Flexion unit5: ariとgariの関係
前の記事 の記法を用いる.
線形化
$\varepsilon$を二重数とする. つまり, 二乗して初めて$0$になるような形式的な変数とする. このとき,
\begin{align}
&\gaxit(1+\varepsilon B,1+\varepsilon C)(A)(\bw)\\
&=\sum_{\substack{0\leq s\\\ba_1b_1\bc_1\cdots \ba_sb_s\bc_s=\bw}}A({}_{\ba_1}\lceil b_1\rceil_{\bc_1},\dots,{}_{\ba_s}\lceil b_s\rceil_{\bc_s})\prod_{i=1}^s(1+\varepsilon B)(\ba_i\rfloor_{b_i})(1+\varepsilon C)({}_{b_i}\lfloor \bc_i)\\
&=A(\bw)+\varepsilon\sum_{0\leq s}\sum_{i=1}^s\sum_{b_1\cdots b_{i-1}\ba_ib_i\cdots b_s=\bw}A(b_1\cdots b_{i-1}{}_{\ba_i}\lceil b_ib_{i+1}\cdots b_s)B(\ba_i\rfloor_{b_i})\\
&\qquad+\varepsilon\sum_{0\leq s}\sum_{i=1}^s\sum_{b_1\cdots b_i\bc_ib_{i+1}\cdots b_s=\bw}A(b_1\cdots b_{i-1}b_i\rceil_{\bc_i}b_{i+1}\cdots b_s)B({}_{b_i}\lfloor\bc_i)\\
&=A(\bw)+\varepsilon \amit(B)(A)+\varepsilon\anit(C)(A)\\
&=(1+\varepsilon (\amit(B)+\anit(C)))(A)
\end{align}
となる. よって, $\axit(B,C):=\amit(B)+\anit(C)$とすると$\gaxit(1+\varepsilon B,1+\varepsilon C)=1+\varepsilon \axit(B,C)$となる. これより,
\begin{align}
\garit(1+\varepsilon B)&=\gaxit(1+\varepsilon B,\invmu(1+\varepsilon B))\\
&=\gaxit(1+\varepsilon B,1-\varepsilon B)\\
&=1+\varepsilon \axit(B,-B)\\
&=1+\varepsilon \arit(B,-B)\\
\end{align}
となる. 同様に,
\begin{align}
\gamit(1+\varepsilon B)&=1+\varepsilon \amit(B)\\
\ganit(1+\varepsilon B)&=1+\varepsilon \anit(B)
\end{align}
も成り立つ. また,
\begin{align}
\gari(A,1+\varepsilon B)&=\garit(1+\varepsilon B)(A)\times(1+\varepsilon B)\\
&=A+\varepsilon(\arit(B)(A)+A\times B)\\
&=A+\varepsilon \preari(A,B)
\end{align}
となる.
$\arit, \preari, \ari$の性質
\begin{align}
\ari(A,B):=\preari(A,B)-\preari(B,A)
\end{align}
とする.
\begin{align} \arit(\ari(A,B))=\arit(B)\circ\arit(A)-\arit(A)\circ\arit(B) \end{align}
まず,
\begin{align}
\garit(\gari(1+tA,1+tB))&=\garit(1+tB+t\gari(A,1+tB))\\
&=\garit(1+t(A+B)+t^2\preari(A,B))\pmod{t^3}\\
&=\garit(1+t(A+B))+t^2\arit(\preari(A,B))\pmod{t^3}
\end{align}
である. 一方, 左辺は$\garit(1+tA)=1+t\arit(A)+t^2f(A)\pmod{t^3}$とすると,
\begin{align}
&\garit(\gari(1+tA,1+tB))\\
&=\garit(1+tB)\circ\garit(1+tA)\\
&=(1+t\arit(B)+t^2f(B))\circ (1+t\arit(A)+t^2f(A))\pmod{t^3}\\
&=1+t(\arit(A)+\arit(B))+t^2(f(A)+f(B)+\arit(B)\circ\arit(A))\pmod{t^3}
\end{align}
である. よって, $A,B$を入れ替えたものとの差を比較して$t^2$の係数を考えると,
\begin{align}
\arit(\ari(A,B))=\arit(B)\circ\arit(A)-\arit(A)\circ\arit(B)
\end{align}
を得る.
\begin{align}
&\preari(\preari(A,B),C)-\preari(\preari(A,C),B)\\
&=\preari(A,\preari(B,C))-\preari(A,\preari(C,B))
\end{align}
が成り立つ.
