文献あり

数列のルジャンドル変換とアペリー数列

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はじめに

　この記事は日曜数学 Advent Calendar 2024 の22日目の記事となります。

　12/22といえばかの稀代の数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンの誕生日です。
ラマヌジャンの肖像
ちなみに1222は私のMathlogのユーザーID (https://mathlog.info/users/1222/articles)でもあります。運命的ですね。

　というわけでこの記事では筆者がラマヌジャン・佐藤級数について調べていた時に出会った
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) b_{k}$
という形の数列の変換：ルジャンドル変換と
$\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} {(\binom{n + k}{k})}^{2} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) \sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k}{j})}^{3}$
という等式に関する話題を簡単に紹介していきます。

ルジャンドル変換

　二項係数やスターリング数による変換公式
$\begin{array}{rcl} a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} & ⟺ & b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) a_{k} \\ a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {\binom{n}{k}} b_{k} & ⟺ & b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} [\binom{n}{k}] a_{k} \end{array}$
に代表されるように
$\sum_{k = m}^{n} c_{n, k} d_{k, m} = \sum_{k = m}^{n} d_{n, k} c_{k, m} = {\begin{array}{cl} 1 & (n = m) \\ 0 & (n \neq m) \end{array}$
を満たす二重数列の組 $c_{n, k}, d_{n, k}$ を用いた変換公式
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} c_{n, k} b_{k} ⟺ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} d_{n, k} a_{k}$
は数多く知られていますが、その中の一つとしてルジャンドル変換というものがあります。

ルジャンドル変換と逆変換

　数列 $a_{n}, b_{n}$ に対し
$\begin{aligned} a_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) b_{k} \\ ⟺ (\binom{2 n}{n}) b_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} ((\binom{2 n}{n + k}) - (\binom{2 n}{n + k + 1})) a_{k} \end{aligned}$
が成り立つ。

証明(概略)

　以下簡単のため
$d_{n, k} = (\binom{2 n}{n + k}) - (\binom{2 n}{n + k + 1})$
とおく。いま
$(\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) = \frac{(n + k)!}{(n - k)! (k!)^{2}} = (\binom{n + k}{2 k}) (\binom{2 k}{k})$
が成り立つことに注意して $(\binom{2 n}{n}) b_{n}$ を再び $b_{n}$ とおくことで
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + k}{2 k}) b_{k} ⟺ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} a_{k}$
が成り立つことを示せばよい。
　特に多項式列 $f_{n} (x)$ を
$f_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + k}{2 k}) x^{k}$
によって定めたとき
$x^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} f_{k} (x)$
が成り立つことを確かめればよい。
　そしてそれは $f_{n} (x)$ が
$\begin{aligned} f_{n + 1} (x) + f_{n - 1} (x) & = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + k}{2 k}) (\frac{n + k + 1}{n - k + 1} + \frac{n - k}{n + k}) x^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + k}{2 k}) (\frac{2 k (2 k - 1)}{(n - k + 1) (n + k)} + 2) x^{k} \\ = (x + 2) f_{n} (x) \end{aligned}$
を満たすことから
$\begin{aligned} x^{n + 1} & = (x + 2) x^{n} - 2 x^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} (f_{k + 1} (x) + f_{k - 1} (x) - 2 f_{k} (x)) \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (- 1)^{n - k + 1} (d_{n, k - 1} + 2 d_{n, k} + d_{n, k + 1}) f_{k} (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (- 1)^{n - k + 1} ((\binom{2 n}{n + k - 1}) + (\binom{2 n}{n + k}) - (\binom{2 n}{n + k + 1}) - (\binom{2 n}{n + k + 2})) f_{k} (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (- 1)^{n - k + 1} ((\binom{2 n + 1}{n + k}) + (\binom{2 n + 1}{n + k + 1}) - (\binom{2 n + 1}{n + k + 1}) - (\binom{2 n + 1}{n + k + 2})) f_{k} (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (- 1)^{n - k + 1} ((\binom{2 n + 2}{n + k + 1}) - (\binom{2 n + 2}{n + k + 2})) f_{k} (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (- 1)^{n - k + 1} d_{n + 1, k} f_{k} (x) \end{aligned}$
を得る。

