8,2),(9,27,3),(10,9,3),(11,-1,3),(12,32,4),(17,72,6),(0,-16,0)
\end{align}
このうち, $(0,-16,0)$の場合は
\begin{align}
u_n=\begin{cases}
\displaystyle\binom{2k}{k}^2&& n=2k\\
0&& n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
と表される. これ以外の6つの数列がZagier's sporadic sequencesと呼ばれているものになる. また, $(11,-1,3)$の場合は冒頭に述べたApéry数であり, $(7,-8,2)$の場合はFranel数
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^3
\end{align}
であることが良く知られている. 今回は, Zagier's sporadic sequencesの1つである$(9,27,3)$の場合に以下のような表示を持つことを示す.
\begin{align}
(n+1)^2u_{n+1}-(9n^2+9n+3)u_n+27n^2u_{n-1}=0
\end{align}
で$u_0=1,u_{-1}=0$を満たす$u_n$は
\begin{align}
u_n=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(-1)^k3^{n-3k}\frac{n!}{k!^3(n-3k)!}
\end{align}
と表される.
この表示から
\begin{align}
\frac{n!}{k!^3(n-3k)!}&=\binom{n}{3k}\binom{3k}k
\binom{2k}k\in\ZZ
\end{align}
であることより$u_n$が整数列であることが分かる. 定理1は以下のように${}_3F_2$の隣接関係式を用いて簡潔に示されるようである.
定義から, $u_1=3$である. $n\geq 0$に対し,
\begin{align}
v_n&:=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(-1)^k3^{n-3k}\frac{n!}{k!^3(n-3k)!}\\
&=3^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\frac{(-n)_{3k}}{k!^33^{3k}}\\
&=3^n\F32{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1}1
\end{align}
とすると$v_0=1,v_1=3$であることは容易に確認できる. よって, この$v_n$が$u_n$と同じ漸化式を満たすことを示せばよい.
前の記事
の定理8は
\begin{align}
&(a-d)(a-e)\F32{a-1,b,c}{d,e}1\\
&+b(1+a+b+c-d-e)\F32{a,b+1,c}{d,e}1\\
&+(bc-b(1+a+b+c-d-e)-(a-d)(a-e))\F32{a,b,c}{d,e}{1}=0
\end{align}
と表される. ここで, $a=\frac{2-n}3,b=-\frac{n}3,c=\frac{1-n}3,d=e=1$とすると,
\begin{align}
&\frac{(n+1)^2}93^{-n-1}v_{n+1}+\frac{n^2}33^{1-n}v_{n-1}\\
&+\left(\frac{n(n-1)}9-\frac{(n+1)^2}9-\frac{n^2}3\right)3^{-n}v_n=0
\end{align}
を得る. これを整理すると,
\begin{align}
&(n+1)^2v_{n+1}-\left(9n^2+9n+3\right)v_n+27n^2v_{n-1}=0
\end{align}
となって示すべきことが得られる.
Apéry数の漸化式も定理1の証明より若干複雑にはなるが, ${}_3F_2$の隣接関係式を用いることによって示すことができる. ところで, $(A,B,\lambda)$が一般の場合に
\begin{align}
(n+1)^2u_{n+1}-(An^2+An+\lambda)u_n+Bn^2u_{n-1}=0\qquad u_0=1,u_{-1}=0
\end{align}
の解である$u_n$を超幾何的な項からなる多重和で明示的に書き表すことができるかどうかは気になる問題であるが, おそらくそのような表示は知られていないと思われる.
$(9,27,3)$の場合の母関数
定理1の$u_n$の表示から
\begin{align}
\sum_{0\leq n}u_nx^n&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}(-1)^k3^{n-3k}\frac{n!}{k!^3(n-3k)!}\\
&=\sum_{0\leq k,n}(-1)^k3^{n}\frac{(n+3k)!}{k!^3n!}x^{n+3k}&&n\mapsto n+3k\\
&=\sum_{0\leq k}(-1)^k\frac{(3k)!}{k!^3}x^{3k}(1-3x)^{-3k-1}\\
&=\frac 1{1-3x}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{-\frac{27x^3}{(1-3x)^3}}
\end{align}
となる. つまり以下が得られた.
定理1の数列$u_n$に対し,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}u_nx^n&=\frac 1{1-3x}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{-\frac{27x^3}{(1-3x)^3}}
\end{align}
が成り立つ.
明示式
全てのZagier's sporadic sequencesには明示式が知られている. $(A,B,\lambda)$が
\begin{align}
(7,-8,2),(9,27,3),(11,-1,3)
\end{align}
の場合はそれぞれ
Franel数
, 定理1の数列, Apéry数であり, 残りは$(10,9,3)$のとき
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{3k}{2n}
\end{align}
$(12,32,4)$のとき
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}=\sum_{k=0}^n4^{n-2k}\binom n{2k}\binom{2k}k^2
\end{align}
$(17,6,72)$のとき
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^k8^{n-k}\binom nk\sum_{j=0}^n\binom kj^3
\end{align}
と表すことができるようである.
