東大数理院試2025年度専門B問10解答
東大数理の院試（2025年度専門B問10）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
$\Delta = \{ z \in \CC \, ; \, |z| < 1\}$を複素平面$\CC$内の単位円板とする．$f$は$\Delta$上正則かつ単射であるとする．各$r \in (0, 1)$に対し$\Delta_r = \{ z \in \CC \, ; \, |z| < r\}$とおく．以下の問に答えよ．
- $f$の$z = 0$を中心とするテイラー展開を$\dis{\sum_{n = 0}^\infty a_n z^n}$とする．このとき$f(\Delta_r)$の面積を$a_n \, (n = 0, 1, 2, \dots)$と$r$を用いて表せ．
- 像$f(\Delta)$が凸集合ならば，各$r \in (0, 1)$に対し$f(\Delta_r)$も凸集合であることを示せ．
(1)
$f(re^{i\theta}) = u + iv, z = x + iy$とすると，2005年度専門B問9と同様にして答えは
$$
\iint_{f(\Delta_r)} dudv
= \iint_{\Delta_r} \bigg| \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\bigg| dxdy
= \iint_{\Delta_r} |f'(z)|^2 dxdy
= \pi \sum_{n \geq 1} n|a_n|^2 r^{2n}.
$$
(2)
平行移動により$f(0) = 0$として良い．$r \in (0, 1)$を任意に固定する．$w_1, w_2 \in f(\Delta_r)$と，線分$w_1 w_2$上の点$w_0 = tw_1 + (1 - t)w_2 \, (t \in (0, 1))$を任意に取る．$f$の凸性から$w_0 \in f(\Delta)$である．これと$f$の単射性から，$w_j = f(z_j) \, (j = 0, 1, 2)$なる$z_1, z_2 \in \Delta_r, z_0 \in \Delta$が一意に存在する．$|z_0| < r$となることを示せば良い．一般性を失わず$|z_1| \leq |z_2|$として良い．$z_2 = 0$の時は$z_2 = z_1 = 0$より$w_1 = w_2 = 0$なので$w_0 = 0.$ よって$z_0 = 0$だから良い．以下$|z_2| > 0$とする．
$$
g(z) = f^{-1}\bigg( tf\bigg( \frac{z_1}{z_2} z\bigg) + (1 - t)f(z)\bigg)
$$
とおく．$f^{-1}$のカッコ内は$f(\Delta)$の凸性から$f(\Delta)$の元であり，また$f$の単射性から$g$は well-defined である．$g$は$\Delta$から$\Delta$への正則関数であって$g(0) = f^{-1}(f(0)) = 0$を満たすから，Schwarzの補題より$\Delta$上で$|g(z)| \leq |z|$が成り立つ．よって
$$
|z_0|
= |f^{-1}(w_0)|
= |g(z_2)|
\leq |z_2|
< r.
$$
(補足)
(2) の証明は P.L.Duren, Univalent Functions, Springer の Theorem 2.11による．
