ガンマ関数の定義の積分はどうやって思いついたのか

ガンマ関数は

で、定義される関数で、大体の文献ではこの積分表示が、階乗の性質
$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(1)=1$
を満たしている事を示して、階乗の一般化を説明している。

でも、実際オイラーは階乗の一般化を考えたくてこの積分を示したそう。
なので、階乗の性質から、ガンマ関数を導出する。

$x^n$の性質

数学をやっていて階乗が出てくる時、といえば微分がまぁ思いつく。
以下$n$は非負整数とします。

今回は積分表示を考えるので、積分で微分を絡める、つまり部分積分が有効そう。

$x^n$が微分されていってほしいので、$f(x)=x^n$とすると、
${\displaystyle {\int }_a^b{x}^n{g}^{\prime }(x)dx=[x^{n}g(x){]}_a^b-n{\int }_a^b{x}^{n-1}g(x)dx}$

なんとなく階乗の漸化式
$n!=n(n-1)!$
に近いことが分かるだろうか
(左辺をnの関数とみると、右辺はn×(左辺の(n-1)っぽいもの)になってる)

漸化式にしたいので、$g^{\prime }(x)=-g(x)$
と、なる$g(x)$を用意すれば、左辺を$G(n)$とおくことで、

${\displaystyle G(n)=[x^{n}g(x){]}_a^b+nG(n-1)}$

なかなか近づいてきた。
ちなみにそのようなg(x)は微分方程式によって、
$g(x)=e^{-x+C}$ $C$は任意定数
と分かる。

あとは
$[x^{n}g(x){]}_a^b=[x^n{e}^{-x+C}{]}_a^b=0$
になれば良い。

$a,b$どっちを代入した時も0になる時が考えやすい。(っていうか他にない？)
なので、$x^n{e}^{-x+C}$の、異なる解を探す。

一つは$x=0$がすぐわかる。
もう一つは、指数オーダーが強いので$x\to \mathrm{\infty }$で0となる。

完成

上記を適用すると
$G(n)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x+C}{x}^{n}dx}$
は、漸化式
$G(n)=nG(n-1)$
を満たす。
$G(0)=1$より、$C=0$

これで階乗の積分表示、
$n!={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{n}dx}$
が導かれた。

応用

今回は積分でやったけど部分和分を使っても同じような話ができる。
結果だけ書くと、

ただし、これはガンマ関数とは一致しません。

さらに一般化する(細かい差分商を使う)と、

おお、って感じ。実用性は、、謎。

証明は、またいつか書くかも。
簡単だからかんばって挑戦してみてね。

また、自分で発見したやつなので過信は禁物