3φ2の隣接関係式3

前の記事 で
\begin{align} \phi&:=\phi(a,b,c,d,e)\\ &=\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}} \end{align}
の隣接関係式をいくつか導いた. 今回は実用上の観点から, 他の形の$\phi$の隣接関係式も導出しておきたいと思う. まず,
\begin{align} (1-d/q)\phi(d-)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c;q)_n}{(q,d,e;q)_n}(1-dq^{n-1})\left(\frac{de}{abcq}\right)^n \end{align}
であるから, 以下を得る.

次に, 前の記事 の定理3の1つ目の等式において, $e,f$を$aq/e,aq/f$と置き換えてから$a\to 0$とすると
\begin{align} &b(1-e/b)(1-f/b)\phi(b-,c,d,e,f)\\ &-c(1-e/c)(1-f/c)\phi(b,c-,d,e,f)\\ &-(b-c)(1-ef/bcd)\phi(b,c,d,e,f)=0 \end{align}
となる. 変数を置き換えて以下を得る.

次に, 前の記事 の定理3の1つ目の等式において, 両辺を$aq$で割って$b,c$を$aq/b,aq/c$に置き換えて$a\to 0$とすると,
\begin{align} &\frac{(1-b/d)(1-b/e)(1-b/f)}{b(1-b)}\phi(d,e,f,b+,c)\\ &-\frac{(1-c/d)(1-c/e)(1-c/f)}{c(1-c)}\phi(d,e,f,b,c+)\\ &+\frac{1}{bc}(b-c)(1-bc/def)\phi(d,e,f,b,c)=0 \end{align}
となる. 変数を置き換えて整理して以下を得る.

次に, 前の記事 の定理3の1つ目の等式において, $b,f$を$aq/b,aq/f$に置き換えて$a\to 0$とすると,
\begin{align} &-\frac{f(1-b/d)(1-b/e)}{1-b}\phi(c,d,e,b+,f)\\ &-c(1-f/c)\phi(c-,d,e,b,f)\\ &+c(1-bf/cde)\phi(c,d,e,b,f)=0 \end{align}
となる. 変数を置き換えて整理して以下を得る.

前の記事 の定理6の1つ目の等式は$a\mapsto aq$とすると
\begin{align} (1-a)(c-b)\phi(a+)+(1-b)(a-c)\phi(b+)+(1-c)(b-a)\phi(c+)=0 \end{align}
と書き換えることができる. これを
\begin{align} &(1-a)(c-b)(\phi(a+)-\phi)+(1-b)(a-c)(\phi(b+)-\phi)\\ &+(1-c)(b-a)(\phi(c+)-\phi)=0 \end{align}
と書き換えて, これに$-(1-abcq/de)$を掛けて各項を 前の記事 の定理2で書き換えると,
\begin{align} 0&=(c-b)\left(\frac{bc}{de}(a-d)(a-e)(\phi(a-)-\phi)+(1-b)(1-c)\phi\right)\\ &+(a-c)\left(\frac{ac}{de}(\phi(b-)-\phi)+(1-a)(1-c)\phi\right)\\ &+(b-a)\left(\frac{ab}{de}\phi(c-)-(1-a)(1-b)\phi\right)\\ &=\frac{bc(c-b)}{de}(a-d)(a-e)\phi(a-)\\ &+\frac{ac(a-c)}{de}(b-d)(b-e)\phi(b-)\\ &+\frac{ab(b-a)}{de}(c-d)(c-e)\phi(c-) \end{align}
を得る. よって以下を得る.

