Franel数の色々な表示
Franel数は
\begin{align}
a_n&:=\sum_{k=0}^n\binom nk^3\\
&=\F32{-n,-n,-n}{1,1}{-1}
\end{align}
と定義される数列である. 今回はこの数列の色々な表示を与えたい思う.
${}_3F_2$による2つの表示
前2つの記事(
Franel数の漸化式
,
Franel数の母関数
)で以下の2つの表示を与えた.
\begin{align}
a_n&=2^n\F21{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1\\
&=(-4)^n\F21{-n,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1}1
\end{align}
1つ目の表示は
\begin{align}
2^n\F21{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor }2^{n-2k}\frac{(n+k)!}{k!^3(n-2k)!}\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor }2^{n-2k}\binom{n+k}k\binom{n}{2k}\binom{2k}k
\end{align}
と表され, 2つ目の表示は
\begin{align}
(-4)^n\F21{-n,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1}1&=\sum_{k=0}^n(-4)^{n-k}\frac{(n+2k)!}{k!^3(n-k)!}\\
&=\sum_{k=0}^n(-4)^{n-k}\binom nk\binom{n+2k}n\binom{2k}k
\end{align}
と表される. まとめると以下を得る.
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor }2^{n-2k}\binom{n+k}k\binom{n}{2k}\binom{2k}k\\
&=\sum_{k=0}^n(-4)^{n-k}\binom nk\binom{n+2k}n\binom{2k}k
\end{align}
が成り立つ.
Strehlの恒等式
Whippleの${}_4F_3$変換公式 において, $c,f$以外を固定して$c\to\infty$すると以下の変換公式が得られる.
\begin{align} \F32{a,b,-n}{d,e}{1}&=\frac{(e-a)_n}{(e)_n}\F43{a,d-b,-n}{d,1-n+a-e}1 \end{align}
これを用いて以下の表示を示す.
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}n \end{align}
まず, 左辺は
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2n-2k}{n}\\
&=\binom{2n}n\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1
\end{align}
と表される. 補題2を用いると,
\begin{align}
\binom{2n}n\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1
&=\binom{2n}n\frac{n!}{2^n\left(\frac 12\right)_n}\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1\\
&=2^n\F21{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1\\
&=a_n
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
簡潔な別の証明が H.O.さんの記事 でも与えられている.
Sunによる表示
定理3の証明における表示
\begin{align}
a_n&=\binom{2n}n\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1
\end{align}
に再び補題2を用いて
\begin{align}
\binom{2n}n\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,\frac 12-n}1&=\binom{2n}n\frac{2^n\left(\frac 12\right)_n}{n!}\F32{\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac 12-n,\frac 12-n}1\\
&=\frac 1{2^n}\binom{2n}n^2\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k^2(2k)!(-n)_{2k}}{k!^2(-2n)_{2k}^2}\\
&=\frac 1{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{2n-2k}{n}\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\\
&=\frac 1{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{2k}{n}\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align}
となる. つまり, 以下を得る.
\begin{align} a_n&=\frac 1{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{2k}{n}\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
OEISの A000172 によれば, これはZhi-Wei Sunによって2011年に示された等式のようである.
${}_6F_5$による表示
Zeilbergerのアルゴリズムによって, 次のような表示も得られた.
$n\geq 1$に対し,
\begin{align}
a_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{3n-4k-1}{2n-1}
\end{align}
が成り立つ.
これは超幾何級数によって,
\begin{align}
a_n&=\binom{3n-1}n\F65{-n,-n,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{1,\frac{1-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{4-3n}4}1
\end{align}
と表すことができる. しかし, この等式を超幾何級数の変換公式から導くことはまだできていない.
${}_9F_8$による表示
同様に, Zeilbergerのアルゴリズムによって, 以下のような表示も得られた.
$n\geq 1$に対し,
\begin{align}
a_n&=\frac{(2n+1)!}{(n-1)!n!}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n4\rfloor}2^{n-4k}(4k+1)\binom{2k}k^2\frac{(n+2k)!(n-1-2k)!}{(n+4k+2)!(n-4k)!}
\end{align}
が成り立つ.
これは超幾何級数を用いて
\begin{align}
a_n&=2^n\frac{(2n+1)!}{n!(n+2)!}\F98{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{\frac 14,1,\frac{n+6}4,\frac{n+5}4,\frac{n+4}4,\frac{n+3}4,\frac{2-n}2,\frac{1-n}2}1
\end{align}
と表される. 定理5と定理6の間の関係
\begin{align}
&\binom{3n-1}n\F65{-n,-n,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4}{1,\frac{1-3n}4,\frac{2-3n}4,\frac{3-3n}4,\frac{4-3n}4}1\\
&=2^n\frac{(2n+1)!}{n!(n+2)!}\F98{\frac 12,\frac 54,\frac 12,-\frac n4,\frac{1-n}4,\frac{2-n}4,\frac{3-n}4,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{\frac 14,1,\frac{n+6}4,\frac{n+5}4,\frac{n+4}4,\frac{n+3}4,\frac{2-n}2,\frac{1-n}2}1
\end{align}
は
Baileyの${}_9F_8$変換公式
から示すことができる.
