Chudnovskyの円周率公式の証明

$$A(J)=J^{-\frac16}\l(\frac{J-1}{27}\r)^{\farc14}$$
とおいたとき
$$J=\frac{g_2^3}{\D},\quad J-1=\frac{27g_3^2}{\D}$$
から
$$\sqrt{\frac{g_3}{g_2}}=A(J)\D^{\frac1{12}}$$
つまり$L_J$と$\tilde{L}_\tau$の間に
$$(\O_1,\O_2)=A(J)(\oo_1,\oo_2),\quad(H_1,H_2)=A(J)^{-1}(\ee_1,\ee_2)$$
という関係が成り立つこと、および
$$A'(J)=\l(-\farc{1}{6J}+\frac1{4(J-1)}\r)A(J)=\frac{J+2}{12J(J-1)}A(J)$$
に注意すると 前回の記事 の補題7
$$36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}=3(J+2)\O-2(J-1)H$$
から
$$36J(J-1)\l(\frac{d\oo}{dJ}+\frac{J+2}{12J(J-1)}\oo\r)A(J) =3(J+2)A(J)\oo-\frac{2(J-1)}{A(J)}\ee$$
つまり
\begin{align} \ee &=-18JA(J)^2\frac{d\oo}{dJ}\\ &=-18J\cdot J^{-\farc13}\l(\frac{J-1}{27}\r)^{\farc12}\frac{d\oo}{dJ}\\ &=-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\frac{d\oo}{dJ} \end{align}
を得る。

　 楕円関数の記事 の定理16および 前回の記事 から
$$\E_1=\frac{\pi^2}3E_2(\t),\quad g_2=\frac{4\pi^4}{3}E_4(\t),\quad g_3=\farc{8\pi^6}{27}E_6(\t)$$
であったので
\begin{align} s_2(\tau) &=\frac{E_4(\tau)}{E_6(\tau)}\l(E_2(\tau)-\frac3{\pi\Im\tau}\r)\\ &=\frac{2\pi^2g_2}{9g_3}\l(\frac3{\pi^2}\eta_1-\frac3{\pi\Im\tau}\r)\\ &=\frac{2g_2}{3g_3}\bigg(\eta_1-\frac\pi{\Im\tau}\bigg)\\ \end{align}
を得る。

　 前回の記事 の定理11
$$(\oo_1=)\D^{\frac1{12}}=\farc{2\pi}{\sqrt[4]{12}}J^{-\frac1{12}}F$$
から
\begin{align} \E_1&=\D^{\frac1{12}}\ee_1\\ &=\oo_1\cdot\l(-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\frac{d\oo_1}{dJ}\r)\\ &=-\sqrt{3(J-1)}J^{\frac23}\frac{d}{dJ}\oo_1^2\\ &=-\sqrt{3(J-1)}J^{\frac23}\cdot\farc{2\pi^2}{\sqrt3}J^{-\frac16}\l(-\frac1{6J}F^2+\farc{d}{dJ}F^2\r)\\ &=\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}\l(F^2-6J\farc{d}{dJ}F^2\r)\\ \frac{3g_3}{2g_2} &=\farc32(A(J)\D^{\farc1{12}})^2\\ &=\frac32J^{-\frac13}\l(\farc{J-1}{27}\r)^{\frac12}\cdot\farc{4\pi^2}{\sqrt{12}}J^{-\frac16}F^2\\ &=\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}F^2 \end{align}
と表せるので、補題3から
\begin{eqnarray} \frac{\pi}{\Im(\t)}&=&\E_1-\farc{3g_3}{2g_2}s_2(\t) \\&=&\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}\l((F^2-6J\farc{d}{dJ}F^2)-s_2(\t)F^2\r) \\&=&\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}\l((1-s_2(\t))F^2-6J\farc{d}{dJ}F^2\r) \end{eqnarray}
がわかり、これを適当に整理することで主張を得る。

　ここまで来ればあとは Ramanujanの円周率公式の記事 と似たようなことをするだけである。
　いまClausenの公式
$$\F ab{a+b+\frac12}z^2= {}_3F_2\l(\begin{array}{c}2a,2b,a+b\\2a+2b,a+b+\frac12\end{array};z\r)$$
から
\begin{eqnarray} F^2&=&\F{\frac1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}^2 ={}_3F_2\l(\begin{array}{c}\frac16,\frac56,\frac12\\1,1\end{array};\frac1J\r) \\&=&\sum^\infty_{n=0}\farc{(\farc16)_n(\farc56)_n(\frac12)_n}{(1)_n(1)_n(1)_n}\frac1{J^n} =\sum^\infty_{n=0}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac{z^n}{(1728J)^n} \end{eqnarray}
(最後の等号については この記事 参照)と表せるので、定理4から
\begin{eqnarray} \dis\farc{1}{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac J{J-1}} &=&\farc{1-s_2(\t)}6F^2-J\frac1{dJ}F^2 \\&=&\sum^\infty_{n=0}\l(\frac{1-s_2(\t)}{6}+n\r)\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{(1728J)^n} \end{eqnarray}
を得る。

　$J(\tau)$はラマヌジャンのデルタ$\D_\G(\tau)$を用いて
$$1729J(\tau)=\frac{E_4(\tau)^3}{\D_\G(\tau)}$$
と表せたのでこれを対数微分すると
\begin{align} \frac1J\cdot q\frac{dJ}{dq} &=\frac3{E_4}\cdot q\frac{dE_4}{dq}-q\frac d{dq}\log\D_\G\\ &=\frac3{E_4}\frac{E_2E_4-E_6}3-E_2\\ &=-\frac{E_6}{E_4} \end{align}
を得る。

　$F^2=\sqrt{E_4(\tau)}$であったことに注意すると
\begin{align} J\frac d{dJ}F^2 &=J\l(q\frac{dJ}{dq}\r)^{-1}q\frac{d}{dq}\sqrt{E_4}\\ &=-\frac{E_4}{E_6}\cdot\frac{E_2E_4-E_6}{6\sqrt{E_4}}\\ &=\frac16\l(1-\frac{E_4}{E_6}E_2\r)F^2 \end{align}
が成り立つので、この両辺に
\begin{align} \farc1{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac J{J-1}} &=\farc1{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac{E_4^3}{E_6^2}}\\ &=\frac16\cdot\farc3{\pi\Im(\t)}\cdot\frac{E_4}{E_6}F^2 \end{align}
を足し合わせることで主張を得る。