東大数理院試2025年度専門B問10解答

東大数理の院試（2025年度専門B問10）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理2025年専門B問10）

$Δ = {z \in C; | z | < 1}$ を複素平面 $C$ 内の単位円板とする． $f$ は $Δ$ 上正則かつ単射であるとする．各 $r \in (0, 1)$ に対し $Δ_{r} = {z \in C; | z | < r}$ とおく．以下の問に答えよ．

$f$ の $z = 0$ を中心とするテイラー展開を $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ とする．このとき $f (Δ_{r})$ の面積を $a_{n} (n = 0, 1, 2, \dots)$ と $r$ を用いて表せ．
像 $f (Δ)$ が凸集合ならば，各 $r \in (0, 1)$ に対し $f (Δ_{r})$ も凸集合であることを示せ．

(1)
$f (r e^{i θ}) = u + i v, z = x + i y$ とすると，2005年度専門B問9と同様にして答えは
$\iint_{f (Δ_{r})} d u d v = \iint_{Δ_{r}} | \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} | d x d y = \iint_{Δ_{r}} | f^{'} (z) |^{2} d x d y = π \sum_{n \geq 1} n | a_{n} |^{2} r^{2 n} .$

(2)
$r \in (0, 1)$ を任意に固定する． $w_{1}, w_{2} \in f (Δ_{r})$ と，線分 $w_{1} w_{2}$ 上の点 $w_{0} = t w_{1} + (1 - t) w_{2} (t \in (0, 1))$ を任意に取る． $f$ の凸性から $w_{0} \in f (Δ)$ である．これと $f$ の単射性から， $w_{j} = f (z_{j}) (j = 0, 1, 2)$ なる $z_{1}, z_{2} \in Δ_{r}, z_{0} \in Δ$ が一意に存在する． $| z_{0} | < r$ となることを示せば良い．一般性を失わず $| z_{1} | \leq | z_{2} |$ として良い．
$g (z) = f^{- 1} (t f (\frac{z_{1}}{z_{2}} z) + (1 - t) f (z))$
とおく． $f^{- 1}$ のカッコ内は $f (Δ)$ の凸性から $f (Δ)$ の元であり，また $f$ の単射性から $g$ は well-defined である． $g$ は $Δ$ から $Δ$ への正則関数であって $g (0) = f^{- 1} (f (0)) = 0$ を満たすから，Schwarzの補題より $Δ$ 上で $| g (z) | \leq | z |$ が成り立つ．よって
$| z_{0} | = | f^{- 1} (w_{0}) | = | g (z_{2}) | \leq | z_{2} | < r .$

(補足)
(2) の証明は P.L.Duren, Univalent Functions, Springer の Theorem 2.11による．

投稿日：9日前

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