Picard Fuchsの微分方程式
はじめに
この記事ではChudnovskyの公式の証明においてその中核の一つをなすPicard Fuchsの微分方程式について解説していきます。
また
前回の記事
で紹介した楕円関数の理論をまあまあ使うので宜しく目を通しておくことをお勧めします。
以下特筆がなければ$\o_1,\o_2$は格子$L$の基本周期、$\E_1,\E_2$は対応する基本擬周期$\E_k=\z(z+\o_k;L)-\z(z;L)$とする。
等価な格子とクラインの$J$-不変量
まず格子の等価な変形$L'=aL\;(a\neq0)$に対して各関数がどう変化するかを見ていきます。
ここで重要な関数、$J$-不変量を定めましょう。
格子$L$に対し判別式$\D$と$J$-不変量$J$を
$\D(L)=g_2(L)^3-27g_3(L)^2$
$\dis J(L)=\dis\farc{g_2(L)^3}{g_2(L)^3-27g_3(L)^2}$
と定める。ただし$g_2(L)=60G_4(L),\;g_3(L)=140G_6(L)$である。
ちなみに実際によく目にする(?)$j$-不変量は$j(L)=1728J(L)$と定義されます。これと区別するためこの記事では大文字で$J$-不変量と言うことにしています。
$G_{2k}(aL)=a^{-2k}G_{2k}(L)$が成り立つ。
特に$\D(aL)=a^{-12}\D(L),\;J(aL)=J(L)$が成り立つ。
アイゼンシュタイン級数の定義より
$\dis G_{2k}(aL)=\sum_{\substack{\o'\in aL\\\o'\neq0}}\farc{1}{\o'^{2k}}
=\sum_{\substack{\o\in L\\\o\neq0}}\farc{1}{(a\o)^{2k}}=\farc1{a^{2k}}G_{2k}(L)$
なのであとは$g_2(L)=60G_4(L),\;g_3(L)=140G_6(L)$からわかる。
このように$J$-不変量は格子の等価な変形に対して不変であるため"不変"量と呼ばれています。
格子$L=\Z\o_1+\Z\o_2$と等価な格子$L'=aL$の基本周期を$a\o_1,a\o_2$としたとき、基本擬周期について
$\E_k(aL)=\farc1a\E_k(L)\;(k=1,2)$
が成り立つ。
ワイエルシュトラスの$\z$関数について
\begin{eqnarray}
\z(az;aL)&=&\farc1{az}+\sum_{\substack{\o'\in aL\\\o'\neq0}}\left(\frac1{az-\o'}+\farc1\o+\frac{az}{\o^2}\right)
\\&=&\farc1{az}+\sum_{\substack{\o\in L\\\o\neq0}}\left(\frac1{az-a\o}+\farc1{a\o}+\frac{z}{a\o^2}\right)=\farc1a\z(z;L)
\end{eqnarray}
が成り立っているので
\begin{eqnarray}
\E_k(aL)&=&\z(z+a\o_k:aL)-\z(z;aL)
\\&=&\z(az+a\o_k:aL)-\z(az;aL)
\\&=&\farc1a(\z(z+\o_k;L)-\z(z;L))=\frac1a\E_k(L)
\end{eqnarray}
を得る。
最後に$J$-不変量によって特徴づけられる格子について解説しましょう。
格子$L$に対して等価な格子$L_J$を
$L_J=\mu(L)L\quad$ただし$\dis\mu(L)=\sqrt{\frac{g_3(L)}{g_2(L)}}$
と定める。($-L=L$という関係から$L_J$は平方根の符号の取り方には依らないことに注意する。)
このとき$L_J$の基本周期を$\O_1,\O_2$、対応する基本擬周期を$H_1,H_2$とおく。
格子$L$の同値な変形$L'=aL$に対しては
$\dis\mu(L')=\sqrt{\frac{a^{-6}g_3(L)}{a^{-4}g_2(L)}}=\frac1a\mu(L)$
から
$\dis L'_J=\mu(L')L'=\farc1a\mu(L)(aL)=L_J$
なので等価な格子たちに対して$L_J$は一意に定まることがわかります。
そしてこの格子が$L_J$と名付けられているのは以下の特徴づけによるものになります。
格子$L$に対して定まる楕円曲線
$X(L)=X(g_2(L),g_3(L))=\{(x,y)\in\C^2|y^2=4x^3-g_2x-g_3\}$
について
$\dis X(L_J)=\left\{(x,y)\in\C^2\Bigg|\;y^2=4x^2-\frac{27J}{J-1}(x+1)\right\}$
が成り立つ。ただし$J=J(L)$とした。
$L_J,\mu(L)$の取り方から
$\dis g_2(L_J)=\mu(L)^{-4}g_2(L)=\farc{g_2(L)^3}{g_3(L)^2}$
$\dis g_3(L_J)=\mu(L)^{-6}g_3(L)=\farc{g_2(L)^3}{g_3(L)^2}$
つまり$g_2(L_J)=g_3(L_J)$なのでこの値を$g$と置くと
$\dis J=\frac{g^3}{g^3-27g^2}=\farc{g}{g-27}$
