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Andrewsの恒等式2

前回の記事でBailey対によりAndrewsの恒等式を示した. 今回は $q \to 1$ における場合を考える. 以下, $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ -Bailey対と言ったときは
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(n - k)! (a + 1)_{n + k}} \end{array}$
を満たすこととする. 前回の記事の定理1, 定理2は $q \to 1$ においてそれぞれ次のようになる.

$N$ が非負整数, $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ -Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (b_{1}, \dots, b_{r}, c_{1}, \dots, c_{r}, - N)_{n}}{(1 + a - b_{1}, \dots, 1 + a - b_{r}, 1 + a - c_{1}, \dots, 1 + a - c_{r}, 1 + a + N)_{n}} α_{n} \\ = \frac{(1 + a, 1 + a - b_{r} - c_{r})_{N}}{(1 + a - b_{r}, 1 + a - c_{r})_{N}} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(- N)_{n_{r}}}{(b_{r} + c_{r} - N - a)_{n_{r}}} \\ \cdot (\prod_{j = 2}^{r} \frac{(b_{j}, c_{j})_{n_{j}}}{(1 + a - b_{j - 1}, 1 + a - c_{j - 1})_{n_{j}}} \frac{(1 + a - b_{j - 1} - c_{j - 1})_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(n_{j} - n_{j - 1})!}) (b_{1}, c_{1})_{n_{1}} β_{n_{1}} \end{aligned}$
が成り立つ.

$N, r$ が非負整数であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a + 2 n) (a, b_{1}, \dots, b_{r + 1}, c_{1}, \dots, c_{r + 1}, - N)_{n}}{a (1 + a - b_{1}, \dots, 1 + a - b_{r + 1}, 1 + a - c_{1}, \dots, 1 + a - c_{r + 1}, 1 + a + N)_{n} n!} \\ = \frac{(1 + a, 1 + a - b_{r + 1} - c_{r + 1})_{N}}{(1 + a - b_{r + 1}, 1 + a - c_{r + 1})_{N}} \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(- N)_{n_{r}}}{(b_{r + 1} + c_{r + 1} - N - a)_{n_{r}}} \\ \cdot \prod_{j = 1}^{r} \frac{(b_{j + 1}, c_{j + 1})_{n_{j}}}{(1 + a - b_{j}, 1 + a - c_{j})_{n_{j}}} \frac{(1 + a - b_{j} - c_{j})_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(n_{j} - n_{j - 1})!} \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1から定理2を導出する場合は, $a$ -Bailey対
$\begin{aligned} α_{n} & := \frac{a + 2 n}{a} \frac{(a)_{n}}{n!} (- 1)^{n} \\ β_{n} & := δ_{n, 0} \end{aligned}$
を用いれば良い. 定理2の例として, $r = 0, 1$ の場合は $q$ 類似の場合と同じように古典的な超幾何級数の和公式, 変換公式になる. $r = 2$ の場合, $(b_{1}, c_{1}, b_{2}, c_{2}, b_{3}, c_{3}) = (b, c, d, e, f, g)$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a + 2 n) (a, b, c, d, e, f, g, - N)_{n}}{a (1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d, 1 + a - e, 1 + a - f, 1 + a - g, 1 + a + N)_{n} n!} \\ = \frac{(1 + a, 1 + a - f - g)_{N}}{(1 + a - f, 1 + a - g)_{N}} \sum_{0 \leq n \leq m} \frac{(f, g, - N)_{m}}{(1 + a - d, 1 + a - e, f + g - N - a)_{m}} \\ \cdot \frac{(1 + a - d - e)_{m - n}}{(m - n)!} \frac{(1 + a - b - c, d, e)_{n}}{(1 + a - b, 1 + a - c)_{n} n!} \end{aligned}$
となる. 定理2において $N \to \infty$ とすると以下のようになる.

$r$ が非負整数であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (a + 2 n) (a, b_{1}, \dots, b_{r + 1}, c_{1}, \dots, c_{r + 1})_{n}}{a (1 + a - b_{1}, \dots, 1 + a - b_{r + 1}, 1 + a - c_{1}, \dots, 1 + a - c_{r + 1})_{n} n!} \\ = \frac{Γ (1 + a - b_{r + 1}) Γ (1 + a - c_{r + 1})}{Γ (1 + a) Γ (1 + a - b_{r + 1} - c_{r + 1})} \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{(b_{j + 1}, c_{j + 1})_{n_{j}}}{(1 + a - b_{j}, 1 + a - c_{j})_{n_{j}}} \frac{(1 + a - b_{j} - c_{j})_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(n_{j} - n_{j - 1})!} \end{aligned}$
が成り立つ.

具体例として, 全ての $b_{i}, c_{i}$ を $a$ とした場合と, $c_{1} \to \infty$ として他の $b_{i}, c_{i}$ を $a$ とした場合
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} (2 n + a) {(\frac{(a)_{n}}{n!})}^{2 r + 3} & = \frac{\sin π a}{π} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{(a)_{n_{j}}^{2}}{n_{j}!^{2}} \frac{(1 - a)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(n_{j} - n_{j - 1})!} \\ \sum_{0 \leq n} (2 n + a) {(\frac{(a)_{n}}{n!})}^{2 r + 2} & = \frac{\sin π a}{π} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(a)_{n_{1}}^{2}}{n_{1}!^{2}} \prod_{j = 2}^{r} \frac{(a)_{n_{j}}^{2}}{n_{j}!^{2}} \frac{(1 - a)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(n_{j} - n_{j - 1})!} (r > 0) \end{aligned}$
となる. さらに, $N$ を非負整数として, 両辺を $a$ に関して偏微分してから $a \to - N$ として整理すると, これらは
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{2 r + 3} & = (- 1)^{N} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} {(\binom{N}{n_{j}})}^{2} (\binom{N + n_{j} - n_{j - 1}}{N}) \\ \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{2 r + 2} & = (- 1)^{N} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} {(\binom{N}{n_{1}})}^{2} \prod_{j = 2}^{r} {(\binom{N}{n_{j}})}^{2} (\binom{N + n_{j} - n_{j - 1}}{N}) (r > 0) \end{aligned}$
と表せる. 表示から分かるように, これらは整数であるが, それは左辺の表示からは明らかではなく, 2007年にKrattenthaler-Rivoalによって証明された. $r = 0, 1, 2$ のとき, これらは
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{3} & = (- 1)^{N} \\ \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{4} & = (- 1)^{N} \sum_{n = 0}^{N} {(\binom{N}{n})}^{2} = (- 1)^{N} (\binom{2 N}{N}) \\ \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{5} & = (- 1)^{N} \sum_{n = 0}^{N} {(\binom{N}{n})}^{2} (\binom{N + n}{n}) \\ \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{6} & = (- 1)^{N} \sum_{n = 0}^{N} {(\binom{N}{n})}^{2} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{N + n - k}{N}) {(\binom{N}{k})}^{2} \\ \sum_{0 \leq n} (1 + (N - 2 n) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) {(\binom{N}{n})}^{7} & = (- 1)^{N} \sum_{n = 0}^{N} {(\binom{N}{n})}^{2} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{N + n - k}{N}) {(\binom{N}{k})}^{2} (\binom{N + k}{k}) \end{aligned}$
となる. 3行目の
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{N} {(\binom{N}{n})}^{2} (\binom{N + n}{n}) \end{array}$
はApéry数と呼ばれているものであり, 特によく研究されている数列である. 他の例として子葉さんの記事, 数列のルジャンドル変換とアペリー数列においてもAndrewsの恒等式の応用が書かれている.