以下,
また,
関数項級数
が成り立つ。(コーシーの収束判定条件)
したがって,このような
が成り立つ。(三角不等式)
これは級数
任意に与えられた
が成り立つとき,関数項級数
各
が成り立つ。
このような
となるが,これは
特に,
さて,
したがって,任意の
が成り立つ。
よって,
である。
これにより級数
実変数
が成り立つ。
一方,
が成り立つ。
したがって,
である。
これにより,級数
次に,
実変数
が成り立つ。
一方,
が成り立つ。
(なぜなら,もしそのような
このような無数の番号
となるので,級数
アルキメデスの原理より,十分小さいある
が成り立つ。
一方,
が成り立つ。
したがって,
である。
これにより,級数
アルキメデスの原理より,十分大きいある
が成り立つ。
一方,
が成り立つ。
このような無数の番号
となるので,級数
冪級数
(原点を中心とした冪級数についての対応する命題の証明部分を参照せよ。)
ここで
であることに注意すると,級数
したがって,閉円盤
上の命題における
ただし,