となりこれを$g$について書きなおすと
$\dis g=\frac{27J}{J-1}$
がわかるので
$\dis4x^3-g_2(L_J)x-g_3(L_J)=4x^3-g\cdot(x+1)=4x^3-\farc{27J}{J-1}(x+1)$
を得る。
Picard Fuchsの微分方程式
基本周期と基本擬周期の積分表示
$k=1,2$に対し$\C$上の経路$\b_k$を
$\dis\b_1:\frac14\o_2\to\farc14\o_2+\o_1$
$\dis\b_2:\frac14\o_1\to\farc14\o_1+\o_2$
と定め(このとき$\b_k$上で$\wp$は極を取らず、$\wp'$は極も零点も取らないことに注意する)、
これに対応する$\C^2$上の閉路$\a_k$を$\a_k=(\wp(\b_k),\wp'(\b_k))$と定める。
$\wp$関数は微分方程式
$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$
を満たしていたので$\a_k\subset X(L)$となります。
$\o_k,\E_k\;(k=1,2)$は$\C^2$上の周回線積分を用いて
$\dis\o_k=\oint_{(x,y)\in\a_k}\frac{dx}{y}\quad\E_k=-\oint_{(x,y)\in\a_k}\frac{x}{y}dx$
と表せれる。
変数変換$(x,y)=(\wp(z),\wp'(z)),\;dx=\wp'(z)dz=ydz$により
$\dis\oint_{\a_k}\frac{dx}{y}=\int_{\b_k}dz=\o_k$
$\dis-\oint_{\a_k}\frac{x}{y}dx=\int_{\b_k}(-\wp(z))dz=\big[\z(z)\big]_{\b_k}=\E_k$
とわかる。
$\C^2$は$\R$上の$4$次元空間なので線積分？といった感じですが単なる積分
$\dis\oint_\a f(x,y)dx=\int_{z\in\b} f(\wp(z),\wp'(z))d\wp(z)$
だと思えばそう難しくないと思います。
本題
$L_J$の基本周期を$\O_1,\O_2$としたとき、$\O=\O_1,\O_2$について
$\dis\farc{d^2\O}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{d\O}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}\O=0$
が成り立つ。
いくつかの補題に分けて証明する。
$\dis g=g_2(L_J)=g_3(L_J)=\frac{27J}{J-1},\;I_n=\oint_\a\frac{x^n}{2y^3}dx$
とおくと
$\dis\frac{d\O}{dg}=I_1+I_0,\quad\frac{dH}{dg}=-I_2-I_1$
が成り立つ。
$\O$に対応する基本擬周期を$H$とおいたとき基本周期と基本擬周期の積分表示
$\dis\O=\oint_\a\farc{dx}{y},\quad H=-\oint_\a\frac xydx$
において
$(x,y)\in\a\subset X(L_J)$つまり$y^2=4x^3-g(x+1)$という関係から
$\dis\farc{d}{dg}(y^2)=2yy'=\frac d{dg}(4x^3-g(x+1))=-(x+1)$
および
$\dis\farc{d}{dg}\left(\frac1y\right)=-\frac{y'}{y^2}=-\frac{2yy'}{2y^3}=\frac{x+1}{2y^3}$
がわかる。
すなわち
$\dis\frac{d\O}{dg}=\oint_\a\frac{d}{dg}\left(\frac1y\right)dx=\oint_\a\farc x{2y^3}dx+\oint_\a\frac1{2y^3}dx=I_1+I_0$
$\dis\frac{dH}{dg}=-\oint_\a x\frac{d}{dg}\left(\frac1y\right)dx=-\oint_\a\farc{x^2}{2y^3}dx-\oint_\a\frac x{2y^3}dx=-I_2-I_1$
を得る。
$\dis I_0=\frac{9\O-6H}{2g(g-27)},\;I_1=-\farc{g\O-18H}{4g(g-27)},\;I_2=\frac{3\O-2H}{8(g-27)}$
が成り立つ。
$\dis\oint_\a \frac d{dx}f(x,y)dx=[f(x,y)]_{\a}=0$
が成り立つのを$f(x,y)=f_n(x,y)=\frac{x^n}{y}$について適用することを考える。
$(x,y)\in\a$において$y^2=4x^3-g(x+1)$であること、および
$\dis\frac{d}{dx}f_{n+1}(x,y)=\frac{d}{dx}(xf_n(x,y))=f_n(x,y)+x\frac{d}{dx}f_n(x,y)$
に注意すると
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx}f_0(x,y)&=&\frac d{dx}\left(\frac1y\right)