命題1より, 右辺は
\begin{align}
&\preari(A,\preari(B,C))-\preari(A,\preari(C,B))\\
&=\preari(A,\ari(B,C))\\
&=\arit(\ari(B,C))(A)+A\times \ari(B,C)\\
&=(\arit(C)\circ\arit(B)-\arit(B)\circ\arit(C))(A)+A\times \ari(B,C)\\
&=\arit(C)(\preari(A,B)-A\times B)-\arit(B)(\preari(A,C)-A\times C)+A\times \ari(B,C)
\end{align}
ここで, $\arit(B),\arit(C)$が$\times$に関して導分になっていること(
前の記事
の補題2)を用いれば,
\begin{align}
&\preari(A,\preari(B,C))-\preari(A,\preari(C,B))\\
&=\arit(C)(\preari(A,B))-\arit(B)(\preari(A,C))-\arit(C)(A)\times B+\arit(B)(A)\times C\\
&\qquad+A\times (\ari(B,C)-\arit(C)(B)+\arit(B)(C))\\
&=\arit(C)(\preari(A,B))-\arit(B)(\preari(A,C))-(\preari(A,C)-A\times C)\times B+(\preari(A,B)-A\times B)\times C\\
&\qquad+A\times (B\times C-C\times B)\\
&=\preari(\preari(A,B),C)-\preari(\preari(A,C),B)
\end{align}
となって左辺に一致する.
$\ari$はLie括弧積である. つまり,
\begin{align}
\ari(A,B)+\ari(B,A)&=0\\
\ari(A,\ari(B,C))+\ari(B,\ari(C,A))+\ari(C,\ari(A,B))&=0
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の等式は明らか. 2つ目の等式は命題2から
\begin{align}
\ari(A,\ari(B,C))&=\preari(A,\ari(B,C))-\preari(\ari(B,C),A)\\
&=\preari(\preari(A,B),C)-\preari(\preari(A,C),B)\\
&\qquad-\preari(\preari(B,C),A)+\preari(\preari(C,B),A)
\end{align}
であるから, これらを巡回させて足し合わせることによって示すことができる.
$A(\varnothing)=0$となるようなbimould全体を$\LU$と表す.
$(\mathrm{LU},\ari)$はLie代数である.
定義から, 任意のbimould$A,B$に対し,
\begin{align}
\ari(A,B)\in \mathrm{LU}
\end{align}
である.
$\expari$の性質
写像$f$に対して, $f$の$n$回合成を$f^n$と表し, に関する指数関数を
\begin{align}
\exp(f):=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}f^n
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
\garit(\expari(A))=\exp(\arit(A))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
&(1+\varepsilon\arit(A))\circ\garit(\expari(tA))\\
&=\garit(1+\varepsilon A)\circ\garit(\expari(tA))\\
&=\garit(\gari(\expari(tA),1+\varepsilon A))\\
&=\garit(\expari(tA)+\varepsilon \preari(\expari(tA),A))\\
&=\garit(\expari((t+\varepsilon)A))
\end{align}
となる. この$\varepsilon $の係数を比較すると,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\garit(\expari(tA))=\arit(A)\circ\garit(\expari(tA))
\end{align}
を得る. 一方で,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\exp(t\arit(A))=\arit(A)\circ\exp(t\arit(A))
\end{align}
も全く同じ1階線形微分方程式を満たし, $t=0$のとき等しいから, $t$に関する形式的べき級数として,
\begin{align}
\garit(\expari(tA))=\exp(t\arit(A))
\end{align}
である. 特に$t=1$として示すべき等式を得る.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\expari(tA)=\gari(A,\expari(tA))
\end{align}
命題4と
前の記事
の補題4より, $A_n:=\arit(A)^{n-1}(A)$として,
\begin{align}
&\frac{d}{dt}\expari(tA)\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}(n_1+\cdots+n_r)t^{n_1+\cdots+n_r-1}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\\
&=\sum_{1\leq n_1}\frac{t^{n_1-1}}{(n_1-1)!}A_{n_1}\times\sum_{\substack{1\leq r\\1\leq n_2,\dots,n_r}}t^{n_2+\cdots+n_r}\Ex(n_2,\dots,n_r)A_{n_2}\times\cdots\times A_{n_r}\\