　 Wolfram MathWorld の該当記事がペラペラであることからも察せられるように、ルジャンドル変換という概念自体が何か興味深い理論を携えているわけではなさそうですが、アペリー数列
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} {(\binom{n + k}{k})}^{2}$
とルジャンドル変換には少し面白い関わりがあるようです。
　以下でそのことについて見てみましょう。

アペリー数列とルジャンドル変換

　いま整数列 $a_{n}$ に対し
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) b_{k}$
なる数列 $b_{n}$ を取ったとき
$(\binom{2 n}{n}) b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} ((\binom{2 n}{n + k}) - (\binom{2 n}{n + k + 1})) a_{k}$
の右辺は整数の和であるので $(\binom{2 n}{n}) b_{n}$ も整数となることが言えますが、 $b_{n}$ 自身が整数になるかどうかは分かりません。
　そんな中Schmidt(1993)において次の予想が立てられました。

　 $r \geq 2$ に対し
$\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{r} {(\binom{n + k}{k})}^{r} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) c_{k}^{(r)}$
によって定まる数列 $c_{n}^{(r)}$ を考えると、これは常に整数となる。

　見た目だけだと左辺の ${(\binom{n}{k})}^{r - 1} {(\binom{n + k}{k})}^{r - 1}$ の部分が $c_{k}^{(r)}$ に置き換わっているだけなので何となく成り立ちそうな気もしますが、いざ示そうと思うと全く方針が立たなさそうな感じもします。
　とりあえず
$d_{n, k} = (\binom{2 n}{n + k}) - (\binom{2 n}{n + k + 1})$
とおいて実際に逆変換の公式から $c_{k}^{(r)}$ を取り出してみると
$\begin{aligned} (\binom{2 n}{n}) c_{n}^{(r)} & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} \sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k}{j})}^{r} {(\binom{k + j}{j})}^{r} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} \sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k + j}{k - j})}^{r} {(\binom{2 j}{j})}^{r} \\ = \sum_{j = 0}^{n} {(\binom{2 j}{j})}^{r} \sum_{k = j}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} {(\binom{k + j}{k - j})}^{r} \end{aligned}$
と表せることがわかります。
　そして実は $r = 2, 3$ においてはこの
$\sum_{k = j}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} {(\binom{k + j}{k - j})}^{r}$
の部分は"閉じた形"に表せ、具体的に Zeilbergerのアルゴリズムというものを用いてこれを求めると $c_{n}^{(r)}$ は
$\begin{aligned} c_{n}^{(2)} & = \sum_{j = 0}^{n} {(\binom{n}{j})}^{2} (\binom{2 j}{n}) \\ c_{n}^{(3)} & = \sum_{j = 0}^{n} {(\binom{n}{j})}^{2} {(\binom{2 j}{j})}^{2} (\binom{2 j}{n - j}) \end{aligned}$
のように求まることがわかります(ただし $a < b$ に対しては $(\binom{a}{b}) = 0$ とする)。
　このように $c_{n}^{(2)}, c_{n}^{(3)}$ が明示的に求まり、したがって $r = 2, 3$ においてSchmidtの予想が成り立つことはSchmidt(1995)およびStrehl(1994)により証明され、そして一般の場合も次のような結果が成り立つことがZudilin(2004)によって示されました。

　 $s \geq 2$ に対し
$\begin{aligned} c_{n}^{(2 s)} = \sum_{j} {(\binom{2 j}{j})}^{2 s - 1} (\binom{n}{j}) & \sum_{k_{1}} (\binom{j}{n - k_{1}}) (\binom{k_{1}}{j}) (\binom{k_{1} + j}{k_{1} - j}) \\ \times \sum_{k_{2}} (\binom{2 j}{k_{1} - k_{2}}) (\binom{k_{2} + j}{k_{2} - j}) \dots \\ \times \sum_{k_{s - 1}} (\binom{2 j}{k_{s - 2} - k_{s - 1}}) (\binom{k_{s - 1} + j}{k_{s - 1} - j}) \cdot (\binom{2 j}{k_{s - 1} - j}) \\ c_{n}^{(2 s + 1)} = \sum_{j} {(\binom{2 j}{j})}^{2 s} {(\binom{n}{j})}^{2} & \sum_{k_{1}} (\binom{2 j}{n - k_{1}}) {(\binom{k_{1} + j}{k_{1} - j})}^{2} \\ \times \sum_{k_{2}} (\binom{2 j}{k_{1} - k_{2}}) (\binom{k_{2} + j}{k_{2} - j}) \dots \\ \times \sum_{k_{s - 1}} (\binom{2 j}{k_{s - 2} - k_{s - 1}}) (\binom{k_{s - 1} + j}{k_{s - 1} - j}) \cdot (\binom{2 j}{k_{s - 1} - j}) \end{aligned}$
が成り立つ。特にSchmidtの予想は正しい。

