数列のルジャンドル変換とアペリー数列

　以下簡単のため
$$d_{n,k}=\binom{2n}{n+k}-\binom{2n}{n+k+1}$$
とおく。いま
$$\binom nk\binom{n+k}k=\frac{(n+k)!}{(n-k)!(k!)^2}=\binom{n+k}{2k}\binom{2k}k$$
が成り立つことに注意して$\binom{2n}nb_n$を再び$b_n$とおくことで
$$a_n=\sum^n_{k=0}\binom{n+k}{2k}b_k\quad\iff\quad b_n=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}d_{n,k}a_k$$
が成り立つことを示せばよい。
　特に多項式列$f_n(x)$を
$$f_n(x)=\sum^n_{k=0}\binom{n+k}{2k}x^k$$
によって定めたとき
$$x^n=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}d_{n,k}f_k(x)$$
が成り立つことを確かめればよい。
　そしてそれは$f_n(x)$が
\begin{align} f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x) &=\sum^{n+1}_{k=0}\binom{n+k}{2k}\l(\frac{n+k+1}{n-k+1}+\frac{n-k}{n+k}\r)x^k\\ &=\sum^{n+1}_{k=0}\binom{n+k}{2k}\l(\frac{2k(2k-1)}{(n-k+1)(n+k)}+2\r)x^k\\ &=(x+2)f_n(x) \end{align}
を満たすことから
\begin{align} x^{n+1} &=(x+2)x^n-2x^n\\ &=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}d_{n,k}(f_{k+1}(x)+f_{k-1}(x)-2f_k(x))\\ &=\sum^{n+1}_{k=0}(-1)^{n-k+1}(d_{n,k-1}+2d_{n,k}+d_{n,k+1})f_k(x)\\ &=\sum^{n+1}_{k=0}(-1)^{n-k+1}(\binom{2n}{n+k-1}+\binom{2n}{n+k}-\binom{2n}{n+k+1}-\binom{2n}{n+k+2})f_k(x)\\ &=\sum^{n+1}_{k=0}(-1)^{n-k+1}(\binom{2n+1}{n+k}+\binom{2n+1}{n+k+1}-\binom{2n+1}{n+k+1}-\binom{2n+1}{n+k+2})f_k(x)\\ &=\sum^{n+1}_{k=0}(-1)^{n-k+1}(\binom{2n+2}{n+k+1}-\binom{2n+2}{n+k+2})f_k(x)\\ &=\sum^{n+1}_{k=0}(-1)^{n-k+1}d_{n+1,k}f_k(x) \end{align}
を得る。

$$t_{n,j}^{(r)}=\sum^n_{k=j}(-1)^{n-k}d_{n,k}\binom{k+j}{k-j}^r$$
とおくと、これは超幾何級数を用いて
\begin{align} t_{n,j}^{(r)} &=\sum^n_{k=j}(-1)^{n-k}\frac{2k+1}{n+k+1}\binom{2n}{n-k}\binom{k+j}{k-j}^r\\ &=\sum^{n-j}_{k=0}(-1)^k\frac{2n-2k+1}{2n-k+1}\binom{2n}k\binom{n-k+j}{n-k-j}^r\\ &=\binom{n+j}{n-j}^r\cdot{}_{r+2}F_{r+1}\l(\begin{array}{r} -(2n+1),-\frac12(2n-1),-(n-j),\ldots,-(n-j)\\ -\frac12(2n+1),-(n+j),\ldots,-(n+j) \end{array};1\r) \end{align}
と表せる。
　またAndrewの変換公式
\begin{align} &{}_{2s+3}F_{2s+2}\l(\begin{array}{cccccccc} a,&1+\tfrac12a,&b_1,&c_1,&\ldots,&b_s&c_s&-m\\ &\tfrac12a,&1+a-b_1,&1+a-c_1,&\ldots,&1+a-b_s,&1+a-c_s,&1+a+m \end{array};1\r)\\ ={}&\frac{(1+a)_m(1+a-b_s-c_s)_m}{(1+a-b_s)_m(1+a-c_s)_m}\\ &\times\sum_{l_1}\frac{(1+a-b_1-c_1)_{l_1}(b_2)_{l_1}(c_2)_{l_1}}{(1)_{l_1}(1+a-b_1)_{l_1}(1+a-c_1)_{l_1}}\\ &\times\sum_{l_2}\frac{(1+a-b_2-c_2)_{l_2}(b_3)_{l_1+l_2}(c_3)_{l_1+l_2}}{(1)_{l_2}(1+a-b_2)_{l_1+l_2}(1+a-c_2)_{l_1+l_2}}\cdots\\ &\times\sum_{l_{s-1}}\frac{(1+a-b_{s-1}-c_{s-1})_{l_{s-1}}(b_s)_{l_1+\cdots+l_{s-1}}(c_s)_{l_1+\cdots+l_{s-1}}}{(1)_{l_{s-1}}(1+a-b_{s-1})_{l_1+\cdots+l_{s-1}}(1+a-c_{s-1})_{l_1+\cdots+l_{s-1}}}\\ &\qquad\times\frac{(-m)_{l_1+\cdots+l_{s-1}}}{(b_s+c_s-a-m)_{l_1+\cdots+l_{s-1}}} \end{align}
を用いると

$r=2s$のとき

　$a=-(2n+1),b=-n$および
$$c_1=b_2\cdots=b_s=c_s=-m=-(n-j)$$
とし、また$k_i=n-(l_1+l_2+\cdots+l_i)$と変数変換することで
\begin{align} \binom{2n}n^{-1}\binom{2j}jt_n^{(2s)} =\binom nj &\sum_{k_1}\binom j{n-k_1}\binom{k_1}j\binom{k_1+j}{k_1-j}\\ &\times\sum_{k_2}\binom{2j}{k_1-k_2}\binom{k_2+j}{k_2-j}\cdots\\ &\times\sum_{k_{s-1}}\binom{2j}{k_{s-2}-k_{s-1}}\binom{k_{s-1}+j}{k_{s-1}-j} \cdot\binom{2j}{k_{s-1}-j} \end{align}
が得られる。

$r=2s+1$のとき

　$a=-(2n+1)$および
$$b_1=c_1=\cdots=b_s=c_s=-m=-(n-j)$$
とし、また$k_i=n-(l_1+l_2+\cdots+l_i)$と変数変換することで
\begin{align} \binom{2n}n^{-1}\binom{2j}jt_n^{(2s+1)} =\binom nj^2 &\sum_{k_1}\binom{2j}{n-k_1}\binom{k_1+j}{k_1-j}^2\\ &\times\sum_{k_2}\binom{2j}{k_1-k_2}\binom{k_2+j}{k_2-j}\cdots\\ &\times\sum_{k_{s-1}}\binom{2j}{k_{s-2}-k_{s-1}}\binom{k_{s-1}+j}{k_{s-1}-j} \cdot\binom{2j}{k_{s-1}-j} \end{align}
が得られる。

まとめ

　そして
$$c_n^{(r)}=\sum^n_{j=0}\binom{2j}j^{r-1}\cdot\binom{2n}n^{-1}\binom{2j}jt_n^{(r)}$$
であったことから主張を得る。