Chudnovskyの円周率公式の証明
はじめに
この記事では 前の記事 でラマヌジャンの円周率公式を理解しきれなかった代わりにChudnovskyの公式については理解できていたので、その証明について解説していきたいと思います。
主定理
Chudnovskyの公式とは円周率公式
$\dis \frac1\pi=12\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac{545140134n+13591409}{640320^{3n+\frac32}}$
のことを言うのでした。この記事ではより一般的な以下の公式を示していきます。
$\Im(\t)>1.25$なる任意の複素数$\t$に対して
$\dis\frac1{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac{J(\t)}{J(\t)-1}}=\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1-s_2(\t)}{6}+n\right)\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{(1728J(\t))^n}$
が成り立つ。ただし
$\dis J(\t)=\frac{E_4(\t)^3}{E_4(\t)^3-E_6(\t)^2},\;s_2(\t)=\frac{E_4(\t)}{E_6(\t)}\left(E_2(\t)-\frac{3}{\pi\Im(\t)}\right)$
とした。($E_{2k}(\t)$は正規化アイゼンシュタイン級数)
Chudnovskyの公式はこれの$\dis\t=\t_{163}=\farc{1+\sqrt{163}i}{2}$の場合であり、このとき
$1728J(\t_{163})=-640320^3$
$\dis s_2(\t_{163})=\frac{77265280}{90856689},\;\frac{1-s_2(\t_{163})}{6}=\farc{13591409}{545140134}$
と計算できる(後述)ことから上の公式が導かれます。別の数値例については
参考文献
のp.40やp.44で見ることができます。
ちなみに公式の右辺は$|J(\t)|>1$において収束し、その十分条件として$\Im(\t)>1.25$が仮定されています。
$\Im(\t)>1.25\Longrightarrow|J(\t)|>1$
であることについてはこの記事では扱いませんので詳しくは
参考文献
のTheorem5.1.(p.17以降)を参照してください。
$J(\t),s_2(\t)$の計算について
今回証明する上の公式(定理1)は具体的に$J(\t)$や$s_2(\t)$の値が計算できないと実用的に意味がありません。$J(\t),s_2(\t)$はアイゼンシュタイン級数によって定義されており、一見無理数や超越数までもが出てきそうな見た目をしていますが、$\t$が特殊な性質を満たすときは有理数や整数となることが知られています。ただしそのことの証明ついてはこの記事では扱いません。あくまでこの記事で示すのは上の主定理のみです。
というのもその事実について書かれた文献を(すぐ手に入る範囲で)まだ見つけていないのでそもそも私がその証明を知らない、といった状態なのです。然るべき文献を見つけ、その証明を理解した暁には別途記事を書くつもりなのでそれまでお待ちください。
一応
参考文献
のp.40以降に書かれている$J(\t),s_2(\t)$の計算の手順についてこの記事の最後に記しておきます。
証明
まず定理1の証明において重要となる$3$つの格子についてまとめておきましょう。
$\begin{array}{l|l|l}
&\text{基本周期}&\mbox{基本擬周期}
\\\hline L_\t&(\o_1,\o_2)=(1,\t)&(\E_1,\E_2)=(\E_1(L_\t),\E_2(L_\t))
\\L_J&\dis(\O_1,\O_2)=\sqrt{\farc{g_3(\t)}{g_2(\t)}}(1,\t)
&\dis(H_1,H_2)=\sqrt{\frac{g_2(\t)}{g_3(\t)}}(\E_1,\E_2)
\\\tilde{L}_\t&(\oo_1,\oo_2)=\D(\t)^{\frac1{12}}(1,\t)
&(\ee_1,\ee_2)=\D(\t)^{-\frac1{12}}(\E_1,\E_2)
\end{array}$
ここで
$g_2(\t)=60G_4(\t),\;g_3(\t)=140G_6(\t),\;\D(\t)=g_2(\t)^3-27g_3(\t)^2$
です。(
前回の記事
で説明したように$\D$はラマヌジャンのデルタ$\D_\G$とは若干異なることに注意)
$\dis\ee_k=-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\frac{d\oo_k}{dJ}\quad(k=1,2)$