証明(概略)

$t_{n, j}^{(r)} = \sum_{k = j}^{n} (- 1)^{n - k} d_{n, k} {(\binom{k + j}{k - j})}^{r}$
とおくと、これは超幾何級数を用いて
$\begin{aligned} t_{n, j}^{(r)} & = \sum_{k = j}^{n} (- 1)^{n - k} \frac{2 k + 1}{n + k + 1} (\binom{2 n}{n - k}) {(\binom{k + j}{k - j})}^{r} \\ = \sum_{k = 0}^{n - j} (- 1)^{k} \frac{2 n - 2 k + 1}{2 n - k + 1} (\binom{2 n}{k}) {(\binom{n - k + j}{n - k - j})}^{r} \\ = {(\binom{n + j}{n - j})}^{r} \cdot_{r + 2} F_{r + 1} (\begin{array}{r} - (2 n + 1), - \frac{1}{2} (2 n - 1), - (n - j), \dots, - (n - j) \\ - \frac{1}{2} (2 n + 1), - (n + j), \dots, - (n + j) \end{array}; 1) \end{aligned}$
と表せる。
　またAndrewの変換公式
$\begin{aligned} _{2 s + 3} F_{2 s + 2} (\begin{array}{cccccccc} a, & 1 + \frac{1}{2} a, & b_{1}, & c_{1}, & \dots, & b_{s} & c_{s} & - m \\ \frac{1}{2} a, & 1 + a - b_{1}, & 1 + a - c_{1}, & \dots, & 1 + a - b_{s}, & 1 + a - c_{s}, & 1 + a + m \end{array}; 1) \\ = & \frac{(1 + a)_{m} (1 + a - b_{s} - c_{s})_{m}}{(1 + a - b_{s})_{m} (1 + a - c_{s})_{m}} \\ \times \sum_{l_{1}} \frac{(1 + a - b_{1} - c_{1})_{l_{1}} (b_{2})_{l_{1}} (c_{2})_{l_{1}}}{(1)_{l_{1}} (1 + a - b_{1})_{l_{1}} (1 + a - c_{1})_{l_{1}}} \\ \times \sum_{l_{2}} \frac{(1 + a - b_{2} - c_{2})_{l_{2}} (b_{3})_{l_{1} + l_{2}} (c_{3})_{l_{1} + l_{2}}}{(1)_{l_{2}} (1 + a - b_{2})_{l_{1} + l_{2}} (1 + a - c_{2})_{l_{1} + l_{2}}} \dots \\ \times \sum_{l_{s - 1}} \frac{(1 + a - b_{s - 1} - c_{s - 1})_{l_{s - 1}} (b_{s})_{l_{1} + \dots + l_{s - 1}} (c_{s})_{l_{1} + \dots + l_{s - 1}}}{(1)_{l_{s - 1}} (1 + a - b_{s - 1})_{l_{1} + \dots + l_{s - 1}} (1 + a - c_{s - 1})_{l_{1} + \dots + l_{s - 1}}} \\ \times \frac{(- m)_{l_{1} + \dots + l_{s - 1}}}{(b_{s} + c_{s} - a - m)_{l_{1} + \dots + l_{s - 1}}} \end{aligned}$
を用いると