&=\exp(\arit(A))(A)\times\expari(tA)\\
&=\garit(\expari(tA))(A)\times\expari(tA)\\
&=\gari(A,\expari(tA))
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
$s,t$は可換な形式的変数とする. $A\in\LU$に対し,
\begin{align}
\gari(\expari(sA),\expari(tA))=\expari((s+t)A)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
&\frac{d}{ds}\gari(\expari(sA),\expari(tA))\\
&=\gari\left(\frac{d}{ds}\expari(sA),\expari(tA)\right)\\
&=\gari(\gari(A,\expari(sA)),\expari(tA))\\
&=\gari(A,\gari(\expari(sA),\expari(tA)))
\end{align}
である. 一方,
\begin{align}
\frac{d}{ds}\expari((s+t)A)=\gari(A,\expari((s+t)A))
\end{align}
であるから, 両辺は$s$に関して同じ1階線形微分方程式を満たし, $s=0$での値が一致していることから$s$に関する形式的べき級数として等しいことが分かる.
随伴作用
前の記事
で,
\begin{align}
\adari(A)(B):=\fragari(\preari(A,B),A)
\end{align}
と定義した. これは$\gari(A,B,C):=\gari(\gari(A,B),C)$などのように書くことにして, 群の随伴作用を
\begin{align}
\adgari(A)(B):=\gari(A,B,\invgari(A))
\end{align}
としたとき, 以下が成り立つ.
$A\in\mathrm{MU}, B\in\mathrm{LU}$に対し,
\begin{align}
\expari(\adari(A)(B))=\adgari(A)(\expari(B))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
&\adgari(A)(\expari((t+\varepsilon )B))\\
&=\gari(A,\expari(tB)+\varepsilon\gari(B,\expari(tB)),\invgari(A))\\
&=\gari(A,1+\varepsilon B,\expari(tB),\invgari(A)))\\
&=\gari(\gari(A,1+\varepsilon B,\invgari(A)),\gari(A,\expari(tB),\invgari(A)))\\
&=\adgari(\expari(tB))+\varepsilon \gari(\adari(A)(B),\adgari(\expari(tB)))
\end{align}
よって,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\adgari(A)(\expari(tB))=\gari(\adari(A)(B),\adgari(\expari(tB)))
\end{align}
である. 命題5より
\begin{align}
\expari(t\adari(A)(B))
\end{align}
も全く同じ微分方程式を満たし, $t=0$において一致することから示すべき等式を得る.
$\ari(A):=A, \ari(A_1,\dots,A_n)=\ari(\ari(A_1,\dots,A_{n-1}),A_n)$のように表すとする.
$A\in\LU$に対し
\begin{align}
\adari(\expari(A))(B)=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!}\ari(B,\underbrace{A,\dots,A}_n)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
&\adgari(\expari((t+\varepsilon)A))(B)\\
&=\gari(\expari(tA),1+\varepsilon A,B,1-\varepsilon A,\expari(-tA))\\
&=\gari(\expari(tA),B+\varepsilon(\gari(A,B)-\preari(B,A)),\expari(-tA))
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac d{dt}\adgari(\expari(tA))(B)&=\gari(\expari(tA),\gari(A,B)-\preari(B,A),\expari(-tA))
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
&\varepsilon \frac{d}{dt}\adari(\expari(tA))(B)\\
&=\frac d{dt}\adgari(\expari(tA))(1+\varepsilon B)\\
&=\gari(\expari(tA),\varepsilon\ari(A,B),\expari(-tA))\\
&=\gari(\expari(tA),1+\varepsilon\ari(A,B),\expari(-tA))-1\\
&=\varepsilon\adari(\expari(tA))(\ari(A,B))
\end{align}
となる. つまり,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\adari(\expari(tA))(B)&=\adari(\expari(tA))(\ari(A,B))
\end{align}
である. 一方
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-t)^n}{n!}\ari(B,\underbrace{A,\dots,A}_n)
\end{align}
も全く同じ微分方程式を満たし, $t=0$で一致することから, 示すべき等式を得る.