=-\frac1{2y^3}\frac{d}{dx}(y^2)
\\&=&-\frac{12x^2-g}{2y^3}
\\\frac{d}{dx}f_1(x,y)&=&\frac1y-x\frac{12x^2-g}{2y^3}
=\frac1y-\farc{3(y^2+g(x+1))-gx}{2y^3}
\\&=&-\frac1{2y}-\farc{2gx+3g}{2y^3}
\\\frac{d}{dx}f_2(x,y)&=&\farc xy-x\left(\frac1{2y}+\farc{2gx+3g}{2y^3}\right)
\\&=&\frac x{2y}-\farc{2gx^2+3gx}{2y^3}
\end{eqnarray}
がわかるので$\O=\oint_\a\farc{dx}{y},\;H=-\oint_\a\frac xydx$に注意してこれらを積分することで
\begin{eqnarray}
\oint_\a \frac d{dx}f_0(x,y)dx&=&-12I_2+gI_0=0
\\\oint_\a \frac d{dx}f_1(x,y)dx&=&-\farc12\O-2gI_1-3gI_0=0
\\\oint_\a \frac d{dx}f_2(x,y)dx&=&\frac12H-2gI_2-3gI_1=0
\end{eqnarray}
を得る。
あとはこの方程式
$\dis\begin{pmatrix}
-12&0&g
\\0&2&3
\\2&3&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_2\\I_1\\I_0
\end{pmatrix}
=\frac1{2g}\begin{pmatrix}
0\\-\O\\ H
\end{pmatrix}$
を解くことでわかる。(実際に上の式を代入してみるとこれが成り立つことがわかる。)
$\dis36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}=3(J+2)\O-2(J-1)H$
$\dis24J(J-1)\frac{dH}{dJ}=3J\O-2(J+2)H$
が成り立つ。
補題6の式
$\dis\frac{d\O}{dg}=I_1+I_0,\quad\frac{dH}{dg}=-I_2-I_1$
に補題7の式
$\dis I_0=\frac{9\O-6H}{2g(g-27)},\;I_1=-\farc{g\O-18H}{4g(g-27)},\;I_2=\frac{3\O-2H}{8(g-27)}$
を代入することで
$\dis \farc{d\O}{dg}=\farc{(18-g)\O+6H}{4g(g-27)},\quad\frac{dH}{dg}=-\frac{g\O+2(18-g)H}{8g(g-27)}$
がわかる。
また
$\dis g=\frac{27J}{J-1}=27+\frac{27}{J-1}$
であったので
$\dis\frac{dg}{dJ}=-\frac{27}{(J-1)^2},\;18-g=-\farc{9(J+2)}{J-1}$
に注意すると
\begin{eqnarray}
\frac{d\O}{dg}=-\frac{(J-1)^2}{27}\frac{d\O}{dJ}
&=&(J-1)\frac{-9(J+2)\O+6(J-1)H}{4\cdot27J\cdot27}
\\&=&-(J-1)\frac{3(J+2)-2(J-1)H}{36\cdot27J}
\\\frac{dH}{dg}=-\frac{(J-1)^2}{27}\frac{dH}{dJ}
&=&-(J-1)\frac{27J\O-2\cdot9(J+2)H}{8\cdot27J\cdot27}
\\&=&-(J-1)\frac{3g(J-1)\O-2(J+2)H}{24\cdot27J}
\end{eqnarray}
となることから適当な因子を払うことで主張を得る。
以上より
\begin{eqnarray}
2(J-1)H&=&-36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}+3(J+2)\O
\\24J(J-1)^2\farc{dH}{dJ}&=&3J(J-1)\O-(J+2)\left(-36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}+3(J+2)\O\right)
\\&=&36J(J-1)(J+2)\frac{d\O}{dJ}-3(5J+4)\O
\end{eqnarray}
に注意すると
$\dis36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}=3(J+2)\O-2(J-1)H$
を$J$について微分することで
$\dis36J(J-1)\frac{d^2\O}{dJ^2}+36(2J-1)\frac{d\O}{dJ}
=3(J+2)\frac{d\O}{dJ}+3\O-2(J-1)\farc{dH}{dJ}-2H$
整理して
$\dis36J(J-1)\frac{d^2\O}{dJ^2}+3(23J-14)\frac{d\O}{dJ}+2(J-1)\frac{dH}{dJ}-3\O+2H=0$
これに$12J(J-1)$を掛けて