前の記事 の定理6の2つ目の等式は$e\mapsto e/q$とすると,
\begin{align} (1-a)(e/q-b)\phi(a+)-(1-b)(e/q-a)\phi(b+)=(a-b)(1-e/q)\phi(e-) \end{align}
と書き換えられる. これを
\begin{align} &(1-a)(e/q-b)(\phi(a+)-\phi)-(1-b)(e/q-a)(\phi(b+)-\phi)\\ &=(a-b)(1-e/q)(\phi(e-)-\phi) \end{align}
と書き換えて, 両辺に$-(1-abcq/de)$を掛けて 前の記事 の定理2, 定理4を用いると,
\begin{align} &(e/q-b)\left(\frac{bc}{de}(a-d)(a-e)(\phi(a-)-\phi)+(1-b)(1-c)\phi\right)\\ &-(e/q-a)\left(\frac{ac}{de}(b-d)(b-e)(\phi(b-)-\phi)+(1-a)(1-c)\phi\right)\\ &=-\frac{a-b}{e(1-e)}((a-e)(b-e)(c-e)(\phi(e+)-\phi)-e(1-a)(1-b)(1-c)\phi) \end{align}
これを整理すると
\begin{align} &bc(e-bq)(a-d)(a-e)\phi(a-)\\ &-ac(e-aq)(b-d)(b-e)\phi(b-)\\ &+\frac{dq}{1-e}(a-b)(a-e)(b-e)(c-e)\phi(e+)\\ &-abce(1-q)(a-b)(1-de/abc)\phi\\ &=0 \end{align}
を得る. ここで上の定理2の$b,c$を$a,b$とした式
\begin{align} &a(1-d/a)(1-e/a)\phi(a-)\\ &-b(1-d/b)(1-e/b)\phi(b-)-(a-b)(1-de/abc)\phi=0 \end{align}
を用いて, $\phi$を消去すると,
\begin{align} 0&=bc(e-bq)(a-d)(a-e)\phi(a-)\\ &-ac(e-aq)(b-d)(b-e)\phi(b-)\\ &+\frac{dq}{1-e}(a-b)(a-e)(b-e)(c-e)\phi(e+)\\ &-abce(1-q)(a(1-d/a)(1-e/a)\phi(a-)-b(1-d/b)(1-e/b)\phi(b-))\\ &=bc(e-bq)(a-d)(a-e)\phi(a-)\\ &-ac(e-aq)(b-d)(b-e)\phi(b-)\\ &+\frac{dq}{1-e}(a-b)(a-e)(b-e)(c-e)\phi(e+)\\ &-bce(1-q)(a-d)(a-e)\phi(a-)+ace(1-q)(b-d)(b-e)\phi(b-)\\ &=bcq(e-b)(a-d)(a-e)\phi(a-)\\ &-acq(e-a)(b-d)(b-e)\phi(b-)\\ &+\frac{dq}{1-e}(a-b)(a-e)(b-e)(c-e)\phi(e+) \end{align}
となる. つまり, 以下を得る.

定理6の式で$b\mapsto bq$とすると,
\begin{align} &bcq(a-d)(1-e)\phi(a-,b+)-ac(bq-d)(1-e)\phi\\ &-d(a-bq)(c-e)\phi(b+,e+)=0 \end{align}
変数を入れ替えて
\begin{align} &acq(b-e)(1-d)\phi(a+,b-)-bc(aq-e)(1-d)\phi\\ &-e(b-aq)(c-d)\phi(a+,d+)=0 \end{align}
も得られる. これらはそれぞれ
\begin{align} &bcq(a-d)(1-e)(\phi(a-,b+)-\phi)\\ &=d(a-bq)(c-e)\phi(b+,e+)-cd(a-bq)(1-e)\phi\\ &acq(b-e)(1-d)(\phi(a+,b-)-\phi)\\ &=e(b-aq)(c-d)\phi(a+,d+)-ce(b-aq)(1-d)\phi \end{align}
と書き換えられる. 前の記事 の定理1の両辺に$cq$を掛けた等式
\begin{align} &bcq(1-b)(a-d)(a-e)(aq-b)(\phi(a-,b+)-\phi)\\ &-acq(1-a)(b-d)(b-e)(bq-a)(\phi(a+,b-)-\phi)\\ &+de(b-a)(1-c)(aq-b)(bq-a)\phi=0 \end{align}
にこれらを代入すると,
\begin{align} &\frac{(1-b)(a-e)(aq-b)}{1-e}(d(a-bq)(c-e)\phi(b+,e+)-cd(a-bq)(1-e)\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)(bq-a)}{1-d}(e(b-aq)(c-d)\phi(a+,d+)-ce(b-aq)(1-d)\phi)\\ &+de(b-a)(1-c)(aq-b)(bq-a)\phi=0 \end{align}
つまり,
\begin{align} &\frac{(1-b)(a-e)}{e(1-e)}((c-e)\phi(b+,e+)-c(1-e)\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)}{d(1-d)}((c-d)\phi(a+,d+)-c(1-d)\phi)\\ &-(b-a)(1-c)\phi=0 \end{align}
を得る. これは