Dynkinの公式
$X,Y$を非可換な変数として, 括弧積を$[X,Y]:=XY-YX$と定義する.
\begin{align}
\exp(X)&:=\sum_{0\leq n}\frac{X^n}{n!}\\
\log(1+X)&:=\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n}X^n
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
\begin{align}
&\exp(X)\exp(Y)\\
&=\exp\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n}}{n}\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{Y\}^{r_1},\{X\}^{s_1},\dots,\{Y\}^{r_n},\{X\}^{s_n}]}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで, $\{X\}^n:=\underbrace{X,\dots,X}_n$であり, $[X]:=X, [X_1,\dots,X_n]:=[[X_1,\dots,X_{n-1}],X_n]$によって定義されるものである.
これはDynkinの公式として知られており, BCH公式(Baker–Campbell–Hausdorffの公式)と呼ばれることもある.
\begin{align}
Z(t):=\log(\exp(tX)\exp(tY))
\end{align}
とする. $Z(t)$は$t$に関する形式的べき級数であり,
\begin{align}
\exp(Z(t))=\exp(tX)\exp(tY)
\end{align}
である. $\ad_X(Y):=[X,Y]$とする. 命題7と全く同様に,
\begin{align}
\exp(X)Y\exp(-X)=\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!}\ad_X^n(Y)=\exp(\ad_X)(Y)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac{d}{ds}\exp(-sZ(t))\frac{d}{dt}\exp(sZ(t))\\
&=-\exp(-sZ(t))Z(t)\frac{d}{dt}\exp(sZ(t))+\exp(-sZ(t))\frac{d}{dt}Z(t)\exp(sZ(t))\\
&=\exp(-sZ(t))Z'(t)\exp(sZ(t))\\
&=\exp(-s\ad_{Z(t)})(Z'(t))
\end{align}
となる. これより,
\begin{align}
\exp(-Z(t))\frac{d}{dt}\exp(Z(t))&=\int_0^1\exp(-s\ad_{Z(t)})(Z'(t))\,ds\\
&=\frac{1-\exp({-\ad_{Z(t)}})}{\ad_{Z(t)}}(Z'(t))
\end{align}
で与えられる. よって,
\begin{align}
Z'(t)=\frac{\ad_{Z(t)}}{1-\exp({-\ad_{Z(t)}})}\exp(-Z(t))\frac{d}{dt}\exp(Z(t))
\end{align}
である. 一方,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\exp(tX)\exp(tY)&=\exp(tX)(X+Y)\exp(tY)\\
&=\exp(Z(t))\exp(-tY)(X+Y)\exp(-tY)\\
&=\exp(Z(t))\exp(-t\ad_Y)(X+Y)
\end{align}
であるから, これを上の式に代入すると,
\begin{align}
Z'(t)=\frac{\ad_{Z(t)}}{1-\exp({-\ad_{Z(t)}})}\exp(-t\ad_Y)(X+Y)
\end{align}
を得る. ここで, $\exp(\ad_{Z(t)})=\exp(t\ad_X)\exp(t\ad_Y)$となることから,
\begin{align}
Z'(t)&=\frac{\log\exp(\ad_{Z(t)})}{\exp(\ad_{Z(t)})-1}\exp(t\ad_X)(X+Y)\\
&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(\exp(\ad_X)\exp(\ad_Y)-1)^{n-1}\exp(t\ad_X)(X+Y)\\
&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_{n-1}+s_{n-1}, 0\leq r_{n}}\frac{t^{r_1+s_1+\cdots+r_{n-1}+s_{n-1}+r_{n}}\ad_X^{r_1}\ad_Y^{s_1}\cdots \ad_X^{r_{n-1}}\ad_Y^{s_{n-1}}\ad_X^{r_{n}}}{r_1!s_1!\cdots r_{n-1}!s_{n-1}!r_{n}!}(X+Y)\\
&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-t)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n-1}[\{Y\}^{r_1},\{X\}^{s_1},\dots,\{Y\}^{r_n},\{X\}^{s_n}]}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!}
\end{align}
より, 両辺を$t$に関して$(0,1)$で積分して, 示すべき等式を得る(最後の等号は変数を付け替えているので注意).