\begin{eqnarray}
0&=&36\cdot12J^2(J-1)^2\frac{d^2\O}{dJ^2}&+&36J(J-1)(23J-14)\frac{d\O}{dJ}&-&36J(J-1)\O
\\&&&+&36J(J-1)(J+2)\frac{d\O}{dJ}&-&3(5J+4)\O
\\&&&-&12J\cdot36J(J-1)\frac{d\O}{dJ}&+&12J\cdot3(J+2)\O
\\&=&36\cdot12J^2(J-1)^2\frac{d^2\O}{dJ^2}&+&36J(J-1)\cdot12(J-1)\frac{d\O}{dJ}&-&3J(31J-4)\O
\end{eqnarray}
すなわち
$\dis\farc{d^2\O}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{d\O}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}\O=0$
を得る。
クンマーの解
前節で登場したPicard Fuchsの微分方程式に対し、Kummerは実に$16$種類の解を発見したそうです。ここではその解の内の一つを紹介します。
$\dis b(J)=J^{-\frac14}(1-J)^{\frac14}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}\quad$(${}_2F_1$は超幾何関数)
はPicard Fuchsの微分方程式
$\dis\farc{d^2b}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{db}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}b=0$
を満たす。
やることは単純で超幾何微分方程式から直接導ける。
今回もいくつかの補題に分けつつ証明する。
$\dis f(J)=\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}$
とおいたとき$f$は微分方程式
$\dis J^2(1-J)\frac{d^2f}{dJ^2}-J(J-\frac12)\frac{df}{dJ}+\frac5{144}f=0$
を満たす。
超幾何微分方程式から$z=\frac1J$に対して
$\dis z(z-1)\frac{d^2f}{dz^2}+(\frac32z-1)\frac{df}{dz}+\frac5{144}f=0$
が成り立つので
$\dis\frac{df}{dz}=\frac{dJ}{dz}\frac{df}{dJ}=-J^2\frac{df}{dJ}$
$\dis\farc{d^2f}{dz^2}=-J^2\frac{d}{dJ}\frac{df}{dz}=J^2(J^2\frac{d^2f}{dJ^2}+2J\frac{df}{dJ})$
に注意すると
\begin{eqnarray}
0&=&z(z-1)\frac{d^2f}{dz^2}+(\frac32z-1)\frac{df}{dz}+\frac5{144}f
\\&=&\farc1J(\frac1J-1)J^2(J^2\frac{d^2f}{dJ^2}+2J\frac{df}{dJ})-(\farc3{2J}-1)J^2\farc{df}{dJ}+\frac5{144}f
\\&=&J^2(1-J)\frac{d^2f}{dJ^2}+(2J(1-J)-J(\frac32-J))\frac{df}{dJ}+\frac5{144}f
\\&=&J^2(1-J)\frac{d^2f}{dJ^2}-J(J-\frac12)\frac{df}{dJ}+\frac5{144}f
\end{eqnarray}
を得る。
$a(J)=J^{\frac14}(1-J)^{-\frac14}$
とおいたとき
$\dis a'(J)=\frac1{4J(1-J)}a(J),\;a''(J)=\farc{8J-3}{16J^2(1-J)^2}a(J)$
が成り立つ。
便宜的に$c=\frac14$とおくと
\begin{eqnarray}
a(J)&=&J^c(1-J)^{-c}
\\a'(J)&=&cJ^{c-1}(1-J)^{-c}+cJ^c(1-J)^{-c-1}
\\&=&c\left(\frac1J+\farc1{1-J}\right)J^c(1-J)^{-c}
\\&=&\frac1{4J(1-J)}a(J)
\\a''(J)&=&c(c-1)J^{c-2}(1-J)^{-c}+2c^2J^{c-1}(1-J)^{-c-1}+c(c+1)J^c(1-J)^{-c-2}
\\&=&c\left(-\frac{3}{4J^2}+\frac{2}{4J(1-J)}+\frac5{4(1-J)^2}\right)J^c(1-J)^{-c}
\\&=&\farc{-3(1-2J+J^2)+2(J-J^2)+5J^2}{16J^2(1-J)^2}a(J)
\\&=&\farc{8J-3}{16J^2(1-J)^2}a(J)
\end{eqnarray}
とわかる。
いま
$\dis b(J)=J^{-\frac14}(1-J)^{\frac14}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}=a(J)^{-1}f(J)$
