数学構成論第一部(3)

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公理的集合論(2)

以下, 変数記号を具体的な集合のように扱う.$x \in X$が導かれたとき, $x$は$X$の元である, または$x$は$X$に含まれるという.また, $X \subset Y$が導かれたとき, $X$は$Y$に包まれるという表現も用いる.

写像

順序対

$x, y$を集合とする.
$(x, y) \coloneqq \{x, \{x, y\}\}$を$x, y$の順序対という.

$x \neq y$のとき, $(x, y) \neq (y, x)$となる.実際, $x \neq y$とすれば$x \in (x, y)$だが$x \notin (y, x)$である.このように$\varnothing$でない集合の$\neq$を主張する場合, 一方に含まれるが他方に含まれない元の存在をいえばよい.

「$x, y$を集合とする.」という文言は, $x, y$としてどんな集合をとってもよいことを意味する.以下, 同様の文言で, 条件が合っていればどんな対象もとることができるものとして扱う.

直積集合

$x, y$を集合とする.
$x \times y \coloneqq \{(a, b) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(x \cup y)) \mid a \in x \land b \in y\}$と定め, $x$と$y$の直積集合という.

$x \neq \varnothing \land y \neq \varnothing \land x \neq y$であれば, $x \times y \neq y \times x$である.実際, $a \in x \land a \notin y$となる元の存在がいえるので, このとき$a \neq b \land b \in y$をみたす集合$b$はかならずとれ, $(a, b) \in x \times y$だが$(a, b) \notin y \times x$である.

写像

$x, y$を集合とする.
$r \subset x \times y$を$x$と$y$の対応という.$x = y$のとき特に関係ともいう.
$x$と$y$の対応$f$であって, $\forall a \in x \exists!b \in y [(a, b) \in f]$をみたすとき, $f$を$x$から$y$への写像とよび,
$f:x \to y$と表す.
$a \in x$に対し$f$が存在を主張する$b \in y$を$f(a)$と表す.

集合代数と写像

添え字づけられた集合の族

$\mathcal{A}, U, \Lambda$を集合とする.
写像$A:\Lambda \to U$を考え, $\lambda \in \Lambda$に対し$A_{\lambda} \coloneqq A(\lambda)$と定めたとき,
$\mathcal{A} = \{A_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\}$を$\mathcal{A} = \{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$と表し, $\mathcal{A}$を$\Lambda$によって添え字づけられた集合の族という.

集合代数

$X, Y$を集合とする.
(1) $X \neq \varnothing$のとき, $x \in X$をとり, $\bigcap X \coloneqq \{z \in x \mid \forall y \in X [z \in y]\}$と定めると, これはとった$x$の取り方によらない.これを$X$のintersectionという.特に$\bigcap \{X, Y\}$を$X \cap Y$と表し, $X$と$Y$の積集合という.
(2) $X \setminus Y \coloneqq \{a \in X \mid a \notin Y\}$と定め, $X$と$Y$の差集合という.
(3) $X$の部分集合のみに注目しているとき, $A \subset X$に対し$X \setminus A$を特に$A^c$と表し, $A$のcomplementという.

略記法

$\mathcal{A} = \{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$に対し$\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$を$\bigcup \mathcal{A}$, $\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$を$\bigcap \mathcal{A}$と略記する.

添え字づけられた集合の族のunion, intersectionに関する主張

$\mathcal{A} = \{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$とする.以下が成り立つ.
(1)
\begin{align} a \in \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \Leftrightarrow \exists \mu \in \Lambda [a \in A_{\mu}] \end{align}
(2)
\begin{align} a \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \Leftrightarrow \forall \mu \in \Lambda [a \in A_{\mu}] \end{align}

\begin{align} a \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} &\Leftrightarrow a \in \bigcup\mathcal{A} \\ &\Leftrightarrow \exists x[x \in \mathcal{A} \land a \in x] \\ &\Leftrightarrow \exists \mu \in \Lambda [a \in A_{\mu}] \end{align}
\begin{align} a \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} &\Leftrightarrow a \in \bigcap\mathcal{A} \\ &\Leftrightarrow \forall x[x \in \mathcal{A} \land a \in x] \\ &\Leftrightarrow \forall \mu \in \Lambda [a \in A_{\mu}] \end{align}

