3φ2の隣接関係式4

前2つの記事( 3φ2の隣接関係式 , 3φ2の隣接関係式3 )で
\begin{align} \phi&:=\phi(a,b,c,d,e)\\ &=\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}} \end{align}
の隣接関係式をいくつか導いた. 今回は実用上の観点から, さらに他の形の$\phi$の隣接関係式も導出しておきたいと思う.

まず, 前の記事 の定理2
\begin{align} &\frac{bc}{de}(a-d)(a-e)(\phi(a-)-\phi)\\ &+(1-a)(1-abcq/de)(\phi(a+)-\phi)+(1-b)(1-c)\phi=0 \end{align}
を用いて, 前の記事 の定理6の3つ目の等式を
\begin{align} (1-a)(\phi(a+)-\phi)-(1-b)(\phi(b+)-\phi)=0 \end{align}
と書き換えてここから$\phi(a+)-\phi$を消去すると, 以下を得る.

次に, 前の記事 の定理6の式を
\begin{align} (c-a/q)(\phi(a-)-\phi)+(1-c)(\phi(a-,c+)-\phi)=0 \end{align}
と書き換えて, 定理1に代入すると
\begin{align} &\frac{bcq(1-c)(a-d)(a-e)}{de(a-cq)}(\phi(a-,c+)-\phi)+(1-b)(1-abcq/de)(\phi(b+)-\phi)\\ &+(1-b)(1-c)\phi=0 \end{align}
を得る. $b,c$を入れ替えて以下を得る.

次に, 前の記事 の定理2において$a,c$を入れ替えたもの
\begin{align} &\frac{ab}{de}(c-d)(c-e)(\phi(c-)-\phi)\\ &+(1-c)(1-abcq/de)(\phi(c+)-\phi)+(1-a)(1-b)\phi=0 \end{align}
を用いて, 定理2の$\phi(c+)$を消去すると, 以下を得る.

これら定理2, 定理3は 前の記事 で示したbalanced${}_4\phi_3$に関する定理6のlimitting caseにもなっている. 次に, 前の記事 の定理5において, 両辺を$d$で割ってから$d=q^{-N},f$以外を固定して$N\to\infty$としてから$g\mapsto d$とすると以下を得る.

ここで, 前の記事 の定理2
\begin{align} &\frac{ac}{de}(b-d)(b-e)(\phi(b-)-\phi)\\ &+(1-b)(1-abcq/de)(\phi(b+)-\phi)+(1-a)(1-c)\phi=0 \end{align}
を用いて$\phi(b+)$を消去すると以下を得る.

次に, 前の記事 の定理7において, 両辺を$f$で割ってから$d=q^{-N},f$を固定して$N\to\infty$すると以下を得る.

\begin{align} &-\frac bq(1-e/b)(1-g/b)(\phi(a,b-,c,e,g)-\phi(a,b,c,e,g))\\ &-(1-e/q)(1-g/a)(\phi(a-,b,c,e-,g)-\phi(a,b,c,e,g))\\ &+\frac{eg}{abcq}(a-b)(1-c)\phi(a,b,c,e,g)=0 \end{align}
$g\mapsto d$として以下を得る.

ここで, 前の記事 の定理2
\begin{align} &\frac{ac}{de}(b-d)(b-e)(\phi(b-)-\phi)\\ &+(1-b)(1-abcq/de)(\phi(b+)-\phi)+(1-a)(1-c)\phi=0 \end{align}
を用いて$\phi(b-)$を消去すると以下を得る.

古典極限

\begin{align} F&=F(a,b,c,d,e)\\ &:=\F32{a,b,c}{d,e}1 \end{align}
として, 前の記事 と同様の記法を用いる. 定理1から定理7までの古典極限は以下のようになる.