つまり
$f(J)=a(J)b(J)$
としていたので補題11から
$\dis f'=a'b+ab'=(\frac1{4J(1-J)}b+b')a$
$\dis f''=a''b+2a'b'+ab''=(\frac{8J-3}{16J^2(1-J)^2}b+\frac1{2J(1-J)}b'+b'')a$
となり、補題10から
\begin{eqnarray}
0&=&\frac1a\left(J^2(1-J)f''-J(J-\frac12)f'+\frac5{144}f\right)
\\&=&J^2(1-J)\left(b''+\frac1{2J(1-J)}b'+\frac{8J-3}{16J^2(1-J)^2}b\right)
-J(J-\frac12)\left(b'+\frac1{4J(1-J)}b\right)+\frac5{144}b
\\&=&J^2(1-J)b''+\left(\frac J2-J(J-\frac12)\right)b'+\left(\frac{8J-3}{16(1-J)}-\farc{2J-1}{8(1-J)}+\farc5{144}\right)b
\\&=&J^2(1-J)b''+J(1-J)b'+\farc{9(8J-3)-18(2J-1)+5(1-J)}{144(1-J)}b
\\&=&J^2(1-J)b''+J(1-J)b'+\farc{31J-4}{144(1-J)}b
\end{eqnarray}
がわかるのでこれを$J^2(1-J)$で割ることで
$\dis\farc{d^2b}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{db}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}b=0$
を得る。
特別な格子とクンマーの解
さて
前回の記事
では任意の格子$L$に対し等価な格子$L_\t=\Z+\Z\t\;(\t\in\H)$が(複数)存在することを紹介した。
そのような格子$L_\t$を変数に取るような関数を単に$\t$を変数とした形で表そう。つまり
$\dis G_{2k}(L_\t)=G_{2k}(\t)$
$\D(L_\t)=\D(\t)=g_2(\t)^3-27g_3(\t)^2$
$\dis J(L_\t)=J(\t)=\frac{g_2(\t)^3}{g_2(\t)^3-27g_3(\t)^2}$
$\dis \mu(L_\t)=\sqrt{\frac{g_3(\t)}{g_2(\t)}}$
といった具合である。
ちなみに
$\dis G_{2k}(L_\t)=\sum_{\substack{\o\in L_\t\\\o\neq0}}\frac1{\o^{2k}}
=\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac1{(m\t+n)^{2k}}=G_{2k}(\t)$
はモジュラー形式のアイゼンシュタイン級数と一致するが
$\dis g_2(\t)=60G_4(\t)=60\cdot2\z(4)E_4(\t)
=60\cdot\frac{2\pi^4}{90}E_4(\t)=\frac{4\pi^4}3E_4(\t)$
$\dis g_3(\t)=140G_6(\t)=140\cdot2\z(6)E_6(\t)
=140\cdot\frac{2\pi^6}{945}E_6(\t)=\frac{8\pi^6}{27}E_6(\t)$
なので
\begin{eqnarray}
\D(L_\t)
&=&\left(\frac{4\pi^4}{3}\right)^3E_4(z)^3-27\left(\frac{8\pi^6}{27}\right)^2E_6(\t)^2
\\&=&\frac{2^6\pi^{12}}{27}(E_4(\t)^3-E_6(\t)^2)
\\&=&\frac{(2\pi)^{12}}{1728}(E_4(\t)^3-E_6(\t)^2)
\end{eqnarray}
となりこれはラマヌジャンのデルタ
$\dis \D_{\G}(\t)=q\prod^\infty_{n=1}(1-q^n)^{24}=\farc{E_4(\t)^3-E_6(\t)^2}{1728}$
とは定数倍だけ異なることに注意。(判別式の$\D$と区別するため$\D_\G$とした。)
また
$\dis J(L_\t)=\frac{E_4(\t)^3}{E_4(\t)^3-E_6(\t)^2},\;\mu(L_\t)=\pi\sqrt{\frac{2E_6(\t)}{3E_4(\t)}}$
である。
上では$J$-不変量によって特徴づけられる格子
$\dis L_J=\mu(L)L$
の基本周期$\O=\O_1,\O_2$に対しPicard Fuchsの微分方程式
$\dis\farc{d^2\O}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{d\O}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}\O=0$
が成り立つことと
