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距離空間1 定義

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動機

距離化可能定理を大学の講義で学びましたが、距離が入ると何が嬉しいのかあまり知らないな、と思ったので記録ついでにやっていこうと思います。距離があることの喜びを知るぞ。

距離とは

今回扱っていく距離は値にも許すものです。

距離空間

Xを集合とする.関数d:X×XR0{}は次の条件を満たすとき距離という.
任意のx,y,zXに対し
(1)xyならd(x,y)>0でありd(x,x)=0,
(2)d(x,y)=d(y,x),
(3)d(x,z)d(x,y)+d(y,z).
(X,d)を距離空間という.また,d(x,y)=0ならばx=y以外の条件を満たすとき半距離という.

以後d(x,y)|xy|と表記します.B(x,r)で中心x半径rの開球を表します.

dX上の半距離とする.X上の同値関係Rd
xRdyd(x,y)=0により定める.X^=X/Rd上に自然に定まるd^により(X^,d^)は距離空間となる.

xRdyかつx1Rdy1のとき|xy|=|x1y1|であることをみる.三角不等式により
|xy||xx1|+|x1y||x1y1|+|y1y||x1y1||xy|.

やはり距離空間なので距離を保つ写像は重要です。

等長写像

X,Yを距離空間とする.写像f:XYは任意のx,yXに対して
|f(x)f(y)|=|xy|を満たすとき,距離を保つという.
さらに,距離を保つ写像が全単射のとき,等長写像という.

有用な概念をいくつか定義します.

点と集合の距離

(X,d)を距離空間,SXとする.点xと集合Sの距離を
dist(x,S)=infyS|xy|で定める.

ϵネット

(X,d)を距離空間,ϵ>0とする.部分集合SXは,任意のxXに対しdist(x,S)ϵを満たすときϵネットという.

特に全有界であることと任意のϵ>0に対して有限なϵネットが存在することが同値です.

無限を許す距離はコンパクトな距離空間に対しては通常のコンパクト距離空間の位相的な直和になることがわかります。

距離空間がコンパクトなら,その上で距離関数が有限の値をとるような有限個のコンパクト部分集合の和である.

{B(x,)}xXXの開被覆だから,Xのコンパクト性により有限部分被覆B(x1,),,B(xn,)を取り出すことができる.このとき1i,jn,B(xi,)B(xj,)ならB(xi,)=B(xj,)である.実際,yB(xi,)B(xj,)とすると|xixj||xiy|+|xjy|<なのでxjB(xi,).よってB(xj,)B(xi,).逆の包含も同様なのでB(xi,)=B(xj,).
さらに各B(xi,)で距離関数は有限な値をとる.必要なら等しい集合を除きxi=xjB(xi,)=B(xj,)が成り立つようにする.B(xi,)=XkiB(xk,)なので各B(xi,)はコンパクトである.

投稿日:20241130
更新日:2024122
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