集合に関するDe Morganの定理

$X$を集合, $\mathcal{A}=\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$とし, $\forall \lambda \in \Lambda[A_{\lambda} \subset X]$を仮定する.以下が成り立つ.
(1)
\begin{align} (\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})^c = \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c \end{align}
(2)
\begin{align} (\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})^c = \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c \end{align}

\begin{align} a \in \displaystyle(\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})^c &\Leftrightarrow a \in X \land \neg(\exists \mu \in \Lambda [a \in A_{\mu}]) \\ &\Leftrightarrow a \in X \land \forall \mu \in \Lambda [a \notin A_{\mu}] \\ &\Leftrightarrow a \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c \end{align}
\begin{align} a \in \displaystyle(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})^c &\Leftrightarrow a \in X \land \neg(\forall \mu \in \Lambda [a \in A_{\mu}]) \\ &\Leftrightarrow a \in X \land \exists \mu \in \Lambda [a \notin A_{\mu}] \\ &\Leftrightarrow a \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c \end{align}

像, 逆像

$X, Y$を集合, $f:X \to Y$を写像, $A \subset X, B \subset Y$とする.
(1) $f(A) \coloneqq \{f(a) \in Y \mid a \in A\}$と定め, $f$による$A$の像という.$f(X)$を特に$\Im f$と表す.
(2) $f^{-1}(B) \coloneqq \{x \in X \mid f(x) \in B\}$と定め, $f$による$B$の逆像という.

像, 逆像の性質

$X, Y$を集合, $f:X \to Y$を写像, $A \subset X, (B_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \subset Y, B \subset Y$とする.以下が成り立つ.
(1) $A \subset f^{-1}(f(A))$
(2) $f(f^{-1}(B)) \subset B$
(3)
\begin{align} f^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda}) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) \end{align}
(4)
\begin{align} f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda}) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) \end{align}
(5) $f^{-1}(B^c) = (f^{-1}(B))^c$

$=$性の証明は一方に含まれることと他方に含まれることが$\Leftrightarrow$の関係にあればよい.
(1) $a \in A$をとる.$f(a) \in f(A)$から$a \in f^{-1}(f(A))$.
よって$A \subset f^{-1}(f(A))$.
(2) $y \in f(f^{-1}(B))$をとる.$\exists b \in f^{-1}(B) [y = f(b)]$.このとき$f(b) \in B$から$y \in B$.
よって$f(f^{-1}(B)) \subset B$.
(3)
\begin{align} x \in f^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda}) &\Leftrightarrow f(x) \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda}\\ &\Leftrightarrow \exists \lambda \in \Lambda [f(x) \in B_{\lambda}] \\ &\Leftrightarrow \exists \lambda \in \Lambda [x \in f^{-1}(B_{\lambda})] \\ &\Leftrightarrow x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) \end{align}
(4)
\begin{align} x \in f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda}) &\Leftrightarrow f(x) \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}B_{\lambda}\\ &\Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda [f(x) \in B_{\lambda}] \\ &\Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda [x \in f^{-1}(B_{\lambda})] \\ &\Leftrightarrow x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) \end{align}
(5)
\begin{align*} x \in f^{-1}(B^c) &\Leftrightarrow x \in X \land f(x) \in B^c \\ &\Leftrightarrow x \in X \land f(x) \in Y \land f(x) \notin B \\ &\Leftrightarrow x \in X \land x \notin f^{-1}(B) \\ &\Leftrightarrow x \in (f^{-1}(B))^c \end{align*}