$\dis b(J)=J^{-\frac14}(1-J)^{\frac14}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}$
も同じくPicard Fuchsの微分方程式
$\dis\farc{d^2b}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{db}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}b=0$
を満たすことを示したのであった。このことから以下の事実を示してこの記事の締めとしよう。
格子$L_\t$に対して等価な格子$\tt{L}_\t=\Z\tt{\o}_1+\Z\tt{\o}_2$を$(\tt{\o}_1,\tt{\o}_2)=\D(\t)^{\frac1{12}}(1,\t)$で定めたとき
$\dis\tt{\o}_1=\D(\t)^{\frac1{12}}=\farc{2\pi}{\sqrt[4]{12}}J(\t)^{-\frac1{12}}\F{\frac1{12}}{\frac5{12}}1{\frac1{J(\t)}}$
が成り立つ。
$L_\t$に対して定まる格子$L_J=\mu(\t)L_\t$の基本周期として$\O=\mu(\t),\mu(\t)\t$が取れ、これらは二階線形微分方程式
$\dis\farc{d^2\O}{dJ^2}+\frac1J\cdot\frac{d\O}{dJ}+\frac{31J-4}{144J^2(J-1)^2}\O=0$
の解であったのでこの微分方程式を満たす任意の関数$g(J)$はこれらの線形結合
$g(J)=c\mu(\t)+d\mu(\t)\t=(c+d\t)\mu(\t)\quad(c,d\in\C)$
として表せれる。(解空間が二次元であることからわかる)
いま$b(J)$はその微分方程式を満たすのである$c,d\in\C$があって
$b(J)=(c+d\t)\mu(\t)$
が成り立ち、$J(\t+1)=J(\t),\;\mu(\t+1)=\mu(\t)$であることから
$b(J(\t+1))=b(J)=(c+d\t)\mu(\t)=(c+d+d\t)\mu(\t)$
となるので$d=0$でなければならない。
ところで
$\dis J=\frac{g_2^3}{\D},\;J-1=\frac{27g_3^2}{\D}$つまり$\dis g_2=(J\D)^{\frac13},g_3=\left(\frac{(J-1)\D}{27}\right)^{\frac12}$
から
$\dis\mu=\sqrt{\frac{g_3}{g_2}}
=\frac{((J-1)\D)^{\frac14}}{27^{\farc14}(J\D)^{\frac16}}
=27^{-\frac14}J^{-\frac16}(J-1)^{\frac14}\D^{\farc1{12}}$
となるので
$\dis b(J)=J^{-\frac14}(1-J)^{\frac14}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}=c\mu(\t)=c\cdot27^{-\frac14}J^{-\frac16}(J-1)^{\frac14}\D^{\farc1{12}}$
は
$\dis J^{-\frac1{12}}\D^{-\frac1{12}}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}=C$
と書き換えれる。($C=27^{-\frac14}c$とした。)
そして$\t\to i\infty$において$E_4(\t),E_6(\t)\to1$であることに注意すると
$\dis\lim_{\t\to i\infty}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}=\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{0}=1$
$\dis\lim_{t\to i\infty}J^{-\frac1{12}}\D^{-\frac1{12}}=\lim_{\t\to i\infty}(g_2^3)^{-\frac1{12}}=\left(\frac{1728}{(2\pi)^{12}}\right)^{\farc1{12}}=\farc{\sqrt[4]{12}}{2\pi}$
すなわち
$\dis C=\lim_{t\to i\infty}J^{-\frac1{12}}\D^{-\frac1{12}}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}=\farc{\sqrt[4]{12}}{2\pi}$
つまり
$\dis \D^{\frac1{12}}=\frac1CJ^{-\frac1{12}}\D^{-\frac1{12}}\F{\frac 1{12}}{\farc5{12}}1{\frac1J}=\farc{2\pi}{\sqrt[4]{12}}J^{-\frac1{12}}\F{\frac1{12}}{\frac5{12}}1{\frac1J}$
がわかる。
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