が成り立つ。
$\dis A(J)=J^{-\frac16}\left(\frac{J-1}{27}\right)^{\farc14}$
とおくと
$\dis J=\frac{g_2^3}{\D},\;J-1=\frac{27g_3^2}{\D}$
から
$\dis\sqrt{\frac{g_3}{g_2}}=A(J)\D^{\frac1{12}}$
つまり
$\dis(\O_1,\O_2)=A(J)(\oo_1,\oo_2),\;(H_1,H_2)=A(J)^{-1}(\ee_1,\ee_2)$
と書けること、および
$\dis A'(J)=\left(-\farc{1}{6J}+\frac1{4(J-1)}\right)A(J)=\frac{J+2}{12J(J-1)}A(J)$
となることに注意すると
前回の記事
の補題8から
\begin{eqnarray}
36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}&=&3(J+2)\O-2(J-1)H
\\36J(J-1)\left(\frac{d\oo}{dJ}+\frac{J+2}{12J(J-1)}\oo\right)A(J)
&=&3(J+2)A(J)\oo-\frac{2(J-1)}{A(J)}\ee
\\36J(J-1)A(J)\frac{d\oo}{dJ}&=&-\frac{2(J-1)}{A(J)}\ee
\\\ee&=&-18J\cdot J^{-\farc13}\left(\frac{J-1}{27}\right)^{\farc12}\frac{d\oo}{dJ}
\\&=&-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\frac{d\oo}{dJ}
\end{eqnarray}
とわかる。
$\dis\E_1-\farc{3g_3}{2g_2}s_2(\t)=\frac{\pi}{\Im(\t)}$
が成り立つ。
前回の記事
で説明したように
$\dis g_2=\frac{4\pi^4}{3}E_4(\t),\;g_3=\farc{8\pi^6}{27}E_6(\t)$
つまり
$\dis\frac{3g_3}{2g_2}=\frac32\frac{8\pi^6}{27}\frac3{4\pi^4}\frac{E_6(\t)}{E_4(\t)}=\frac{\pi^2}3\frac{E_6(\t)}{E_4(\t)}$
であることに注意すると
$\dis\farc{3g_3}{2g_2}s_2(\t)
=\frac{\pi^2}3\left(E_2(\t)-\frac{3}{\pi\Im(\t)}\right)=\frac{\pi^2}3E_2(\t)-\frac{\pi}{\Im(\t)}$
となり、あとは
楕円関数の記事
の定理16として示したように
$\dis\E_1=\frac{\pi^2}3E_2(\t)$
であることからわかる。
$\dis F(J)=\F{\frac1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}$とおいたとき
$\dis\farc{1}{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac J{J-1}}=\farc{1-s_2(\t)}6F^2-J\frac1{dJ}F^2$
が成り立つ。
前回の記事
の定理12として示したように
$\dis \oo_1=\D^{\frac1{12}}=\farc{2\pi}{\sqrt[4]{12}}J^{-\frac1{12}}F$
が成り立っていたので補題2から
\begin{eqnarray}
\E_1&=&\D^{\frac1{12}}\ee_1=\oo_1\cdot(-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\frac{d\oo_1}{dJ})
\\&=&-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\cdot\frac12\frac{d}{dJ}\oo_1^2
\\&=&-\sqrt{12(J-1)}J^{\frac23}\cdot\frac12\left(-\frac1{6J}F^2+\farc{d}{dJ}F^2\right)\farc{4\pi^2}{\sqrt{12}}J^{-\frac16}
\\&=&\frac{\pi^2}3\sqrt{\frac{J-1}{J}}F^2-2\pi^2\sqrt{J(J-1)}\farc{d}{dJ}F^2
\\&=&\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}\left(F^2-6J\farc{d}{dJ}F^2\right)
\end{eqnarray}
であり、また
\begin{eqnarray}
\frac{3g_3}{2g_2}&=&\farc32(A(J)\D^{\farc1{12}})^2
