あるApéry数の類似について2
前の記事
でAndrewsの恒等式から次のような関係式を示した.
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\left(1+5(n-2k)\sum_{j=1}^k\frac 1j\right)\binom nk^5&=(-1)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\\
\sum_{0\leq k}\left(1+6(n-2k)\sum_{j=1}^k\frac 1j\right)\binom nk^6&=(-1)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\sum_{j=0}^k\binom{n+k-j}{n}\binom{n}j^2
\end{align}
1つ目の等式の右辺に現れている
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k
\end{align}
は$\zeta(2)$の無理性に関連するApéry数である. その類似として, 今回は下の等式に現れている
\begin{align}
a_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\sum_{j=0}^k\binom{n+k-j}{n}\binom{n}j^2
\end{align}
という整数列について考えたいと思う.
シンプルな級数表示
上の$a_n$の定義は整数であることが分かるという利点があるが, 二重超幾何級数による表示になっている. しかし, $a_n$はよりシンプルで整数であることも分かるような${}_4F_3$で表すことができることを以下で述べる.
前の記事
で示した等式は
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k^2}{k!^2}\sum_{j=0}^k\frac{(a)_j^2(1-a)_{k-j}}{j!^2(k-j)!}&=\frac{\pi}{\sin\pi a}\sum_{0\leq n}(2n+a)\left(\frac{(a)_n}{n!}\right)^6\\
&=\frac{\pi a}{\sin\pi a}\F76{a,1+\frac a2,a,a,a,a,a}{\frac a2,1,1,1,1,1}1
\end{align}
と表される. ここで,
non-terminating Whippleの変換公式
より
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac a2,a,a,a,a,a}{\frac a2,1,1,1,1,1}1\\
&=\frac{\Gamma(1-2a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)^3}\F43{1-a,a,a,a}{1,1,2a}1\\
&\qquad+\frac{\Gamma(2a-1)\Gamma(2-3a)}{\Gamma(a)^3\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(2-2a)^2}\F43{2-3a,1-a,1-a,1-a}{2-2a,2-2a,2-2a}{1}
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a)_k^2}{k!^2}\sum_{j=0}^k\frac{(a)_j^2(1-a)_{k-j}}{j!^2(k-j)!}&=\frac{\Gamma(1-2a)}{\Gamma(1-a)^2}\F43{1-a,a,a,a}{1,1,2a}1\\
&\qquad+\frac{\Gamma(2a-1)\Gamma(2-3a)}{\Gamma(a)^3\Gamma(2-2a)^2}\F43{2-3a,1-a,1-a,1-a}{2-2a,2-2a,2-2a}{1}
\end{align}
ここで, $a\to -n$とすると, 第2項は$0$に収束し,
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\sum_{j=0}^k\binom{n+k-j}{n}\binom{n}j^2\\
&=\binom{2n}n\F43{n+1,-n,-n,-n}{1,1,-2n}1\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!(2n-k)!}{k!^3(n-k)!^3}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2n-k}n\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2n-k}n\\
\end{align}
を得る. 次に,
Whippleの${}_4F_3$変換公式
より
\begin{align}
\F43{-n,-n,-n,n+1}{1,1,-2n}1&=\frac{(2n+2)_n}{(-2n)_n}\F43{n+1,n+1,n+1,-n}{1,1,2n+2}1\\
&=(-1)^n\frac{n!(3n+1)!}{(2n)!(2n+1)!}\F43{n+1,n+1,n+1,-n}{1,1,2n+2}1\\
\end{align}
であることから,
\begin{align}
a_n&=(-1)^n\frac{(3n+1)!}{n!(2n+1)!}\F43{n+1,n+1,n+1,-n}{1,1,2n+2}1\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n+k}k^3\binom{3n+1}{n-k}
\end{align}
を得る. また,
前の記事
の系4より,
\begin{align}
\F43{-n,-n,-n,n+1}{1,1,-2n}1&=\binom{2n}n\F43{-n,-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,-2n,\frac 12-n}1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
a_n&=\binom{2n}n^2\F43{-n,-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,-2n,\frac 12-n}1\\
&=\frac{(2n)!^2}{n!^4}\sum_{k=0}^n\binom nk^2\frac{(-n)_k(-n)_{2k}}{\left(-2n\right)_k(-2n)_{2k}}\\
&=\frac{1}{n!^2}\sum_{k=0}^n\binom nk^2\frac{(2n-k)!(2n-2k)!}{(n-k)!(n-2k)!}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2n-k}{n-k}\binom{2n-2k}{n}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2k}n
\end{align}
を得る. まとめると以下を得る.
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2n-k}n\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n+k}k^3\binom{3n+1}{n-k}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k\binom{2k}n
\end{align}
が成り立つ.
対称的な二重級数表示
Whippleの${}_7F_6$変換公式より
\begin{align}
\F76{\frac 12,\frac 54,-\frac n2,\frac{1-n}2,-n,\frac 12,n+1}{\frac 14,\frac{2+n}2,\frac{3+n}2,\frac 32+n,1,\frac 12-n}1&=\frac{\left(\frac 32,1+n\right)_n}{\left(\frac{2+n}2,\frac{3+n}2\right)_n}\F43{-n,-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n,-2n}1\\
&=\frac{(n+1)!(2n+1)!}{(3n+1)!}\binom{2n}n\F43{-n,-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n,-2n}1\\
&=\frac{(n+1)!(2n+1)!}{(3n+1)!}a_n
\end{align}
である. 一方,
前の記事
の系2において, $a=1, b=c=d=-n$とすると,
\begin{align}
\frac{(3n+1)!}{(n+1)!(2n+1)!}\F76{\frac 12,\frac 54,-\frac n2,\frac{1-n}2,-n,\frac 12,1+n}{\frac 14,\frac{2+n}2,\frac{3+n}2,\frac{3}2+n,1,\frac 12-n}1&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{(-2n)_k}\sum_{j=0}^k\binom{n}j^2\binom{n}{k-j}^2\\
&=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom{n}j^2\binom{n}{k}^2\binom{2n-j-k}{n}\\
&=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom{n}j^2\binom{n}{k}^2\binom{j+k}{n}
\end{align}
を得る. これらを合わせると以下の表示を得る.
\begin{align} a_n&=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom{n}j^2\binom{n}{k}^2\binom{j+k}{n} \end{align}
漸化式
定理1の${}_4F_3$によるいずれかの表示にZeilbergerのアルゴリズムを用いると以下の漸化式を得ることができる.
$0\leq n$に対し,
\begin{align}
(n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(13n^2+13n+4)a_n-3n(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0
\end{align}
が成り立つ. ただし形式的に$a_{-1}:=0$とする.
定理1より, $a_n$はterminating balanced${}_4F_3$で表されているので原理的には隣接関係式から3項漸化式を満たすことが分かる. しかし, どの表示も$n$に依存する変数の数が多いので, 隣接関係式からシンプルに漸化式を導くのは簡単ではなさそうである.
定理3の漸化式はApéry数の場合のように$n\mapsto -n-1$に関する対称性がないように見えるが, 定理1の等式
\begin{align}
\F43{-n,-n,-n,n+1}{1,1,-2n}1&=(-1)^n\frac{n!(3n+1)!}{(2n)!(2n+1)!}\F43{n+1,n+1,n+1,-n}{1,1,2n+2}1\\
\end{align}
の表示がそのような対称性を与えており, 階乗が掛かっているために対称性が見えにくくなっているようである.