Bimouldの組$(A_1,A_2,\dots,A_n)$を形式的に$A_1\cdots A_n$と書いて, $[A,B]=AB-BA$とすると(この記法はここだけのものである), $\preari(A):=A, \preari(A_1,\dots,A_n)=\preari(\preari(A_1,\dots,A_{n-1}),A_n)$と書くことにすれば, 命題2は
\begin{align}
\preari(A,\ari(B,C))=\preari(A[B,C])
\end{align}
と書ける. これより
\begin{align}
\preari(A,\ari(B,C,D))&=\preari(A[\ari(B,C),D])\\
&=\preari(A\ari(B,C)D-AD\ari(B,C)])\\
&=\preari(A[B,C]D-AD[B,C])\\
&=\preari(A[B,C,D])\\
\end{align}
となる. 帰納的に,
\begin{align}
\preari(A,\ari(B_1,\dots,B_n))=\preari(A[B_1,\dots,B_n])
\end{align}
が分かる. よって, $\ari$だけで書けているようなものの$\expari$は結合的な場合と同じように書ける. $\expari$に対するDynkinの公式を示すためには, 以下を示せばよい.
\begin{align} \gari(\expari(A),\expari(B))=\sum_{0\leq m,n}\frac 1{m!n!}\preari(\{A\}^m,\{B\}^n) \end{align}
\begin{align}
\gari(\expari(A),\expari((t+\varepsilon)B))&=\gari(\expari(A),\expari(tB),1+\varepsilon B)\\
&=\gari(\expari(A),\expari(tB))+\varepsilon\preari(\gari(\expari(A),\expari(tB)),B)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\gari(\expari(A),\expari(tB))&=\preari(\gari(\expari(A),\expari(tB)),B)
\end{align}
である. 一方,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\sum_{0\leq m,n}\frac{t^n}{m!n!}\preari(\{A\}^m,\{B\}^n)&=\sum_{0\leq m,n}\frac{t^n}{m!n!}\preari(\{A\}^m,\{B\}^{n+1})\\
&=\preari\left(\sum_{0\leq m,n}\frac{t^n}{m!n!}\preari(\{A\}^m,\{B\}^n),B\right)
\end{align}
も同じ微分方程式を満たし, $t=0$における値が等しいから示すべき等式を得る.
この命題9から系2を導くこともできる. より一般的な観点ではその方が自然な証明かもしれない.
\begin{align} &\gari(\expari(A),\expari(B))\\ &=\expari\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n}}{n}\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}\ari(\{B\}^{r_1},\{A\}^{s_1},\dots,\{B\}^{r_n},\{A\}^{s_n})}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right) \end{align}
命題8とDynkinの公式より,
\begin{align}
&\gari(\expari(A),\expari(B))\\
&=\sum_{0\leq m,n}\frac 1{m!n!}\preari(\{A\}^m,\{B\}^n)\\
&=\preari(\exp(A)\exp(B))\\
&=\preari\left(\exp\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n}}{n}\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{B\}^{r_1},\{A\}^{s_1},\dots,\{B\}^{r_n},\{A\}^{s_n}]}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)\right)\\
&=\expari\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n}}{n}\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}\ari(\{B\}^{r_1},\{A\}^{s_1},\dots,\{B\}^{r_n},\{A\}^{s_n})}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)
\end{align}
と示される.