\\&=&\frac32J^{-\frac13}\left(\farc{J-1}{27}\right)^{\frac12}\cdot\farc{4\pi^2}{\sqrt{12}}J^{-\frac16}F^2
\\&=&\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}F^2
\end{eqnarray}
であるので補題3から
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{\Im(\t)}&=&\E_1-\farc{3g_3}{2g_2}s_2(\t)
\\&=&\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}\left((F^2-6J\farc{d}{dJ}F^2)-s_2(\t)F^2\right)
\\&=&\farc{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{J-1}{J}}\left((1-s_2(\t))F^2-6J\farc{d}{dJ}F^2\right)
\end{eqnarray}
がわかり、これに$\frac{1}{2\pi^2}\sqrt{\frac{J}{J-1}}$を掛けることで主張を得る。
定理1の証明
ここまで来ればあとは
Ramanujanの円周率公式の記事
と似たようなことをするだけである。
まず$z=\frac1J$とおくと
$\dis J\farc{d}{dJ}=J\frac{dz}{dJ}\frac d{dz}=-z\frac{d}{dz}$
より定理4から
$\dis\farc{1}{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac J{J-1}}=\farc{1-s_2(\t)}6F^2+z\frac1{dz}F^2$
であり、Clausenの公式
$\dis {\F ab{a+b+\frac12}z}^2= {}_3F_2\left(\begin{array}{c}2a,2b,a+b\\2a+2b,a+b+\frac12\end{array};z\right)$
から
\begin{eqnarray}
F^2&=&{\F{\frac1{12}}{\farc5{12}}1z}^2
={}_3F_2\left(\begin{array}{c}\frac16,\frac56,\frac12\\1,1\end{array};z\right)
\\&=&\sum^\infty_{n=0}\farc{(\farc16)_n(\farc56)_n(\frac12)_n}{(1)_n(1)_n}\farc{z^n}{n!}
=\sum^\infty_{n=0}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac{z^n}{12^{3n}}
\end{eqnarray}
(最後の等号については
この記事
参照)なので
\begin{eqnarray}
\dis\farc{1}{2\pi\Im(\t)}\sqrt{\frac J{J-1}}
&=&\farc{1-s_2(\t)}6F^2+z\frac1{dz}F^2
\\&=&\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1-s_2(\t)}{6}+n\right)\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac{z^n}{12^{3n}}
\\&=&\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1-s_2(\t)}{6}+n\right)\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac1{(1728J(\t))^n}
\end{eqnarray}
を得る。
$J(\t),s_2(\t)$の計算について
$J(\t)$の計算
ある互いに素($\gcd(A,B,C)=1$)な三整数$A,B,C$に対して二次方程式$Az^2+Bz+C=0$を満たすような複素数$z$で虚部が正のもの全体の集合
$CM=\{\t\in\mathbb{H}|A+B\t+C\t^2=0\}$
を考えたとき、任意の$\t\in CM$に対し虚二次体$\Q(\t)$の類数を$h$とおくと、$j(\t)=1728J(\t)$は次数$h$の代数的整数であることが知られている。
すなわち類数が$1$となるような$\t\in CM$を持ってくれば$j(\t)$は次数$1$の代数的整数、つまり整数となる。
また$\Im(\t)>1.25$において$j(\t)$は
$\dis \tilde{j\,}(\t)=\frac{(1+240(q+9q^2))^3}{q(1-q-q^2)^{24}}\quad(q=e^{2\pi i\t})$
によって
