連結Zariski閉集合の積は連結
位相空間$X$が連結であるとは, $X$の開かつ閉集合は$X$または空集合$\emptyset$に限るときをいう.
$X$の部分集合$A$が連結であるとは, その相対位相に関して連結となるときをいう.
位相空間$X$の連結な部分空間を$U,V$とする. $U\cap V \neq \emptyset$ならば, $U\cup V$は連結である.
$U\cup V$の開かつ閉集合を$C$とする.
このとき, $C\cap U$は$U$の開かつ閉集合である. $U$は連結なので, $C \cap U=U$または$C \cap U=\emptyset$.
同様に, $V$は連結なので, $C \cap V=V$または$C \cap V=\emptyset$.
もし$C \cap U=\emptyset$かつ$C \cap V=\emptyset$ならば, $C\cap (U\cup V)=\emptyset$である. ところが, $C=C\cap (U\cup V)$であるので, $C=\emptyset$を得る.
$C \cap U=U$と仮定すると, $U\subset C$である. $U\cap V\neq \emptyset$という仮定から, $C \cap V \neq \emptyset$を得る. よって$C \cup V=V$であるから, $V \subset C$. ゆえに$U\cup V \subset C$となるから, $C=U\cup V$がしたがう.
$X$を位相空間とする.
任意の$x\neq y \in X$に対し, 連結な$U\subset X$が存在して, $x,y \in U$と仮定する.
このとき, $X$は連結である.
$X$が連結でないと仮定すると, 開かつ閉な部分集合$U_1, U_2 \subset X$が存在して, $X=U_1 \cup U_2, U_1 \cap U_2 = \emptyset, U_1\neq \emptyset, U_2 \neq \emptyset$が成り立つ.
$x\in U_1, y \in U_2$をとる.
仮定$U_1 \cap U_2 = \emptyset$より$x\neq y$.
仮定より, 連結な$U \subset X$が存在して, $x,y \in U$となる.
このとき, $U=(U\cap U_1)\cup (U\cap U_2)$であり, $x \in U\cap U_1, y \in U \cap U_2$と$U$の連結性から$U\cap U_1=U, U\cap U_2 =U$が成り立つ.
したがって$\emptyset \neq U\subset U_1 \cap U_2 =\emptyset$, 矛盾.
$X$を位相空間とする.
任意の$x, y \in X$に対し, 連結な$U_1, U_2\subset X$が存在して, $x\in U_1, y \in U_2$, $U_1 \cap U_2\neq \emptyset$と仮定する.
このとき, $X$は連結である.
命題1より$U_1\cup U_2$は連結であり, $x,y \in U_1 \cup U_2$を満たす. 命題2を適用すればよい.
応用
$k$を体とする. $k^n$にはZariski位相を入れる.
$S \subset k^n$, $T \subset k^m$をZariski閉集合とし, 積集合$S \times T \subset k^{m+n}$を考える.
これは$k^{m+n}$のZariski閉集合である.
$S$, $T$が連結ならば, $S\times T$も連結である.
$\{s_1 \}\times T=T$, $S\times \{t_2 \}=S$は連結であり,
$$(s_1,t_1) \in \{s_1 \}\times T, (s_2,t_2) \in S \times \{t_2 \}, (s_1,t_2)\in (\{s_1 \}\times T) \cap (S\times \{t_2 \})$$
である.
定理3から従う.
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