\begin{align} 0&=\frac{(1-b)(a-e)(c-e)}{e(1-e)}\phi(b+,e+)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)(c-d)}{d(1-d)}\phi(a+,d+)\\ &-\left((b-a)(1-c)+\frac{c(1-b)(a-e)}e-\frac{c(1-a)(b-d)}{d}\right)\phi\\ &=\frac{(1-b)(a-e)(c-e)}{e(1-e)}\phi(b+,e+)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)(c-d)}{d(1-d)}\phi(a+,d+)\\ &-\left(b-a+\frac{ac(1-b)}e-\frac{bc(1-a)}{d}\right)\phi \end{align}
と書き換えられる. つまり以下を得る.

Gasper-Rahmanの本によれば, この結果はLassalleの1999年の論文でも与えられているようである.

次に定理7を導く過程の式から
\begin{align} &\frac{(1-b)(a-e)}{e(1-e)}((c-e)\phi(b+,e+)-c(1-e)\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)}{d(1-d)}((c-d)\phi(a+,d+)-c(1-d)\phi)\\ &-(b-a)(1-c)\phi=0 \end{align}
定理7は
\begin{align} &\frac{(1-b)(a-e)(c-e)}{e(1-e)}(\phi(b+,e+)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)(c-d)}{d(1-d)}(\phi(a+,d+)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(d-e)}{(1-d)(1-e)}\phi=0 \end{align}
と書き換えられることが分かる. ここで, 前の記事 の定理3を用いて$\phi(b+,e+),\phi(a+,d+)$を消去すると,
\begin{align} 0&=\frac{ac}{de(1-e)}\bigg(bq(1-e/q)(1-e)(1-d/b)(\phi(b-,e-)-\phi)\\ &\qquad+\frac{bde}{ac}(1-e/b)(1-a)(1-c)\phi\bigg)\\ &-\frac{bc}{de(1-d)}\bigg(aq(1-d/q)(1-d)(1-e/a)(\phi(a-,d-)-\phi)\\ &\qquad+\frac{ade}{bc}(1-d/a)(1-b)(1-c)\phi\bigg)\\ &-\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(d-e)}{(1-d)(1-e)}\phi\\ &=\frac{abcq}{de}(1-e/q)(1-d/b)(\phi(b-,e-)-\phi)\\ &-\frac{abcq}{de}(1-d/q)(1-e/a)(\phi(a-,d-)-\phi)\\ &-(a-b)(1-c)\phi \end{align}
つまり 以下を得る.

古典極限

\begin{align} F&=F(a,b,c,d,e)\\ &=\F32{a,b,c}{d,e}1 \end{align}
として 前の記事 と同様の記法を用いる. 定理1から定理8までの古典極限は以下のようになる.

定理7の古典極限は
\begin{align} &\frac{(1-b)(a-e)(c-e)}{e(1-e)}(\phi(b+,e+)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-d)(c-d)}{d(1-d)}(\phi(a+,d+)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(d-e)}{(1-d)(1-e)}\phi=0 \end{align}
の形から考えると, 以下のようになることが分かる.
\begin{align} &\frac{b(a-e)(c-e)}{e}(F(b+,e+)-F)\\ &-\frac{a(b-d)(c-d)}{d}(F(a+,d+)-F)\\ &+\frac{abc(d-e)}{de}F=0 \end{align}
これを整理すると, 以下を得る.