$|j(\t)-\tilde{j\,}(\t)|<0.2$
とよく近似されるので機械計算によって$\tilde{j\,}(\t)$を概算することでその四捨五入として$j(\t)$の具体的な値が求められる。
(ちなみに$\tilde{j\,}(\t)$の分母・分子はそれぞれデデキントのイータ関数$\eta(\t)$・アイゼンシュタイン級数$E_4(\t)$の$q$-展開を途中で打ち切ったものとなっている。)
類数が$1$のときに$j(\t)$が整数となるのはラマヌジャン定数$e^{\pi\sqrt{163}}$がほとんど整数であることのトリックとしてもよく知られていますね。(参考:自由研究：ラマヌジャン定数のナゾ
(1)
,
(2)
- tsujimotterのノートブック)
また虚二次体$\Q(\sqrt{-d})\;$($d$は平方因子を持たない正整数)の類数が$1$となるのは
$d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$
の場合に限ることが知られており、Chudnovskyの公式に使われている$\t_{163}\in\Q(\sqrt{-163})$はその中でも最大のもの$d=163$の場合となっています。$j(\t)$の$q$-展開
$\dis j(\t)=\frac1q+744+196884q+\cdots$
を見てもわかる通り、$j(\t)$は$\Im(\t)$の増大によって$|q^{-1}|=e^{2\pi\Im(\t)}$のオーダーで増大することになります。$j(\t)=1728J(\t)$の値が大きければ大きいほど円周率公式(定理1)の収束が速くなるのでそういう意味でChudnovskyの公式は最良の$\t$を持ってきたと言えるでしょう。
$s_2(\t)$の計算
$\t\in CM$に対しては$s_2(\t)\in\Q(j(\t))$となることが知られており、特に上で言及したように$\Q(\t)$の類数が$1$であるときは$s_2(\t)\in\Q(j(\t))=\Q$となる。
また
$\dis\eta(\t)=q^{\frac1{24}}\prod^\infty_{n=1}(1-q^n)=\left(\frac{E_4(\t)^3-E_6(\t)^2}{1728}\right)^{\frac1{24}}$
$\dis E_2^*(\t)=E_2(\t)-\frac{3}{\pi\Im(\t)}$
とおいたとき、$\t$の満たす二次方程式$A\t^2+B\t+C=0$とその判別式$D=B^2-4AC$に対して
$\dis \sqrt{D}(AC)^2\frac{E_2^*(\t)}{\eta(\t)^4}$
は代数的整数であることが示せれ、また$j(\t)$は整数であったことから
$\dis\frac{E_4(\t)}{\eta(\t)^8}=j(\t)^{\frac13},\quad\frac{E_6(\t)}{\eta(\t)^{12}}=(j(\t)-1728)^{\frac12}$
も代数的整数であることに注意すると
$b_\t=\sqrt{c_\t D(j(\t)-1728)}(AC)^2$
が整数となるような整数$c_\t$を任意にとることで
\begin{eqnarray}
a_\t&=&b_\t s_2(\t)&\in&\Q
\\&=&\sqrt{c_\t D}\farc{E_6(\t)}{\eta(\t)^{12}}\cdot\frac{E_4(\t)}{E_6(\t)}E_2^*(\t)
\\&=&\sqrt{c_\t}\cdot\frac{E_4(\t)}{\eta(\t)^8}\cdot\sqrt{D}(AC)^2\frac{E_2^*(\t)}{\eta(\t)^4}&\in&\ol\Z
\end{eqnarray}
つまり$a_\t\in\Q\cap\ol\Z=\Z$となるので$s_2(\t)$は二つの整数$a_\t,b_\t$の商$\dis\frac{a_\t}{b_\t}$として表すことができる。
$j(\t)$の値がわかれば$b_\t$は構成できるのであとは$a_\t$の値を求める必要があるが、$\Im(\t)>1.25$において$s_2(\t)$は
$\dis \tilde{s}_2(\t)=\frac{1+240(q+9q^2)}{1-504(q+33q^2)}\left(1-24(q+3q^2)-\frac{3}{\pi\Im(\t)}\right)$
によって
$|s_2(\t)-\tilde{s}_2(\t)|<222000|q|^3$
とよく近似されるので$\tilde{a}_\t=b_\t\tilde{s}_2(\t)$とおいたとき
$|a_\t-\tilde{a}_\t|<222000|q|^3|b_\t|<0.5$
と評価できるように$c_\t$が取れれば機械計算によって$b_\t\tilde{s}_2(\t)$を概算することでその四捨五入として$a_\t$の具体的な値が求められる。
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