距離空間1 定義
動機
距離化可能定理を大学の講義で学びましたが、距離が入ると何が嬉しいのかあまり知らないな、と思ったので記録ついでにやっていこうと思います。距離があることの喜びを知るぞ。
距離とは
今回扱っていく距離は値に$\infty$も許すものです。
$X$を集合とする.関数$d:X\times X\to \mathbb{R}_{\geq 0}\cup \{\infty\}$は次の条件を満たすとき距離という.
任意の$x,y,z\in X$に対し
(1)$x\neq y$なら$d(x,y)>0$であり$d(x,x)=0$,
(2)$ d(x,y)=d(y,x)$,
(3)$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
組$(X,d)$を距離空間という.また,$d(x,y)=0$ならば$x=y$以外の条件を満たすとき半距離という.
以後$d(x,y)$を$|xy|$と表記します.$B(x,r)$で中心$x$半径$r$の開球を表します.
$d$を$X$上の半距離とする.$X$上の同値関係$R_d$を
$xR_dy\iff d(x,y)=0$により定める.$\hat{X}=X/R_d$上に自然に定まる$\hat{d}$により$(\hat{X},\hat{d})$は距離空間となる.
$xR_dy$かつ$x_1R_dy_1$のとき$|xy|=|x_1y_1|$であることをみる.三角不等式により
$|xy|\leq |xx_1|+|x_1y|\leq |x_1y_1|+|y_1y|\leq |x_1y_1|\leq\cdots\leq|xy|$.$\Box$
やはり距離空間なので距離を保つ写像は重要です。
$X,Y$を距離空間とする.写像$f:X\to Y$は任意の$x,y\in X$に対して
$|f(x)f(y)|=|xy|$を満たすとき,距離を保つという.
さらに,距離を保つ写像が全単射のとき,等長写像という.
有用な概念をいくつか定義します.
$(X,d)$を距離空間,$S\subset X$とする.点$x$と集合$S$の距離を
$\text{dist}(x,S)=\displaystyle\inf_{y\in S}|xy|$で定める.
$(X,d)$を距離空間,$\epsilon>0$とする.部分集合$S\subset X$は,任意の$x\in X$に対し$\text{dist}(x,S)\leq\epsilon$を満たすとき$\epsilon-$ネットという.
特に全有界であることと任意の$\epsilon>0$に対して有限な$\epsilon-$ネットが存在することが同値です.
無限を許す距離はコンパクトな距離空間に対しては通常のコンパクト距離空間の位相的な直和になることがわかります。
距離空間がコンパクトなら,その上で距離関数が有限の値をとるような有限個のコンパクト部分集合の和である.
$\{B(x,\infty)\}_{x\in X}$は$X$の開被覆だから,$X$のコンパクト性により有限部分被覆$B(x_1,\infty),\dots,B(x_n,\infty)$を取り出すことができる.このとき$1\leq i,j\leq n$,$B(x_i,\infty)\cap B(x_j,\infty)\neq \emptyset$なら$B(x_i,\infty)=B(x_j,\infty)$である.実際,$y\in B(x_i,\infty)\cap B(x_j,\infty)$とすると$|x_ix_j|\leq |x_iy|+|x_jy| <\infty$なので$x_j\in B(x_i,\infty)$.よって$B(x_j,\infty)\subseteq B(x_i,\infty)$.逆の包含も同様なので$B(x_i,\infty)=B(x_j,\infty)$.
さらに各$B(x_i,\infty)$で距離関数は有限な値をとる.必要なら等しい集合を除き$x_i= x_j\iff B(x_i,\infty)= B(x_j,\infty)$が成り立つようにする.$B(x_i,\infty)=X\backslash\displaystyle\cup_{k\neq i}B(x_k,\infty)$なので各$B(x_i,\infty)$はコンパクトである.$\Box$
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