$r = 2 s$ のとき

　 $a = - (2 n + 1), b = - n$ および
$c_{1} = b_{2} \dots = b_{s} = c_{s} = - m = - (n - j)$
とし、また $k_{i} = n - (l_{1} + l_{2} + \dots + l_{i})$ と変数変換することで
$\begin{aligned} {(\binom{2 n}{n})}^{- 1} (\binom{2 j}{j}) t_{n}^{(2 s)} = (\binom{n}{j}) & \sum_{k_{1}} (\binom{j}{n - k_{1}}) (\binom{k_{1}}{j}) (\binom{k_{1} + j}{k_{1} - j}) \\ \times \sum_{k_{2}} (\binom{2 j}{k_{1} - k_{2}}) (\binom{k_{2} + j}{k_{2} - j}) \dots \\ \times \sum_{k_{s - 1}} (\binom{2 j}{k_{s - 2} - k_{s - 1}}) (\binom{k_{s - 1} + j}{k_{s - 1} - j}) \cdot (\binom{2 j}{k_{s - 1} - j}) \end{aligned}$
が得られる。

$r = 2 s + 1$ のとき

　 $a = - (2 n + 1)$ および
$b_{1} = c_{1} = \dots = b_{s} = c_{s} = - m = - (n - j)$
とし、また $k_{i} = n - (l_{1} + l_{2} + \dots + l_{i})$ と変数変換することで
$\begin{aligned} {(\binom{2 n}{n})}^{- 1} (\binom{2 j}{j}) t_{n}^{(2 s + 1)} = {(\binom{n}{j})}^{2} & \sum_{k_{1}} (\binom{2 j}{n - k_{1}}) {(\binom{k_{1} + j}{k_{1} - j})}^{2} \\ \times \sum_{k_{2}} (\binom{2 j}{k_{1} - k_{2}}) (\binom{k_{2} + j}{k_{2} - j}) \dots \\ \times \sum_{k_{s - 1}} (\binom{2 j}{k_{s - 2} - k_{s - 1}}) (\binom{k_{s - 1} + j}{k_{s - 1} - j}) \cdot (\binom{2 j}{k_{s - 1} - j}) \end{aligned}$
が得られる。

まとめ

　そして
$c_{n}^{(r)} = \sum_{j = 0}^{n} {(\binom{2 j}{j})}^{r - 1} \cdot {(\binom{2 n}{n})}^{- 1} (\binom{2 j}{j}) t_{n}^{(r)}$
であったことから主張を得る。

　なお $s = 1$ のときのAndrewの公式は
$_{5} F_{4} (\begin{array}{cccccccc} a, & 1 + \frac{1}{2} a, & b, & c, & - m \\ \frac{1}{2} a, & 1 + a - b, & 1 + a - c, & 1 + a + m \end{array}; 1) = \frac{(1 + a)_{m} (1 + a - b - c)_{m}}{(1 + a - b)_{m} (1 + a - c)_{m}}$
となるので同様の議論により
$\begin{aligned} c_{n}^{(2)} & = \sum_{j} {(\binom{n}{j})}^{2} (\binom{2 j}{n}) \\ c_{n}^{(3)} & = \sum_{j} {(\binom{n}{j})}^{2} {(\binom{2 j}{j})}^{2} (\binom{2 j}{n - j}) \end{aligned}$
となることが確かめられます。

おわりに

　以上がルジャンドル変換とアペリー数列に関する雑記でした。
　ちなみに $c_{n}^{(2)}$ はFranel数である、つまり
$c_{n}^{(2)} = \sum_{j = 0}^{n} {(\binom{n}{j})}^{3}$
とも表せること(Strehlの恒等式)が知られており、これによって
$\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} {(\binom{n + k}{k})}^{2} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) \sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k}{j})}^{3}$
という等式が得られます。不思議ですね。

参考文献

[1]

A. L. Schmidt, Generalized q-Legendre polynomials, J. Comput. Appl. Math., 1993

[2]

A. L. Schmidt, Legendre transforms and Apéry's sequences, J. Austral. Math. Soc., 1995

[3]

V. Strehl, Binomial identities - combinatorial and algorithmic aspects, Disc. Math., 1994

[4]

W. Zudilin, On a combinatorial problem of Asmus Schmidt, Elec. J. Combin., 2004

投稿日：2024年12月22日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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数列のルジャンドル変換とアペリー数列

はじめに
ルジャンドル変換
アペリー数列とルジャンドル変換
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数列のルジャンドル変換とアペリー数列

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ルジャンドル変換

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r=2sのとき

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$r = 2 s$ のとき

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