Franel数の母関数
Franel数は
\begin{align}
a_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^3&&n\geq 0
\end{align}
によって定義される数列である.
前の記事
でこの数列が$n\geq 0$に対し漸化式
\begin{align}
(n+1)^2a_{n+1}-(7n^2+7n+2)a_n-8n^2a_{n-1}=0
\end{align}
を満たしていることを示した. その証明の過程で
\begin{align}
a_n=2^n\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1
\end{align}
であることを用いた. この表示を用いて, $a_n$の定義を$n\in\ZZ$に拡張すると
前の記事
の証明から$n\in\ZZ$において漸化式
\begin{align}
(n+1)^2a_{n+1}-(7n^2+7n+2)a_n-8n^2a_{n-1}=0
\end{align}
が成り立つことが分かる.
\begin{align}
b_n:=2\cdot (-8)^na_{-n-1}=(-4)^n\F32{-n,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1}1
\end{align}とする. 上の漸化式で$n\mapsto -n-1$として$b_n$の漸化式に書き換えると,
\begin{align}
(n+1)^2b_{n+1}-(7n^2+7n+2)b_n-8n^2b_{n-1}=0
\end{align}
が成り立つことが分かる. $a_0=b_0=0, a_1=b_1=2$であることから$n\in\ZZ$に対し$a_n=b_n$が分かる. つまり, 以下を得る.
$n\in\ZZ$に対し,
\begin{align}
a_n&=(-4)^n\F32{-n,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1}1
\end{align}
が成り立つ.
これを用いることで, Franel数の母関数を以下のように超幾何関数で表すことができる.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3=\frac 1{1+4u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}}
\end{align}
が成り立つ.
定理1を用いて, 以下のような計算によって示される.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nu^n&=\sum_{0\leq n}(-4u)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k(n+1)_{2k}}{k!^34^k}\\
&=\sum_{0\leq n}(-4u)^n\sum_{k=0}^n\frac{(n+2k)!}{k!^3(n-k)!(-4)^k}\\
&=\sum_{0\leq n,k}(-4u)^{n}u^k\frac{(n+3k)!}{k!^3n!}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^3}u^k\sum_{0\leq n}(-4u)^{n}\frac{(3k+1)_n}{n!}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^3}u^k(1+4u)^{-3k-1}\\
&=\frac 1{1+4u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}}
\end{align}
ここまでの議論は 前の記事 でAlmkvist-Zudilin数の母関数を超幾何関数で表す際の議論と全く同様である.
定理2を用いて1つ特殊値を計算してみようと思う.
Gaussの第2定理
から
\begin{align}
\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac 12}&=\frac{2^{\frac 23}\pi}{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 23\right)^3}
\end{align}
となることより,
\begin{align}
\frac{27u}{(1+4u)^3}=\frac 12
\end{align}
の$u=0$の近傍における解
\begin{align}
u=\frac{3\sqrt 3-5}8
\end{align}
に対し, 定理2を用いることで
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\left(\frac{3\sqrt 3-5}8\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3=\frac{2^{\frac 23}(\sqrt 3+1)\pi}{3\sqrt 3\Gamma\left(\frac 23\right)^3}
\end{align}
と求められる.
母関数のもう一つの表示
定理1の表示ではなく, 冒頭で述べた表示
\begin{align}
a_n=2^n\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}1
\end{align}
から始めても別の母関数表示を得ることができるようである.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}a_nu^n&=\sum_{0\leq n}(2u)^n\sum_{k=0}^n\frac{(n+1)_k(-n)_{2k}}{k!^34^k}\\
&=\sum_{0\leq k,n}\frac{(n+k)!}{k!^3(n-2k)!4^k}(2u)^n\\
&=\sum_{0\leq k,n}\frac{(n+3k)!}{k!^3n!4^k}(2u)^{n+2k} && n\mapsto n+2k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^3}u^{2k}(1-2u)^{-3k-1}\\
&=\frac 1{1-2u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u^2}{(1-2u)^{3}}}
\end{align}
となる. つまり以下が得られた.
\begin{align} \sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^3&=\frac 1{1-2u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u^2}{(1-2u)^{3}}} \end{align}
定理2と合わせると${}_2F_1$の3次変換公式
\begin{align}
\frac 1{1+4u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u}{(1+4u)^3}}=\frac 1{1-2u}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{27u^2}{(1-2u)^{3}}}
\end{align}
を得る.
